| |
||||||
| ０４５ | 平成３０年度前期 | 東京大学 | 文系 | ・・・ | 整数・数列（数ＡＢ） | 標準 |
今年の東京大学の問題は、京都大学と同様に、例年と比べやや難化したように思う。
東京大学 前期文系（２０１８）
数列 ａ1、ａ2、・・・ を、 ａｎ＝２ｎＣｎ/ｎ！ （ｎ＝１、２、・・・） で定める。
（１） ａ7と１の大小を調べよ。
（２） ｎ≧２とする。ａｎ/ａｎ-1＜１ をみたすｎの範囲を求めよ。
（３） ａｎが整数となるｎ≧１をすべて求めよ。
（解）（１） ａ7＝14Ｃ7/7！＝１１・１３/（５・６・７）＝（１１/１５）（１３/１４）＜１
（２） ａｎ/ａｎ-1＝２（２ｎ−１）/ｎ2＜１ より、 ｎ2−４ｎ＋２＞０
これを解いて、 ｎ＞２＋
なので、 ｎ≧４
（３） （２）より、ａｎ＜ａｎ-1 （ｎ≧４） で、（１）より、ａ7＜１ なので、ａｎが整数となる可能性
は、 ｎ＝１、２、３、４、５、６ の何れか。
ａ1＝2Ｃ1/1！＝２ は整数 、ａ2＝4Ｃ2/2！＝３ は整数
ａ3＝6Ｃ3/3！＝１０/３ は整数でない 、ａ4＝8Ｃ4/4！＝３５/１２ は整数でない
ａ5＝10Ｃ5/5！＝２１/１０ は整数でない 、ａ6＝12Ｃ6/6！＝７７/６０ は整数でない
以上から、求めるｎは、１と２ のみ （終）