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０３１ 平成２６年度前期 　信州大学　 　理系 ・・・ 場合の数（数学Ａ） 　標準

　経験的に知っていることを改めて問われると、一瞬ドギマギするというタイプの問題である。
落ち着いて考えれば完答できるだろう。

信州大学　前期理系（２０１４）

　ｎを０以上の整数とする。ｎ＋１個の自然数　２0，２1，・・・，２ｎ　の中に、最上位の桁の数字
が１であるものはいくつあるか。
ただし、ｘを超えない最大の整数を表す記号［ｘ］を用いて解答してよい。
注：例えば２０１４の最上位の桁の数字は２であり、１４２２５の最上位の桁の数字は１である。

　注にある「２０１４」は、出題年度ということから理解できるが、「１４２２５」という数がどこから
きたのか大いに興味があるところである。ただ適当にあげただけかもしれないが．．．。

　DD++さんから「国公立前期試験日程(20)14年2月25日かと思います。」と伺って、合点がい
きました！ありがとうございました。（平成２６年７月６日付け）


　いくつか実際に計算してみると、解き方の方針が立つことが多い。

２0＝　　　　　　　１
２1＝　　　　　　　２
２2＝　　　　　　　４
２3＝　　　　　　　８
２4＝　　　　　　１６
２5＝　　　　　　３２
２6＝　　　　　　６４
２7＝　　　　　１２８
２8＝　　　　　２５６
２9＝　　　　　５１２
２10＝　　　１０２４
２11＝　　　２０４８
２12＝　　　４０９６
２13＝　　　８１９２
２14＝　　１６３８４
２15＝　　３２７６８
２16＝　　６５５３６
２17＝　１３１０７２
２18＝　２６２１４４
２19＝　５２４２８８
２20＝１０４８５７６
　・・・・・・・・・・・・

　上記の計算から気がつくのは、最上位の桁が「１」になるのは桁数が増えた瞬間であると
いう点である。この気づきを突破口に解答をでっち上げてみよう。

（解）　１を次々に２倍していって、桁数が１増えたときの最上位の数は必ず１である。

　　　したがって、求める個数は、２ｎの桁数に等しいので、　［ｎ・ｌｏｇ10２］＋１ 個　　（終）


　同様の問題が早稲田大学教育学部理学科（２００６）でも出題されている。


早稲田大学　教育学部理学科（２００６）

　２555は十進法で表すと１６８桁の数で、その最高位（先頭）の数字は１である。
集合｛２ｎ｜ｎは整数で、１≦ｎ≦５５５｝の中に、十進法で表したとき最高位の数字が４となる
ものは全部で何個あるか。


　問題冒頭のヒントから、２555が、桁が１増えた瞬間の数である。上記で行った実際の計算
から、最高位の数字４となるものが出現する桁数は、１　，　４　，　７　，　・・・・　なので、一
般項は、　１＋３（ｎ−１）＝３ｎ−１　．．．　と単純には行かないようだ。

　実際に、Ｅｘｃｅｌ さんに協力してもらったところ、

　　２８桁　の次が　３２桁　、　５６桁　の次が　６０桁　、　８７桁　の次が　９１桁
　１１５桁　の次が　１１９桁　、　１４６桁　の次が　１５０桁

と桁が飛ぶところが５ヶ所ある。

　求める個数は、５４個で正解なのだが、これを計算で求めるにはどうしたらいいのだろう。


（追記）　平成２６年８月１７日付け

　上記問題を手計算で解決するために、まず、２ｎの挙動を再確認してみよう。

ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ ・・・
２ｎ 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 ・・・

　上記の表を見て気がつくことは、最高位に「１」が出現するのは均等ではないという事実で
ある。最高位の数字の変化のパターンを注視すれば、

　　　１→３→６→１　、１→２→５→１　、１→２→４→８→１

が、上記の表からすぐあげられ、それ以外にも、

　　　１→３→７→１　、１→２→４→９→１

というパターンが考えられる。このパターンの中で、最高位が４となるのは、

　　１→２→４→８→１　と　１→２→４→９→１

の２通りで、２4を掛けて１つ桁が増えるという性質Ａがある。

　他の３パターンは、２3を掛けて１つ桁が増えるという性質Ｂがある。

　問題のヒントから、２555は１６８桁の数で、その最高位の数字は１であるので、

｛２ｎ｜ｎは整数で、１≦ｎ≦５５５｝において、１桁増えるという現象が１６７回起こっている。

　１６７回のうち、性質Ａがｋ回起こったものとすると、題意より、

　　　４ｋ＋３（１６７−ｋ）＝５５５

が成り立つ。よって、　ｋ＝５５５−５０１＝５４（回）

　したがって、最高位の数字が４となるものは、全部で、５４個ある。


（コメント）　手計算で求められて、何かスッキリした気分です！

　上記の解では、「２555は１６８桁の数で、その最高位の数字は１」という事実が問題文に与
えられ、それを活用して解かれましたが、「指標と仮数」の知識と「ｌｏｇ10２≒０．３０１０」であ
ることを知っていれば自力で導き出される事実でもある。

　実際に、　ｌｏｇ10２555＝５５５ｌｏｇ10２≒５５５×０．３０１０＝１６７．０５５　より、２555は１６８
桁の数であり、仮数が０．０５５であることから、２555＝ａ×１０167 と書いた場合、１＜ａ＜２
すなわち、２555 の最高位の数字が「１」であることが分かる。

　現在の学習指導要領では、このような思考まで到達できないのがとても残念です。