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| ００２ | 平成１６年度 | 慶應義塾大学 | 理工学部 | ・・・ | 微分積分（数学Ⅲ） | 標準 |
昨年度は、東京大学理科系の「円周率の評価」が受験数学界を賑わした。新聞にも取り
上げられ、普段数学と接点のない方でも、ご存知の方が多かった。
円周率は、数学の公式に数多く現れる。次は、かの大数学者オイラーが愛でし等式であ
る。
昨年度、円周率が話題になったので、この等式を用いた円周率の評価を問う問題が、今
年度作問されるだろうということは十分予想されたが、慶応義塾大学理工学部で、その予
想が的中した。
慶應義塾大学 理工学部（２００４）
正の整数 ｎ に対して、
とおく。
（１） １ ≦ ｋ ＜ ｎ を満たす整数 ｋ 、ｎ に対して、次の不等式が成り立つことを証明しなさ
い。
（２） すべての正の整数 ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜１．７ が成り立つことを証明しなさい。
（「証明せよ。」ではなく、「証明しなさい。」というところが、いかにも新課程風ですね！）
証明自体は、標準的な微分積分の問題である。
（問題の解答）
（１） ｍ－１≦ｘ≦ｍ のとき、
ｍ≦ｘ≦ｍ＋１ のとき、
なので、
が成り立つ。よって、
したがって、
が成り立つ。
（２） Ｓ（１）＝１＜１．７ 、 Ｓ（２）＝１＋1/4＝１．２５＜１．７
Ｓ（３）＝１＋1/4＋1/9＝49/36＝１．３６１・・・＜１．３６２＜１．７
ｎ＞３ となる任意の ｎ に対して、（１）より、
Ｓ（ｎ）＜Ｓ（３）＋1/3－1/ｎ＜１．６９６＜１．７
したがって、すべての正の整数 ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜１．７ が成り立つ。（終）
ところで、Ｓ（ｎ）＜１．７ という評価は、円周率の評価に換算すると、どれ位のものにな
るのだろうか？
π2＜６×１．７＝１０．２ なので、
手計算による開平を行うと、
π ＜ ３．１９
であることが分かる。
ところで、π＜３．１４２ を示すには、Ｓ（ｎ）の上限の値はいかほどに設定すればよいの
だろうか？
π2/６ ＜９．８７２１６４/６＝１．６５３６１ であるので、
Ｓ（ｎ）＜１．６５３ と評価すれば、円周率 π の評価として、π＜３．１４２ となる。
上記の（２）の計算を続ければ、
Ｓ（４）＝１＋1/4＋1/9＋1/16＝205/144＝１．４２３６１１・・・＜１．４２４
ｎ＞４ となる任意の ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜Ｓ（４）＋1/4－1/ｎ＜１．６７４
Ｓ（５）＝１＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＝5269/3600＝１．４６３６１１・・・＜１．４６４
ｎ＞５ となる任意の ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜Ｓ（５）＋1/5－1/ｎ＜１．６６４
Ｓ（６）＝１＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＋1/36＝5369/3600
＝１．４９１３８９・・・＜１．４９２
ｎ＞６ となる任意の ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜Ｓ（６）＋1/6－1/ｎ＜１．６５９
Ｓ（７）＝１＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＋1/36＋1/49＝266681/176400
