・ 正接の値は美しい                3類生 氏

 正接(tan)は、正弦(sin)や余弦(cos)に比べてあまり目立たない。90°とか定義でき
ないし...。 そんな正接(tan)であるが、最近、「正接の値は美しい」ということを発見し
たので、報告したい。

 正接(tan)の値、なんと、角度(単位は度)が、

    7.5  22.5  37.5  52.5  67.5  82.5

のとき、きれいに求まるのだ!

 正弦(sin)や余弦(cos)では、どうしても二重根号を使うことは避けられない。
                          ( → らすかるさんのHPの中のこちらを参照)

これに対して、正接(tan)の方はうまく打ち消しあって、美しい計算結果が得られる。

θ tan θ
 7.5° −2+ ()(−1)
37.5° −2− ()(+1)
52.5°   2− ()(−1)
82.5°   2+ ()(+1)
22.5° −1  
67.5° +1  

 (求め方) 三角関数における次の公式を用いれば容易に求められる。

         

               

 まず、tan 7.5°を求めてみよう。

         

 ここで、 (2−(2+2 =1>0  より、  > 2+

よって、 −2+ >0  なので、

         tan 7.5°= −2+

である。 この右辺は因数分解できて、

         tan 7.5°= ()(−1)

でもある。(この形の方が、美しいかも...。)

 上記の式変形では、 2+ =(+1)2/2 というところが急所である。これは、二重
根号の考えに似ている。

同様にして、tan 37.5°= ()(+1) である。

これらの値が分かると残りの値は容易い。

   tan 52.5°=1/tan 37.5°=1/()(+1)=()(−1)

   tan 82.5°=1/tan 7.5°=1/()(−1)=()(+1)

また、
   tan2 22.5°=(1−cos45°)/(1+cos45°)=(−1)/(+1)=(−1)2

      −1>0 なので、   tan 22.5°=−1

 よって、 tan 67.5°=1/tan 22.5°=1/(−1)=+1

このような手法を用いれば、

     tan 15°=2−   、    tan 75°=2+

も簡単であろう。


(追記) 平成19年8月11日付け・・・塾長補足

 上記で得られた tan 7.5°= −2+ という式から、 tan 7.5°が

4次方程式 x4+8x3+2x2−8x+1=0 の解になることが分かる。

 このことに関連して、Anonymous さんが次のような問題を提起されている。

問1 tan 7.5°を解とする最小多項式 p(x)∈Q[x] を求めよ。

問2 商環 Q[x]/(p(x)Q[x]) は体となり、体 Q(tan 7.5°) と同型である。
   このとき、 (tan 7.5°)7+(tan 7.5°)5+3 の逆元を求めよ。

問3 体 Q[x]/(p(x)Q[x]) は、Q の正規拡大体であることを示せ。

問4 Q()[x] において、p(x) を既約因子の積で表せ。

問5 p(x) の零点は全て tanθi (i=1、2、3、4) の形に表される。 θi を求めよ。



 この問題を解くために、「有限拡大体の性質」が少し参考になるだろう。

読者の皆さん、挑戦してみては如何でしょうか?



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