００４	平成１８年度	慶應義塾大学	総合政策学部	・・・	パズル	やや難

　今年度の入試問題を閲覧していて、真っ先に「エッ！」と思った問題である。出題分野が
「パズル」なんて、受験生が怒らないのかなと思わず心配してしまう。慶應義塾大学は時々
このような奇想天外の問題を出すから好きだ！


慶應義塾大学　総合政策学部（２００６）

　１２人の仲間は毎日２人ずつで組をつくり、散歩に出かける。１１日間で同じ人と２度組む
ことなく、全ての人と散歩にでかけることができた。

　以下の表は、その組合せであり、１２人を Ａ〜Ｌとしてある。
（赤字の部分が設問では空欄となっていた部分である。）

　この問題は、正しく「カークマンの女生徒の問題」の類似問題である。組合せの表が一部
空欄とはいえ与えられているので、受験生にとっては取り組みやすい問題だったろう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（でも、ちょっと時間がかかるかな？）

　各日とも、全員が散歩に出かけるので、たとえば「３日目」の空欄に入る文字は、「ＫとＬ」
しかない。しかし、「６日目」に『ＪＫ』の組が既にあるので、Ｊと組になるのは、Ｌしかない。こ
んな風に地道に１組ずつ穴埋めをしていけばよい。

　予備校の難易度基準では「やや難」ということだが、中学生でも十分解きうる「やや易」の
部類の良問と言えるだろう。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月３１日付け）

　上記の問題で、人数をもう少し減らして何も書いてない状態から表を作ることを考えたい。

そこで、一般化した形で書いておく。

　２ｎ人の仲間は毎日２人ずつで組をつくり、散歩に出かける。２ｎ−１日間で同じ人と２度
組むことなく、全ての人と散歩にでかけるようにしたい。

(１)　まず、これは、ｎが何であっても可能であろうか。

(２)　可能であるとして、何通りあるか。ただし、実質的に同じものを数えないようにするため
　　に、次の条件を付けることにする。

　　　２ｎ人を、１、２、３、･･･、２ｎ−１、２ｎ として、

　　　　(ａ)　１日目は、(１，２)、(３，４)、･･･、(２ｎ−１，２ｎ)で組を作る。

　　　　(ｂ)　１は1日目は２と、2日目は３と、･･･、２ｎ−１日目は２ｎと組を作る。

　２ｎ＝２　のときは、明らかに、１通り

　２ｎ＝４　のときは、次の組み方しかなく、１通り
　
　　　１日目　(１，２)、(３，４)
　　　２日目　(１，３)、(２，４)
　　　３日目　(１，４)、(２，３)

　２ｎ＝６　のときは、次の２通りのようである。

　　　１日目　(１，２)、(３，４)、(５，６)      １日目　(１，２)、(３，４)、(５，６)
　　　２日目　(１，３)、(２，５)、(４，６)      ２日目　(１，３)、(２，６)、(４，５)
　　　３日目　(１，４)、(２，６)、(３，５)      ３日目　(１，４)、(２，５)、(３，６)
　　　４日目　(１，５)、(２，４)、(３，６)      ４日目　(１，５)、(２，３)、(４，６)
　　　５日目　(１，６)、(２，３)、(４，５)      ５日目　(１，６)、(２，４)、(３，５)

　５と６を入れ替えただけだから同じとも言えるが、上の基準で言えば別なので、別と数える
ことにする。

　２ｎ＝８、１０　のときはどうなるでしょうか？