世の中に、「・・・の不等式」と言われるものは多々ある。次の不等式は、以前、問題集で
解いたような覚えがあるのだが、それが、「Ｎｅｓｂｉｔｔ の不等式」であるということを最近知っ
た。
Ｎｅｓｂｉｔｔ の不等式
ａ＞０ 、ｂ＞０ 、ｃ＞０ のとき、
等号成立は、 ａ＝ｂ＝ｃ の場合に限る。
（証明） 相加平均と相乗平均の関係から、
２式を辺々掛けて整理すると、
左辺を展開して、
よって、
が成り立つ。
等号成立は上記より、 ａ＋ｂ＝ｂ＋ｃ＝ｃ＋ａ すなわち、 ａ＝ｂ＝ｃ の場合に限る。
（証終）
上記証明は、少し技巧的かもしれない。もう少し素直な証明を考えてみよう。
（別証） ｂ＋ｃ＝ｘ 、ｃ＋ａ＝ｙ 、ａ＋ｂ＝ｚ 、 とおくと、 ａ＋ｂ＋ｃ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）/２
このとき、 ａ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）/２−ｘ＝（−ｘ＋ｙ＋ｚ）/２
ｂ＝（ｘ−ｙ＋ｚ）/２ 、 ｃ＝（ｘ＋ｙ−ｚ）/２
よって、 ａ/（ｂ＋ｃ）＋ｂ/（ｃ＋ａ）＋ｃ/（ａ＋ｂ）
＝（−１＋ｙ/ｘ＋ｚ/ｘ）/２＋（ｘ/ｙ−１＋ｚ/ｙ）/２＋（ｘ/ｚ＋ｙ/ｚ−１）/２
＝（ｘ/ｙ＋ｙ/ｘ）/２＋（ｙ/ｚ＋ｚ/ｙ）/２＋（ｚ/ｘ＋ｘ/ｚ）/２−３/２
≧１＋１＋１−３/２＝３/２
等号成立は、 ｘ/ｙ＝ｙ/ｘ 、ｙ/ｚ＝ｚ/ｙ 、ｚ/ｘ＝ｘ/ｚ すなわち、 ｘ＝ｙ＝ｚ より、
ａ＝ｂ＝ｃ の場合に限る。 （別証終）
（コメント） この別証だと、十分高校２年生レベル相当ですね！
上記不等式において、さらに、ａ、ｂ、ｃ が三角形の三辺の長さであるとき、次の不等式
が成り立つ。
一見して自明ではないので、証明を与えておこう。
（証明） ２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ とおくと、ａ、ｂ、ｃ は三角形の３辺の長さなので、 ａ＜ｂ＋ｃ より、
２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＜２（ｂ＋ｃ） すなわち、 ｓ＜ｂ＋ｃ が成り立つ。
同様にして、 ｓ＜ｃ＋ａ 、 ｓ＜ａ＋ｂ も成り立つ。
よって、
が成り立つ。（証終）
図形とも関連があるようで、１９９７年数学オリンピックの問題では次のような形で出題さ
れている。
凸６角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、ＡＢ＝ＢＣ、ＣＤ＝ＤＥ、ＥＦ＝ＦＡ とする。
このとき、ＢＣ/ＢＥ＋ＤＥ/ＤＡ＋ＦＡ/ＦＣ≧３/２
が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か
答えよ。
（証明） 四辺形ＥＡＢＣにおいて、トレミーの不等式から、
ＡＥ・ＢＣ ＋ ＡＢ・ＣＥ ≧ ＡＣ・ＢＥ
等号成立は、四辺形ＥＡＢＣが円に内接するときに限る。
問題の条件より、 ＡＢ＝ＢＣ なので、 ＢＣ・（ＡＥ＋ＣＥ） ≧ ＡＣ・ＢＥ
ここで、ＡＣ ＝ ａ 、ＣＥ ＝ ｂ 、ＡＥ ＝ ｃ とおくと、 ＢＣ/ＢＥ ≧ ａ/（ｂ＋ｃ）
同様にして、 ＤＥ/ＤＡ ≧ ｂ/（ｃ＋ａ） 、ＦＡ/ＦＣ ≧ ｃ/（ａ＋ｂ）