＝１．５１１７９７・・・＜１．５１２
ｎ＞７ となる任意の ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜Ｓ（７）＋1/7－1/ｎ＜１．６５５
Ｓ（８）＝１＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＋1/36＋1/49＋1/64
＝1077749/705600＝１．５２７４２２・・・＜１．５２８
ｎ＞８ となる任意の ｎ に対して、 Ｓ（ｎ）＜Ｓ（８）＋1/8－1/ｎ＜１．６５３
以上の計算から、円周率の評価を厳しくすれば、ある程度大きい ｎ の値までの処理が
必要である。
若干円周率の評価は甘いものの、時間制限のある大学入試問題としては非常に良心
的な問題と言えよう。
（追記） 平成２２年４月３日付け
４月２日付けで当ＨＰの読者の方（Ｋさん）より、上記の（１）については積分を用いなくても
証明できる旨、メールでご教示頂いた。
２以上の自然数 ｋ に対して、不等式
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および |  |
が成り立つことは明らかだろう。
実際に、前者は
後者も同様である。したがって、２以上の自然数 ｋ に対して、不等式
が成り立つ。
このとき、自然数 ｎ 、ｋ （ｋ＜ｎ）に対して、
であることに注意して、不等式を辺々加えることにより
を得る。
（コメント） Ｋさん、別解ありがとうございます。スッキリしていて鮮やかな別解ですね！
Ｋさんからの情報によれば、平成２２年度入試 東京大学 前期（理科）の数学
第２問でも後半でこのことが利用されているとのことである。
参考までに、東京大学の問題を考えてみよう。
（１） すべての自然数 ｋ に対して、次の不等式を示せ。
（２） ｍ＞ｎ であるようなすべての自然数 ｍ と ｎ に対して、次の不等式を示せ。
受験問題集にあるような問題なので、慣れている方には易しい問題かもしれない。直観的
に（１）は被積分関数の評価で解決できるという予想が立つが、（２）の方は何となく出来ちゃ
ったという方が多かったかも．．．！
（解）（１） ０≦ｘ≦１ より、 ｋ≦ｋ＋ｘ≦ｋ＋１ なので、
さらに、
なので、
が成り立つ。
（２）
なので、
ここで、
なので、（↑この不等式が、Ｋさんのご指摘のもの！）
すなわち、
が成り立つ。
ｋ＝ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２、・・・、ｍ－１ について、辺々加えれば、
が成り立つことが分かる。 （終）
（コメント） 解いてはみたものの、この問題の出典が掴めない。何か数学的な背景が多分
あると思うのだが．．．。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２１日付け）
上記では、正の整数 ｎ に対して、
とおくとき、Ｓ（ｎ）＜１．７ の証明を誘導付きで求めている。S(ｎ) の ｎ
→ ∞ のときの極限
は、π2/６ ＝１．６４４９３４０６７・・・ である。従って、上の式はまあまあではあるが、それ
ほどいい式でもない。２００８年の長岡技術科学大学の問題ではもっと簡単な誘導でもっと
良い式が得られている。
上記で使っているのは、
という不等式であるが、「Ｓ（ｎ）＜１．７」の証明で実際に用いるのは、右辺の方である。
逆数をとって考えると、 ｋ2＞ｋ（ｋ－１） であるが、その差は、ｋ だから、ｋ が大きいとき、
ｋ2 に比べて小さいとはいえかなり大きい。
長岡技術科学大学の問題で使っているのは、逆数で書けば、 ｋ2＞ ｋ2－１/４ である。
その差は、１/４だから、上記のｋと比べたら、特に、ｋが大きいときを考えると、かなりの
違いがある。だから良い結果が得られるのは当然である。
