０２６	平成２１年度前期	静岡大学	理系	・・・	行列のｎ乗（数学Ｃ）	標準

　この問題は行列の ｎ 乗の典型問題だろう。数学�Tにおける式の値の問題の行列版であ
る。


静岡大学　前期理系（２００９）

行列

について、次の問いに答えよ。

（１）　Ａ＋Ａ²＋Ａ³　を求めよ。

（２）　自然数 ｎ に対して、　Ａ＋Ａ²＋Ａ³＋・・・＋Ａ^3ｎ-1＋Ａ^3ｎ　を求めよ。

（解）（１）　Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎ の定理より、　Ａ²＋２Ａ＋４Ｅ＝Ｏ

　　　　　　このとき、　Ａ＋Ａ²＋Ａ³＝（Ａ−Ｅ）（Ａ²＋２Ａ＋４Ｅ）−Ａ＋４Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝−Ａ＋４Ｅ
　　　　　よって、
　　　　　　　　　

（２）　Ａ＋Ａ²＋Ａ³＋・・・＋Ａ^3ｎ-1＋Ａ^3ｎ

　　＝（Ａ＋Ａ²＋Ａ³）＋（Ａ＋Ａ²＋Ａ³）Ａ³＋・・・＋（Ａ＋Ａ²＋Ａ³）Ａ^3ｎ-3

　　＝（Ａ＋Ａ²＋Ａ³）（Ｅ＋Ａ³＋・・・＋Ａ^3ｎ-3）

　　ここで、　Ａ³＝Ａ（−２Ａ−４Ｅ）＝−２Ａ²−４Ａ＝−２（−２Ａ−４Ｅ）−４Ａ＝８Ｅ　なので、

　　Ａ＋Ａ²＋Ａ³＋・・・＋Ａ^3ｎ-1＋Ａ^3ｎ

　＝（１＋８＋８²＋・・・＋８^ｎ-1）（−Ａ＋４Ｅ）＝（８^ｎ−１）（−Ａ＋４Ｅ）/７

　　よって、
　　　　　　　　　（終）

（コメント）　解答自体は易しい！河合塾の問題分析では「標準」となっているが、これはあく
　　　　　　までも静岡大学受験生レベルによるもので、問題レベルとしては「やや易」だろう。

　行列の成分を見た瞬間に、

　　　　Ａ＝２Ｒ（２π/３）　（原点中心、２π/３の回転移動後、２倍の相似拡大）

と気がつかれた読者の方も多いだろう。行列 Ａ の固有多項式は、　ｘ²＋２ｘ＋４＝０　であ

るが、その解を求めると、　ｘ＝−１±ｉ　なので、１の３乗根 ω を用いれば、方程式の

解が、　２ω　、　２ω²　であることも見えてくる。

　このことに、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが着目され、次のような問いか
けをなされている。（平成２１年３月１１日付け）

　２次の正方行列 Ａ が Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ を満たすとき、Ａ をすべて求めよ。

（解）　実数成分の、２次の正方行列
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　に対して、Ｃａｙｌｅｙ-Ｈａｍｉｌｔｏｎ の定理より、　Ａ²−（ａ＋ｄ）Ａ＋（ａｄ−ｂｃ）Ｅ＝Ｏ

　　　Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ　より、　（ａ＋ｄ＋１）Ａ＝（ａｄ−ｂｃ−１）Ｅ

　　　ａ＋ｄ＋１≠０　のとき、　Ａ＝ｋＥ　（ｋ は実数）　とおける。

　　　このとき、　Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ　に代入して、　（ｋ²＋ｋ＋１）Ｅ＝Ｏ　より、

　　　　　ｋ²＋ｋ＋１＝０　　この方程式を満たす実数解は存在しない。

　　　よって、　ａ＋ｄ＋１＝０　で、このとき、　ａｄ−ｂｃ−１＝０

　　　　ここで、　ｄ＝−ａ−１　を第２式に代入して整理すると、

　　　　　−ａ²−ａ−ｂｃ−１＝０　より、　ｂｃ＝−ａ²−ａ−１

　　　ｂ＝０　とすると、方程式　ａ²＋ａ＋１＝０　を満たす実数解は存在しないので不適。

　　　よって、　ｂ≠０　で、　ｃ＝−（ａ²＋ａ＋１）/ｂ　となる。

　　以上から、求める行列は、２つのパラメータ ａ 、ｂ により、

　　　　　　　　


　この問題は、平成１５年度入試 京都大学 理系の問題（→参考：「オメガ（ω）の真実」）
を意識して、行列の問題にすり替えることができる。

　２次の正方行列 Ａ が Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ を満たすとき、

　（Ａ¹⁰⁰＋Ｅ）¹⁰⁰＋（Ａ²＋Ｅ）¹⁰⁰＋Ｅ＝Ｏ を示せ。

（解）　Ａ³＝Ｅ　、　Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ　なので、

　　　（Ａ¹⁰⁰＋Ｅ）¹⁰⁰＋（Ａ²＋Ｅ）¹⁰⁰＋Ｅ＝（Ａ＋Ｅ）¹⁰⁰＋（−Ａ）¹⁰⁰＋Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（−Ａ²）¹⁰⁰＋Ａ¹⁰⁰＋Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ａ²⁰⁰＋Ａ¹⁰⁰＋Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ａ²＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ

（コメント）　Ｓ（Ｈ）さんの出題では、

　　　　　　　　（Ａ¹⁰⁰＋Ｅ）¹⁰⁰＋（Ａ＋Ｅ）¹⁰⁰＋Ｅ＝Ｏ を満たせば証明

　　　　　となっているが、上式は成り立たないので、多分「ミスプリ」？