００５	平成１８年度	慶應義塾大学	看護医療学部	・・・	数　列	標準

　慶應義塾大学の看護医療学部は２００１年４月、第９番目の学部として開設された。主に、
湘南藤沢キャンパス（ＳＦＣ）を拠点とし、慶應義塾の伝統ある看護職を養成する教育課程
を発展・充実させた学部のようだ。私自身、慶應に看護医療学部があることを、今まで知ら
なかった。

　入試問題をみて、当ＨＰの「お茶の時間　パズル＆クイズ」で取り上げた「２００６年問題」
と同様の問題が出題されていることに驚いた。


慶應義塾大学　看護医療学部（２００６）

　連続した自然数の組（５００、５０１、５０２、５０３）は、そこに並んだすべての数の総和が
２００６になるものである。
　　　　　　　　　　　　　　　　　５００＋５０１＋５０２＋５０３＝２００６

　このように２個以上の連続した自然数の組で、そこに並んだすべての数の総和が２００６
になるものをすべて求めなさい。

　ただし、必要ならば、次のように素因数分解できることを利用してよい。
　　　　　　　　２００６＝２×１７×５９


　多分「ただし、〜」が大学側の温情で、解答のヒントになっている。出題分野は数列である
が、最近高校であまりやらない整数論の知識（進学校では当然補足されている分野だろう）
も使い、慣れていないと難しいかもしれない。

（解）　ある数 ａ （ａ≧１）から始まって、連続する ｋ 個（ｋ≧２）の数を考える。

　　　　　　　ａ 、ａ＋１ 、ａ＋２ 、・・・ 、ａ＋ｋ−１

条件より、　　ａ ＋ （ａ＋１） ＋ （ａ＋２） ＋ ・・・ ＋ （ａ＋ｋ−１）＝２００６＝２×１７×５９

　ここで、　左辺＝ｋａ＋ｋ（ｋ−１）/２＝ｋ（２ａ＋ｋ−１）/２　　なので、

　　　　　　　　ｋ（２ａ＋ｋ−１）＝２²×１７×５９

　ｋ≧２　に注意して、ｋ の可能性は、

　ｋ＝２、２²、１７、２×１７、２²×１７、５９、２×５９、２²×５９、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１７×５９、２×１７×５９、２²×１７×５９

このうち、　ｋ＜２ａ＋ｋ−１　を満たすものは、

　　　　　　　　ｋ＝２ 、２² 、１７ 、２×１７ 、２²×１７ 、５９

の６通りである。これらについて、

　ｋ＝２ のとき、　　２ａ＋１＝２×１７×５９＝２００６　　この式を満たす整数 ａ は存在しない。

　ｋ＝２² のとき、　　２ａ＋３＝１７×５９＝１００３　　この式を満たす整数 ａ は、　ａ＝５００

　ｋ＝１７ のとき、　　２ａ＋１６＝２²×５９＝２３６　　この式を満たす整数 ａ は、　ａ＝１１０

　ｋ＝２×１７ のとき、　　２ａ＋３３＝２×５９＝１１８　　この式を満たす整数 ａ は存在しない。

　ｋ＝２²×１７ のとき、　　２ａ＋６７＝５９＝１１８　　この式を満たす整数 ａ は存在しない。

　ｋ＝５９ のとき、　　２ａ＋５８＝２²×１７＝６８　　この式を満たす整数 ａ は、　ａ＝５

　以上から、求める自然数の組は、

　　（５００、５０１、５０２、５０３）　、 （１１０、１１１、・・・、１２６）　、 （５、６、７、８、・・・、６３）

の３組である。（終）

　上記の解に対して、「等差数列の項数が奇数の約数に対応することを知っているとあっ
さり解けますね。」と、当ＨＰがいつもお世話になっている、らすかるさんからご教示いただ
いた。（平成１８年２月２５日付け）

　ある数 ａ （ａ≧１）から始まって、連続する ｋ 個（ｋ≧２）の数を考える。
　　　　　　　ａ 、ａ＋１ 、ａ＋２ 、・・・ 、ａ＋ｋ−１
　ｋ が奇数ならば、
　　ａ＋（ａ＋１）＋・・・＋（ａ＋ｋ−１）＝（２ａ＋ｋ−１）ｋ/２＝２００６＝２×１７×５９
より、
　　　　ｋ＝１７　、　５９　、　１７×５９
の場合しかありえない。
　ｋ が偶数ならば、
　　（−ａ＋１）＋（−ａ＋２）＋・・・＋０＋・・・＋（ａ−２）＋（ａ−１）　（←　和は０で、奇数項）
を上記の和に加えて、
　　（−ａ＋１）＋（−ａ＋２）＋・・・＋（ａ−１）＋ａ＋（ａ＋１）＋・・・＋（ａ＋ｋ−１）＝２００６
よって、　　ｋ（ｋ＋（奇数））/２＝２×１７×５９　より、
　　　　ｋ＋（奇数）＝１７　、　５９　、　１７×５９
の場合しかありえない。

　何れにしても、奇数項の等差数列の和が２００６になるということなので、項数が、それ
ぞれ　１７　、　５９　、　１７×５９　の各場合について、中央の項を求めればよい。

項数が　１７　の場合、中央の項は、　２００６÷１７＝１１８　なので、求める数列は、
　　　　（１１０、１１１、・・・１１８、・・・、１２５、１２６）

項数が　５９　の場合、中央の項は、　２００６÷５９＝３４　なので、求める数列は、
　　　　（５、６、・・・、３４、・・・、６２、６３）

項数が　１７×５９　の場合、中央の項は、　２００６÷１７×５９＝２　なので、数列は、
　　　　（−４９９、−４９８、・・・、１、２、３、・・・４９９、５００、５０１、５０２、５０３）
　　求める数列は、自然数列なので、数列から、
　　　　（−４９９、−４９８、・・・、０、１、２、３、４、・・・４９９）
　の部分を削除して、求める数列は、
　　　　（５００、５０１、５０２、５０３）
となる。