１/ ｋ2＜１/( ｋ2－１/４)＝１/(ｋ－１/２)－１/(ｋ＋１－１/２)
を、ｋ＝２以降に適用して、Ｓ（ｎ）＜５/３＝１．６６６６・・・ が得られる。
長岡技術科学大学の問題で証明しているのはこれだが、ｋ＝１、２はそのままで、ｋ＝３
以降に適用すると、Ｓ（ｎ）＜１．６５ が得られる。
π2/６ ＝１．６４４９３４０６７・・・ と比べて、かなりよい不等式である。
冒頭の不等式では、第３項までは本来の数列を使って、第４項以下に不等式を適用して、
Ｓ（ｎ）＜１．７ が得られる。また、第８項まで本来の数列を使って、第９項以下に不等式を
適用すれば、Ｓ（ｎ）＜１．６５３ が得られる。
長岡技科大の方では、第３項以下に適用で、Ｓ（ｎ）＜１．６５ だからかなり差がある。
問題としては、慶應義塾大学の方が難しいし面白いと思うが、Ｓ（ｎ）の評価を与えるとい
う意味では長岡技科大の問題のほうがいい。
上からの評価として、Ｓ（ｎ）＜１．６５ はかなりいい。下からの評価として、Ｓ（ｎ）＞１．６
ぐらいが得られないだろうか。
無限級数の和だから、有限項で切れば、下からの評価は得られる。このやり方だと、少
なくとも第２２項までとらないといけない。しかも、かなりきちんと計算しないといけないので
手計算では無理だろう。
あまり上手い方法はないかと思いますが、手計算可能な方法で、
ｎ を適当にとれば、Ｓ（ｎ）＞１．６ とできる
ことを証明できないでしょうか？また、２乗を３乗にして、
T(ｎ)＝１＋１/２3＋１/３3＋・・・＋１/ｎ3 としたとき、 T(ｎ)＜５/４ である
ことを証明してください。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１月２１日付け）
ｎ を適当にとれば、Ｓ（ｎ）＞１．６ とできる
について、ｎ≧４ のとき、
| |
＞１＋１/２2＋１/３2＋∫4∞（１/ｘ2）ｄｘ |
＝１＋１/２2＋１/３2＋１/４＝１．６１１１・・・
でどうでしょうか。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２１日付け）
なるほど！これで、できてますね。十分手計算可能です。私は、もとの問題と同様に、
１/ ｋ2＞１/ｋ(ｋ＋１)
を使うことを考えたのですが、これだと、第７項ぐらいまでそのままやって、それ以降に不等
式を適用のように思っていたのですが、何か勘違いをしていたようで、今やってみたら第３
項までそのままで第４項以降に適用で、できました。
1/ｘ2 の積分でやるのと、１/ ｋ2＞１/ｋ(ｋ＋１) でやるのとは同じのようです。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２１日付け）
T(ｎ)＝１＋１/２3＋１/３3＋・・・＋１/ｎ3 としたとき、 T(ｎ)＜５/４ である
について、 １/ｎ3＜１/ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)＝（１/２）｛１/（ｎ－１）－２/ｎ＋１/（ｎ＋１）｝
という評価を考えるのは自然な発想です。このとき、
Ｔ（ｎ）＜１＋（１/２）｛１/２－１/ｎ＋１/（ｎ＋１）｝＝５/４－１/｛２ｎ（ｎ＋１）｝＜５/４
不等式を、１/３3 以降に適用すると、
Ｔ（ｎ）＜１＋１/８＋（１/２）｛１/６－１/ｎ＋１/（ｎ＋１）｝＝２９/２４－１/｛２ｎ（ｎ＋１）｝
よって、 Ｔ（ｎ）＜２９/２４＝１．２０８３３・・・ を得る。
[Wikipedia によると、Ｔ（ｎ）＝１．２０２０５・・・]
下からの精度ある評価は、より難しいようです。
１/ｎ3＋１/（ｎ＋１）3
＝（２ｎ3＋３ｎ2＋３ｎ＋１）/ｎ3（ｎ＋１）3
＞（２ｎ3＋３ｎ2＋ｎ）/ｎ3（ｎ＋１）3
＝（２ｎ＋１）/ｎ2（ｎ＋１）2＝１/ｎ2－１/（ｎ＋１）2
