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| ０６２ | 令和４年度 | 防衛医科大学 | 医学部 | ・・・ | 種々の問題 | 標準 |
少々骨のある７題を、９０分で解かなければならないという、かなりハードな入試形態である。
最後の１問を除いて、解答のみというスタイルで、テキパキと問題を要領よく処理する力が要
求される。医者として期待される人物像なんだろう。
防衛医科大学校 医学教育部（２０２２）
Ⅰ． ∠CAB＝π/１０、∠ABC＝π/２の直角三角形ABCにおいて、辺AB上に AD＝CD＝4
となる点Dがあるとする。このとき、次の問いに答えよ。
（１） BDの長さを求めよ。
（２） △ABCの外接円の半径をＲ、BCの長さを ａ とするとき、積 Ｒａ の値を求めよ。
（解）（１） ∠CAB＝θとおくと、ＢＤ＝４ｃｏｓ２θ
５θ＝π/２ より、 ３θ＝π/２－２θ なので、 ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ（π/２－２θ）＝ｓｉｎ２θ
このとき、 ４ｃｏｓ3θ－３ｃｏｓθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ で、ｃｏｓθ≠０ より、
４ｃｏｓ2θ－３＝２ｓｉｎθ すなわち、 ４ｓｉｎ2θ＋２ｓｉｎθ－１＝０
よって、 ｓｉｎθ＝（－１±
）/４ で、 ｓｉｎθ＞０ なので、 ｓｉｎθ＝（－１＋）/４
このとき、 ｃｏｓ２θ＝１－２ｓｉｎ2θ＝（１＋）/４ より、 ＢＤ＝１＋
（２） Ｒ＝４ｃｏｓθ で、 ｃｏｓ2θ＝１－ｓｉｎ2θ＝（５＋）/８
ａ＝２Ｒｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓθ なので、
Ｒａ＝３２ｓｉｎθｃｏｓ2θ＝３２・（－１＋）/４・（５＋）/８＝４ （終）
防衛医科大学校（２０２２）の他の問題について、興味・関心のあるものを眺めてみよう。
Ⅱ． ２次方程式 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ (ａ、ｂは実数の定数）の異なる２解α、βが.ある実数の
定数 c を用いて、
α＝（√（ｃ－１）＋√（ｃ＋８））/（√（ｃ－１）－√（ｃ＋２））
β＝（√（ｃ－１）－√（ｃ＋８））/（√（ｃ－１）＋√（ｃ＋２））
と表されるとする。
α＝－３のとき、ａ の値を求めよ。このとき、ｃ は有理数となり、ｃ＝ｎ/ｍ （ｎ、ｍは互いに
素な自然数）と表すことができる。ｍ＋ｎの値を求めよ。
（解） 解と係数の関係から、 α＋β＝－ａ 、αβ＝ｂ
このとき、 αβ＝（（ｃ－１）－（ｃ＋８））/（（ｃ－１）－（ｃ＋２））＝３
α＝－３ なので、 －３β＝３ より、 β＝－１
よって、 －ａ＝α＋β＝－４ より、 ａ＝４ となる。
このとき、 （√（ｃ－１）＋√（ｃ＋８））/（√（ｃ－１）－√（ｃ＋２））＝－３
（√（ｃ－１）－√（ｃ＋８））/（√（ｃ－１））＝－１ から、
４√（ｃ－１）－３√（ｃ＋２）＋√（ｃ＋８）＝０
２√（ｃ－１）＋√（ｃ＋２）－√（ｃ＋８）＝０
辺々加えて、 ６√（ｃ－１）－２√（ｃ＋２）＝０ より、 ３√（ｃ－１）＝√（ｃ＋２）
両辺を平方して、 ９（ｃ－１）＝ｃ＋２ から、 ｃ＝１１/８
ｃ＝ｎ/ｍ なので、 ｍ＋ｎ＝１９ となる。 （終）
Ⅲ． （→ 参照：「絶対値について」）
Ⅳ． 複素数平面上で、複索数 ｚ が方程式 ｜ｚ｜＝１ を満たして動くとき、複索数
ｗ＝（
