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| ０３４ | 平成２７年度前期 | 東京大学 | 理系 | ・・・ | 数列と確率（数ＡＢ） | 標準 |
今年度の東京大学の入試問題を見て、解いてみようと一番食指が動いた問題。受験問題
集によくある漸化式を利用する問題で、漸化式を作るまでが大変ですが、漸化式が出来てし
まえば３項間漸化式の解法で一直線でしょう。
（→ 参考：「自然対数の底 ｅ の体感」・・・漸化式の作り方が分かると思います！）
東京大学 前期理系（２０１５）
どの目も出る確率が１/６のさいころを１つ用意し、次のように左から順に文字を書く。
さいころを投げ、出た目が１、２、３のときは文字列ＡＡを書き、４のときは文字Ｂを、５のと
きは文字Ｃを、６のときは文字Ｄを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従って、
ＡＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。
たとえば、さいころを５回投げ、その出た目が順に２、５、６、３、４であったとすると、得られ
る文字列は、「ＡＡＣＤＡＡＢ」となる。このとき、左から４番目の文字はＤ、５番目の文字はＡで
ある。
（１） ｎを正の整数とする。ｎ回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からｎ番目
の文字がＡとなる確率を求めよ。
（２） ｎを２以上の整数とする。ｎ回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からｎ−１
番目の文字がＡで、かつｎ番目の文字がＢとなる確率を求めよ。
（解）（１） ｎ回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からｎ番目の文字がＡとなる
確率をｐｎとおく。さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からｎ＋２番目の
文字がＡとなる場合は次の何れかに分類される。
（イ） ｎ回のうち最初の１回目に出た目が１、２、３のとき、ＡＡの次に書き加えられる文字
列の長さをｎとして、ＡＡから始まる文字列の左からｎ＋２番目の文字がＡとなる確率
は、 （１/２）ｐｎ
（ロ） ｎ回のうち最初の１回目に出た目が４、５、６のとき、１回目に書かれる文字の次に書
き加えられる文字列の長さをｎ＋１として、文字列の左からｎ＋２番目の文字がＡとなる
確率は、 （１/２）ｐｎ+1
したがって、漸化式
ｐｎ+2＝（１/２）ｐｎ＋（１/２）ｐｎ+1 、ｐ1＝１/２ 、ｐ2＝（１/２）・１＋（１/２）2＝３/４
が成り立つ。このとき、
ｐｎ+2−ｐｎ+1＝（−１/２）（ｐｎ+1−ｐｎ）より、ｐｎ+1−ｐｎ＝（−１/２）ｎ-1（ｐ2−ｐ1）＝（−１/２）ｎ+1
ｐｎ+2＋（１/２）ｐｎ+1＝ｐｎ+1＋（１/２）ｐｎ より、 ｐｎ+1＋（１/２）ｐｎ＝ｐ2＋（１/２）ｐ1＝１
よって、 （３/２）ｐｎ＝１−（−１/２）ｎ+1 より、 ｐｎ＝（２/３）｛１−（−１/２）ｎ+1｝
（２） ｎ回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からｎ−１番目の文字がＡで、か
つｎ番目の文字がＢとなる確率をｑｎとおく。このとき、（１）と同様にして、さいころを投げ、
文字列を作るとき、文字列の左からｎ＋１番目の文字がＡで、かつｎ＋２番目の文字がＢ
となる場合を考えて、次の漸化式を得る。
ｑｎ+2＝（１/２）ｑｎ＋（１/２）ｑｎ+1 、ｑ2＝０ 、ｑ3＝（１/２）・（１/６）＝１/１２
このとき、
ｑｎ+2−ｑｎ+1＝（−１/２）（ｑｎ+1−ｑｎ）より、ｑｎ+1−ｑｎ＝（−１/２）ｎ-2（ｑ3−ｑ2）＝（１/３）（−１/２）ｎ
ｑｎ+2＋（１/２）ｑｎ+1＝ｑｎ+1＋（１/２）ｑｎ より、 ｑｎ+1＋（１/２）ｑｎ＝ｐ3＋（１/２）ｐ2＝１/１２
よって、 （３/２）ｑｎ＝（１/３）｛１/４−（−１/２）ｎ｝ より、 ｐｎ＝（２/９）｛１/４−（−１/２）ｎ｝
（終）