０１３	平成２０年度前期	筑波大学	全学	・・・	対数関数（数学�U）	標準

　問題の記述は対数関数だが、実質は、２次方程式の解の分離問題で定型的な問題と言
える。

　解の分離問題が苦手な人にとっては難問と映るだろうが、解法は定まっているので、必ず
押さえておかなければならない範疇の問題だろう。（→　参考：「解の分離」）


筑波大学　全学（２００８）

　ｐ、ｑ を正の実数とする。ｘ の方程式　ｌｏｇ₁₀（ｐｘ）ｌｏｇ₁₀（ｑｘ）＋１＝０　が １ より大きい解
を持つとき、点（ ｌｏｇ₁₀ ｐ，ｌｏｇ₁₀ ｑ ）の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

（解）　（ｌｏｇ₁₀ ｘ＋ｌｏｇ₁₀ ｐ）（ｌｏｇ₁₀ ｘ＋ｌｏｇ₁₀ ｑ）＋１＝０　より、

　　　　　（ｌｏｇ₁₀ ｘ）²＋（ｌｏｇ₁₀ ｐ＋ｌｏｇ₁₀ ｑ）ｌｏｇ₁₀ ｘ＋（ｌｏｇ₁₀ ｐ）（ｌｏｇ₁₀ ｑ）＋１＝０

　　　　ここで、　ｌｏｇ₁₀ ｘ＝Ｘ　、　ｌｏｇ₁₀ ｐ＝ａ　、　ｌｏｇ₁₀ ｑ＝ｂ　とおくと、

　　　２次方程式　Ｘ²＋（a＋ｂ）Ｘ＋ａｂ＋１＝０　が得られる。

　　　　もとの方程式が １ より大きい解を持つので、この２次方程式は少なくとも１個の正の

　　　解を持つことになる。

　　　　　Ｆ（Ｘ）＝Ｘ²＋（a＋ｂ）Ｘ＋ａｂ＋１＝（Ｘ＋（a＋ｂ）/２）²−（a−ｂ）²/４＋１　とおくと、

　　　軸の方程式は、　Ｘ＝−（a＋ｂ）/２　となる。

　　　　（１）　−（a＋ｂ）/２＞０　すなわち、　a＋ｂ＜０　のとき、題意を満たすためには、

　　　　　　　頂点の Ｙ 座標＝−（a−ｂ）²/４＋１≦０　すなわち、

　　　　　　　　　　　　　a−ｂ≦−２　または　a−ｂ≧２

　　　　（２）　−（a＋ｂ）/２≦０　すなわち、　a＋ｂ≧０　のとき、題意を満たすためには、

　　　　　　　Ｆ（０）＝ａｂ＋１＜０　すなわち、　ａｂ＜−１

　　　以上から求める領域は、

　　　　　　

　境界線は、　ａｂ＝−１ （　−１≦ａ＜０　、　１≦ａ　） の部分を除き含まれる。　（終）

（コメント）　軸の位置によって場合分けするところがポイントですね！