－ｉ）/ｚ が描く図形を求めよ。また、複素数 α(αキ0)、β＝１/α について、αが
｜α－（２＋ｉ）｜＝２ を満たして動くとき、点αが描く図形をC1、点βが揺く図形をＣ2とする。
C1、Ｃ2の図形の内部の共通部分の面積を求めよ。ただし、ｉ は虚数単位である。
（解） ｜ｗ｜＝
より、ｗ が描く図形は、原点中心で半径の円である。
また、 ｜１/β－（２＋ｉ）｜2＝４ より、 （１/β－（２＋ｉ））（１/
－（２－ｉ））＝４
展開して、 １/β－（２－ｉ）/β－（２＋ｉ）/＋１＝０
よって、 β－（２＋ｉ）β－（２－ｉ）＋１＝０ より、 ｜β－（２－ｉ）｜＝２
以上から、C1 の中心Ｏ1は、２＋ｉ で半径は２
Ｃ2 の中心Ｏ2は、２－ｉ で半径は２ となるので、 C1Ｃ2＝２ から、C1、Ｃ2の交点を
Ａ、Ｂとすると、 △C1Ｃ2Ａ と △C1Ｃ2Ｂ はともに一辺の長さが２の正三角形となる。
よって、求める面積は、 ２（４π×（１/３）－（１/２）・４・（/２））＝８π－２ （終）
Ⅴ． 四角形ABCDは点Ｏを中心とする半徒１の円に内接し、∠Aと∠C、∠Ｂと∠Ｄはそれ
ぞれ対角であり、BC＝CD、２４OA＋７OB＋２５OD＝０ を満たしている。
∠BAD＝α、∠ABD＝β とするとき、ｃｏｓα、ｃｏｓβを求めよ。
また、Ｃから直線ABに下ろした垂線とABの交点をHとするとき、CHの長さを求めよ。
（解） ２４OA＋７OB＋２５OD＝０ より、（２４OA＋７OB）/（７＋２４）＝－（２５/３１）OD
よって、線分ＡＢを７：２４に内分する点をＥとおくと、 ＯＥ＝－（２５/３１）OD
このことから、以下の図を得る。
図より、 ０＜２α＜π 、０＜２β＜π なので、 ０＜α＜π/２ 、０＜β＜π/２
また、 ∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ＝θ とおくと、２θ＋π－α＝π より、 θ＝α/２ と表せる。
さらに、 ｜７OB＋２５OD｜2＝５７６｜OA｜2 より、
４９＋３５０OＢ・OＤ＋６２５＝５７６ なので、 OＢ・OＤ＝－７/２５
よって、 ｃｏｓ２α＝－７/２５ すなわち、 ２ｃｏｓ2α－１＝－７/２５ より、
ｃｏｓ2α＝９/２５ ここで、０＜α＜π/２ より、 ｃｏｓα＞０ なので、 ｃｏｓα＝３/５
また、 ｜２４OA＋７OB｜2＝６２５｜OＤ｜2 より、
５７６＋３３６OA・OB＋４９＝６２５ なので、 OA・OB＝０ から、OA⊥OB
よって、２α＋２β＋π/２＝２π より、 β＝３π/４－α なので、
ｃｏｓβ＝ｃｏｓ（３π/４－α）＝－（１/
）ｃｏｓα＋（１/）ｓｉｎα
ここで、 ｃｏｓα＝３/５ のとき、 ｓｉｎα＝４/５ なので、
ｃｏｓβ＝－（１/）（３/５）＋（１/）（４/５）＝（１/）（１/５）＝/１０
次に、ＣＨ＝ＡＣ・ｓｉｎ（α/２） において、
ｓｉｎ2（α/２）＝（１－ｃｏｓα）/２＝１/５ より、 ｓｉｎ（α/２）＝/５
正弦定理より、ＡＣ/ｓｉｎ（β＋θ）＝２ なので、ＡＣ＝２ｓｉｎ（β＋θ）＝２ｓｉｎ（β＋α/２）
よって、
ＡＣ＝２（ｓｉｎβｃｏｓ（α/２）＋ｃｏｓβｓｉｎ（α/２））
＝２（（７/１０）（２/５）＋（/１０）（/５））
＝２（７
/２５＋/５０）
＝３/５
したがって、 ＣＨ＝（３/５）（/５）＝３/５ （終）
（コメント） 見た目以上にハードな計算でした．．．。
Ⅵ． 関数Ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（ｌｏｇ（１/ｘｋ）） （０＜ｘ≦１、ｋは自然数） について、Ｆ（ｘ）＝０を満た
