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026 平成21年度前期  静岡大学   理系 ・・・ 行列のn乗(数学C)  標準

 この問題は行列の n 乗の典型問題だろう。数学Tにおける式の値の問題の行列版であ
る。


静岡大学 前期理系(2009)

 行列    について、次の問いに答えよ。

(1) A+A2+A3 を求めよ。

(2) 自然数 n に対して、 A+A2+A3+・・・+A3n-1+A3n を求めよ。

(解)(1) Cayley-Hamilton の定理より、 A2+2A+4E=O

      このとき、 A+A2+A3=(A−E)(A2+2A+4E)−A+4E

                     =−A+4E
     よって、
         

(2) A+A2+A3+・・・+A3n-1+A3n

  =(A+A2+A3)+(A+A2+A3)A3+・・・+(A+A2+A3)A3n-3

  =(A+A2+A3)(E+A3+・・・+A3n-3

  ここで、 A3=A(−2A−4E)=−2A2−4A=−2(−2A−4E)−4A=8E なので、

  A+A2+A3+・・・+A3n-1+A3n

 =(1+8+82+・・・+8n-1)(−A+4E)=(8−1)(−A+4E)/7

  よって、
         (終)

(コメント) 解答自体は易しい!河合塾の問題分析では「標準」となっているが、これはあく
      までも静岡大学受験生レベルによるもので、問題レベルとしては「やや易」だろう。

 行列の成分を見た瞬間に、

    A=2R(2π/3) (原点中心、2π/3の回転移動後、2倍の相似拡大)

と気がつかれた読者の方も多いだろう。行列 A の固有多項式は、 x2+2x+4=0 であ

るが、その解を求めると、 x=−1±i なので、1の3乗根 ω を用いれば、方程式の

解が、 2ω 、 2ω2 であることも見えてくる。

 このことに、当HPがいつもお世話になっているS(H)さんが着目され、次のような問いか
けをなされている。(平成21年3月11日付け)

 2次の正方行列 A が A2+A+E=O を満たすとき、A をすべて求めよ。

(解) 実数成分の、2次の正方行列
                     

   に対して、Cayley-Hamilton の定理より、 A2−(a+d)A+(ad−bc)E=O

   A2+A+E=O より、 (a+d+1)A=(ad−bc−1)E

   a+d+1≠0 のとき、 A=kE (k は実数) とおける。

   このとき、 A2+A+E=O に代入して、 (k2+k+1)E=O より、

     k2+k+1=0  この方程式を満たす実数解は存在しない。

   よって、 a+d+1=0 で、このとき、 ad−bc−1=0

    ここで、 d=−a−1 を第2式に代入して整理すると、

     −a2−a−bc−1=0 より、 bc=−a2−a−1

   b=0 とすると、方程式 a2+a+1=0 を満たす実数解は存在しないので不適。

   よって、 b≠0 で、 c=−(a2+a+1)/b となる。

  以上から、求める行列は、2つのパラメータ a 、b により、

        


 この問題は、平成15年度入試 京都大学 理系の問題(→参考:「オメガ(ω)の真実」
を意識して、行列の問題にすり替えることができる。

 2次の正方行列 A が A2+A+E=O を満たすとき、

 (A100+E)100+(A2+E)100+E=O を示せ。

(解) A3=E 、 A2+A+E=O なので、

   (A100+E)100+(A2+E)100+E=(A+E)100+(−A)100+E

                        =(−A2100+A100+E

                        =A200+A100+E

                        =A2+A+E=O

(コメント) S(H)さんの出題では、

        (A100+E)100+(A+E)100+E=O を満たせば証明

     となっているが、上式は成り立たないので、多分「ミスプリ」?