と評価すると、そこそこの精度がありました。１/２3 以降の項に適用した場合、
T(ｎ)＝１＋１/２3＋１/３3＋・・・＋１/ｎ3
＝１＋（１/２3）/２＋（１/２3＋１/３3）/２＋（１/３3＋１/４3）/２＋
・・・＋（１/（ｎ－１）3＋１/ｎ3）/２＋（１/ｎ3）/２
＞１＋１/１６＋（１/４－１/ｎ2）/２＋（１/ｎ3）/２
＝１９/１６－（ｎ－１）/２ｎ3＝１．１８７５－（ｎ－１）/２ｎ3
１/３3 までそのまま計算して、１/４3 から同様に適用すると、
limn→∞ T(ｎ)＞１＋１/８＋１/２７＋（１/６４）/２＋（１/１６）/２＞１．２ が言えます。
一般に、ｙ＝１/ｘｐ のグラフが区間 [ｎ，ｎ＋１] で下に凸である時、
[台形の面積]
{１/ｎｐ＋１/（ｎ＋１）ｐ}/２＞∫ｎｎ+1 １/ｘｐ ｄｘ＝{１/ｎp-1－１/（ｎ＋１）p-1}/(ｐ－１)
を使って、級数 Σ１/ｎｋ を下から評価できそうです。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２１日付け）
大阪大学の入試問題にあった問題です。もちろん誘導付きで。今ネットでざっと調べてみ
たら見つかりませんでした。
１/ｎ3＜１/ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)＝（１/２）｛１/ｎ（ｎ－１）－１/ｎ（ｎ＋１）｝ を使った誘導でした。
実質的に空舟さんの式と同じですが．．．。
第３項以降に適用で得られた式Ｔ（ｎ）＜１．２０８３３・・・は、かなり真値に近いですね。
また、 １/ｎ3＋１/（ｎ＋１）3＞１/ｎ2－１/（ｎ＋１）2 は面白い式ですね。上の証明から見
れば、この２式はかなり近そうです。調べてみたら、ｎ＝１０ぐらいで、相対誤差は１％ほど
で、使えそうな式です。第４項以下に適用で、「＞１．２」が言えるというのはすごいですね。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２５日付け）
東京大学の問題の
（２） ｍ＞ｎ であるようなすべての自然数 ｍ と ｎ
に対して、次の不等式を示せ。
について、
「解いてはみたものの、この問題の出典が掴めない。何か数学的な背景が多分あると思うのだが．．．。」
と書いてあります。
この式は、オイラー定数γの存在証明とその粗い評価を与えます。
ａ(ｎ)＝１＋１/２＋・・・＋１/ｎ－ｌｏｇ ｎ とする。ｎ → ∞ のときの
ａ(ｎ) の極限がオイラー
定数 γ である。
ｍ＞ｎ のとき、
ａ(ｍ)－ａ(ｎ)＝１/(ｎ+1)＋１/(ｎ+2)＋･･･＋１/ｍ－ｌｏｇ ｍ＋ｌｏｇ ｎ
＝Σk=n+1～ｍ １/ｋ－ｌｏｇ(ｍ/ｎ)
これは、（２）の不等式の真ん中の項の符号を変えたものである。従って、
(ｍ-ｎ)/{２(ｍ+1)(ｎ+1)}＜a(ｎ)-a(ｍ)＜(ｍ-ｎ)/(２ｍｎ)
今、ｍ＞ｎ だから、この不等式の第1項は正で、 ａ(ｎ)＞ａ(ｍ)
即ち、数列｛ａ(ｍ)｝は単調減少である。また、右の不等式で、ｎ＝１とおいて移項すると、
ａ(1)－(ｍ-1)/(２ｍ)＜ａ(ｍ)
ａ(１)＝１ だから、 ａ(ｍ)＞１－(ｍ－１)/(２ｍ)＝１/２＋１/(２ｍ)＞１/２
即ち、数列｛ａ(ｍ)｝は下に有界である。
下に有界な単調減少数列は収束するから、数列｛ａ(ｎ)｝は収束する。
これで、オイラー定数γの存在は言えた。また、ａ(ｍ)＞１/２ から、 γ≧１/２＝０．５
左の不等式で、ｎ＝１ とおいて、移項して、
ａ(ｍ)＜ａ(１)－(ｍ－1)/{４(ｍ+1)}＝1－(ｍ－1)/{４(ｍ+1)}＝３/４＋１/{２(ｍ+１)}
これより、 γ≦３/４＝０．７５ なので、 ０．５≦γ≦０．７５
なお、真の値は、γ＝０．５７７２１５６６・・・ であるらしい。