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| ０４６ | 平成３０年度前期 | 東京大学 | 理系 | ・・・ | 整数・数列（数ＡＢ） | 標準 |
今年度東京大学前期文系のものと同趣旨の問題です。
東京大学 前期理系（２０１８）
数列 ａ1、ａ2、・・・ を、 ａｎ＝２ｎ+1Ｃｎ/ｎ！ （ｎ＝１、２、・・・） で定める。
（１） ｎ≧２とする。ａｎ/ａｎ-1 を既約分数ｑｎ/ｐｎとして表したときの分母ｐｎ≧１と分子ｑｎを
求めよ。
（２） ａｎが整数となるｎ≧１をすべて求めよ。
（解）（１） ａｎ/ａｎ-1＝２（２ｎ＋１）/｛ｎ（ｎ＋１）｝ において、ｎ（ｎ＋１）は２の倍数で２で割り
切れる。
また、 （２ｎ＋１）＋（−２）ｎ＝１ より、 ２ｎ＋１とｎは互いに素
（−１）（２ｎ＋１）＋２（ｎ＋１）＝１ より、 ２ｎ＋１とｎ＋１は互いに素
以上から、 ｐｎ＝ｎ（ｎ＋１）/２ 、ｑｎ＝２ｎ＋１
（２） ａ1＝3Ｃ1/1！＝３ は整数 、ａ2＝5Ｃ2/2！＝５ は整数
ａ3＝7Ｃ3/3！＝３５/６ は整数でない
一般に、ｎ≧３のとき、 ａｎ＝ａ2（ｑ3/ｐ3）（ｑ4/ｐ4）・・・（ｑｎ/ｐｎ）
ここで、 ａ2、ｑ3、ｑ4、・・・、ｑｎ は奇数で、ｐ3ｐ4・・・ｐｎ は偶数なので、ａｎは整数でない
以上から、求めるｎは、１と２ のみ （終）