０５４	平成３１年度前期	横浜市立大学	医学部	・・・	三角関数（数�U）	やや難

　最初のアプローチをどうするか悩む問題かな？値を求める問題なので倍角の公式でしょう。


横浜市立大学　前期医学部（２０１９）

　１/（ｔａｎ（π/２４））−√２−√３−√６　は整数である。その値を求めよ。


（解）　正接の倍角の公式より、

　ｔａｎ（π/６）＝ｔａｎ２（π/１２）＝２ｔａｎ（π/１２）/（１−ｔａｎ²（π/１２））＝１/√３

なので、　ｔａｎ²（π/１２）＋２√３ｔａｎ（π/１２）−１＝０

　よって、　ｔａｎ（π/１２）＝−√３±２

　　ｔａｎ（π/１２）＞０　なので、　ｔａｎ（π/１２）＝−√３＋２

　同様にして、

　ｔａｎ（π/１２）＝ｔａｎ２（π/２４）＝２ｔａｎ（π/２４）/（１−ｔａｎ²（π/２４））＝２−√３

　２（２＋√３）ｔａｎ（π/２４）＝１−ｔａｎ²（π/２４）　より、

　１/ｔａｎ²（π/２４）−２（２＋√３）/ｔａｎ（π/２４）−１＝０

　よって、　１/ｔａｎ（π/２４）＝（２＋√３）±（√６＋√２）

　ｔａｎ（π/２４）＞０　なので、　１/ｔａｎ（π/２４）＝（２＋√３）＋（√６＋√２）

したがって、　１/（ｔａｎ（π/２４））−√２−√３−√６＝２　　（終）


　よおすけさんからのコメントです。（平成３１年４月１０日付け）

π/24（rad）=7.5°なので、数学感動秘話「正接の値は美しい」にも同様の話題があります。