す ｘ を大きい順に ａ0、ａ1、ａ2、・・・ と表すものとする。
ｋ＝２ のとき、 ｌｉｍｎ→∞Σｍ=0ｎ ａｍ を求めよ。
また、ｋ＝３ のとき、 ∫ａ4ａ3 Ｆ（ｘ）ｄｘ を求めよ。
（解） ｋ＝２ のとき、 ｃｏｓ（ｌｏｇ（１/ｘ2））＝０ より、
ｌｏｇ（１/ｘ2）＝（２ｎ＋１）π/２ （ｎ＝０、１、２、・・・）
－２ｌｏｇ（ｘ）＝（２ｎ＋１）π/２ （ｎ＝０、１、２、・・・） より、 ｘ＝１/ｅ^｛（２ｎ＋１）π/４｝
大きい順に並べて、 ａｎ＝１/ｅ^｛（２ｎ＋１）π/４｝ となる。
このとき、ｌｉｍｎ→∞Σｍ=0ｎ ａｍ＝ｌｉｍｎ→∞Σｍ=0ｎ １/ｅ^｛（２ｍ＋１）π/４｝ において、
初項 １/ｅ^（π/４） 、公比 １/ｅ^（π/２） の無限等比級数なので、
０＜１/ｅ^（π/２）＜１ より収束し、その和は、
ｌｉｍｎ→∞Σｍ=0ｎ ａｍ＝１/ｅ^（π/４）×１/（１－１/ｅ^（π/２））＝ｅ^（π/４）/（ｅ^（π/２）－１）
ｋ＝３ のとき、 ｃｏｓ（ｌｏｇ（１/ｘ3））＝０ より、
ｌｏｇ（１/ｘ3）＝（２ｎ＋１）π/２ （ｎ＝０、１、２、・・・）
－３ｌｏｇ（ｘ）＝（２ｎ＋１）π/２ （ｎ＝０、１、２、・・・） より、 ｘ＝１/ｅ^｛（２ｎ＋１）π/６｝
大きい順に並べて、 ａｎ＝１/ｅ^｛（２ｎ＋１）π/６｝ となる。
このとき、 ａ4＝１/ｅ^（３π/２） 、ａ3＝１/ｅ^（７π/６） である。
よって、 ∫ａ4ａ3 Ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫１/ｅ^（３π/２）１/ｅ^（７π/６） ｃｏｓ（ｌｏｇ（１/ｘ3））ｄｘ において、
ｌｏｇ（１/ｘ3）＝θとおくと、 ｘ＝ｅ^（－θ/３） なので、 ｄｘ＝－（１/３）ｅ^（－θ/３）ｄθ
ｘ＝ａ4＝１/ｅ^（３π/２） のとき、 θ＝ｌｏｇ（ｅ^（９π/２））＝９π/２
ｘ＝ａ3＝１/ｅ^（７π/６） のとき、 θ＝ｌｏｇ（ｅ^（７π/２））＝７π/２
よって、
与式＝－（１/３）∫９π/２７π/２ ｃｏｓθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ＝（１/３）∫7π/２9π/２ ｃｏｓθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ
ここで、 Ｉ＝∫7π/２9π/２ ｃｏｓθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ とおくと、
Ｉ＝［ｓｉｎθ・ｅ^（－θ/３）］7π/２9π/２＋（１/３）∫7π/２9π/２ ｓｉｎθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ
＝ｅ^（－３π/２）＋ｅ^（－７π/６）＋（１/３）∫7π/２9π/２ ｓｉｎθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ
ここで、 Ｊ＝∫7π/２9π/２ ｓｉｎθ・ｅ^（－θ/３）ｄθ とおくと、
Ｊ＝［－ｃｏｓθ・ｅ^（－θ/３）］7π/２9π/２－（１/３）Ｉ＝－（１/３）Ｉ なので、
Ｉ＝ｅ^（－３π/２）＋ｅ^（－７π/６）－（１/９）Ｉ
すなわち、 Ｉ＝（９/１０）（ｅ^（－３π/２）＋ｅ^（－７π/６）） から、
∫ａ4ａ3 Ｆ（ｘ）ｄｘ＝（３/１０）（ｅ^（－３π/２）＋ｅ^（－７π/６）） （終）
（コメント） この問題も計算が大変でした．．．。
以下、工事中！