・正接の値は美しい　　　　 　　　　　　 　　　　　　３類生 氏

　正接（ｔａｎ）は、正弦（ｓｉｎ）や余弦（ｃｏｓ）に比べてあまり目立たない。９０°とか定義でき
ないし．．．。　そんな正接（ｔａｎ）であるが、最近、「正接の値は美しい」ということを発見し
たので、報告したい。

　正接（ｔａｎ）の値、なんと、角度(単位は度)が、

　７．５　　２２．５　　３７．５　　５２．５　　６７．５　　８２．５

のとき、きれいに求まるのだ！

　正弦（ｓｉｎ）や余弦（ｃｏｓ）では、どうしても二重根号を使うことは避けられない。
（→　らすかるさんのＨＰの中のこちらを参照）

　これに対して、正接（ｔａｎ）の方はうまく打ち消しあって、美しい計算結果が得られる。

θ	ｔａｎ θ
７．５°	−２＋−＋	＝	(−)(−１)
３７．５°	−２−＋＋	＝	(−)(＋１)
５２．５°	２−−＋	＝	(＋)(−１)
８２．５°	２＋＋＋	＝	(＋)(＋１)
２２．５°	−１
６７．５°	＋１

（求め方）　三角関数における次の公式を用いれば容易に求められる。

　　　　

　　　　

まず、ｔａｎ ７．５°を求めてみよう。



　ここで、　（＋）²−（２＋）² ＝１＞０　　より、　＋ ＞ ２＋

よって、　−２＋−＋ ＞０　　なので、ｔａｎ ７．５°＝ −２＋−＋

である。　この右辺は因数分解できて、　ｔａｎ ７．５°＝ (−)(−１)

でもある。（この形の方が、美しいかも．．．。）

　上記の式変形では、 ２＋ ＝（＋１）²/２　というところが急所である。これは、二重
根号の考えに似ている。

同様にして、ｔａｎ ３７．５°＝ (−)(＋１)　である。

これらの値が分かると残りの値は容易い。

　ｔａｎ ５２．５°＝１/ｔａｎ ３７．５°＝１/(−)(＋１)＝(＋)(−１)

　ｔａｎ ８２．５°＝１/ｔａｎ ７．５°＝１/(−)(−１)＝(＋)(＋１)

また、

　ｔａｎ² ２２．５°＝（１−ｃｏｓ４５°）/（１＋ｃｏｓ４５°）＝(−１)/(＋１)＝(−１)²

　−１＞０　なので、　　　ｔａｎ ２２．５°＝−１

　よって、　ｔａｎ ６７．５°＝１/ｔａｎ ２２．５°＝１/(−１)＝＋１

このような手法を用いれば、

　ｔａｎ １５°＝２−　、ｔａｎ ７５°＝２＋

も簡単であろう。


（追記）　平成１９年８月１１日付け・・・塾長補足

　上記で得られた　ｔａｎ ７．５°＝ −２＋−＋　という式から、　ｔａｎ ７．５°が

４次方程式　ｘ⁴＋８ｘ³＋２ｘ²−８ｘ＋１＝０　の解になることが分かる。

　このことに関連して、Anonｙmous さんが次のような問題を提起されている。

問１　ｔａｎ ７．５°を解とする最小多項式　ｐ（ｘ）∈Ｑ[ｘ]　を求めよ。

問２　商環　Ｑ[ｘ]/（ｐ（ｘ）Ｑ[ｘ]） は体となり、体 Ｑ（ｔａｎ ７．５°）　と同型である。
　　　このとき、　（ｔａｎ ７．５°）⁷＋（ｔａｎ ７．５°）⁵＋３　の逆元を求めよ。

問３　体　Ｑ[ｘ]/（ｐ（ｘ）Ｑ[ｘ]）　は、Ｑ の正規拡大体であることを示せ。

問４　Ｑ（）[ｘ]　において、ｐ（ｘ） を既約因子の積で表せ。

問５　ｐ（ｘ） の零点は全て ｔａｎθ_i （ｉ＝1、2、3、4）　の形に表される。 θ_i を求めよ。


　この問題を解くために、「有限拡大体の性質」が少し参考になるだろう。

読者の皆さん、挑戦してみては如何でしょうか？