大小比較　　 　　 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　２つの実数 ａ、ｂ があれば、「ａ＜ｂ　、ａ＝ｂ　、ａ＞ｂ」の何れかが必ず成り立つので、２つ
のものがあれば比較したがるのが人間の性（さが）だろう。大小比較は、数に対する素朴な
感覚を養ううえで大切である。

　平成１８年度の学習院大学文学部の入試問題に、次のような問題が出題された。

　次の５つの数を小さい順に並べよ。

　　　、　、11/7　、−　、1/（＋）


　Ａ＝　、Ｂ＝　、Ｃ＝11/7　、Ｄ＝−　、Ｅ＝1/（＋）　とする。

　Ｅｘｃｅｌ さんに協力してもらえれば、　Ｅ＜Ｄ＜Ａ＜Ｃ＜Ｂ　であることは瞬時に分かるが、そ
れでは大人げない。きっちり手計算で求めることにしよう。

　５つの数ですぐ分かることは、

　Ａ⁶＝８　、Ｂ⁶＝８１　より、　Ａ＜Ｂ

　Ａ²＝２　、Ｃ²＝121/49＞２　より、　１＜Ａ＜Ｃ＜２　で、　８＜９　より、　２＜Ｂ

　また、　3/2＜＜＜5/2　なので、　０＜Ｄ＜１

　ここで、Ｄ＝−＝２/（＋）＞２/（＋）＝１/＞1/（＋）＝Ｅ

　以上から、　Ｅ＜Ｄ＜Ａ＜Ｃ＜Ｂ　である。


　Ｓ（Ｈ）さんの話題から問題を頂きました。（平成２６年１０月２６日付け）

問題　２−　と　３−　の大小を比較せよ。

（解）　（２−）−（３−）＝−（＋１）　において、６−（＋１）²＝３−２

　　ここで、　＜３/２　なので、　６−（＋１）²＞０　より、　−（＋１）＞０

　　したがって、　２−＞３−　　（終）

　Ｓ（Ｈ）さんからの情報に依れば、次のようなエレガントな解法が存在するらしい。

（別解）　２つの円　（ｘ−２）²＋ｙ²＝２　、（ｘ−３）²＋ｙ²＝６　を考えるとき、２円とｘ軸の交点

　　　　のうち、原点に近い側は、（２−，０）、（３−，０）である。

　　　　２つの円の式を連立する。辺々引いて、　２ｘ−５＝−４　より、　ｘ＝１/２

　　　　このとき、　ｙ²＝２−９/４＜０、ｙ²＝６−２５/４＜０　となり、実数 ｙ が存在しない。

　　　　すなわち、２円は交わらないので、円　（ｘ−２）²＋ｙ²＝２　は円　（ｘ−３）²＋ｙ²＝６

　　　　の内部に含まれる。よって、　２−＞３−　でなければならない。　　（終）

　　（→　参考：「新しい認識」）


　昭和５３年度の学習院大学理学部の入試問題に大小比較の問題が出題されている。

　Ａ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ３π/８）、Ｂ＝ｓｉｎ（ｃｏｓ３π/８）、Ｃ＝ｃｏｓ（ｓｉｎ３π/８）、Ｄ＝ｃｏｓ（ｃｏｓ３π/８）

とおく。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの大小を比較して、小さいものから大きいものへの順に書き並べよ。


　Ｅｘｃｅｌ さんの協力を仰げば、Ａ＝0.797945925932441　、Ｂ＝0.373411139698684　、
Ｃ＝0.602729043010058　、Ｄ＝0.927665953212109　なので、Ｂ＜Ｃ＜Ａ＜Ｄ　となることが分
かるが、これは「ズル」だろう。

　上記の関係を手計算で求めることにしよう。ここで、θ＝３π/８　とおく。

　まず、　２π/３＜３π/４＜π　なので、　π/３＜θ＜π/２

　このとき、　/２＜ｓｉｎθ＜１　、　０＜ｃｏｓθ＜１/２　なので、

　　　０＜ｃｏｓθ＜１/２＜π/６＜/２＜ｓｉｎθ＜１＜π/３

　よって、　ｓｉｎ（ｃｏｓθ）＜１/２＜ｓｉｎ（ｓｉｎθ）＜/２

　　　　　　　１/２＜ｃｏｓ（ｓｉｎθ）＜/２＜ｃｏｓ（ｃｏｓθ）

　　また、　π/４＜/２＜ｓｉｎθ＜π/２　なので、　ｃｏｓ（ｓｉｎθ）＜ｓｉｎ（ｓｉｎθ）

　以上から、　ｓｉｎ（ｃｏｓθ）＜ｃｏｓ（ｓｉｎθ）＜ｓｉｎ（ｓｉｎθ）＜ｃｏｓ（ｃｏｓθ）

　すなわち、　Ｂ＜Ｃ＜Ａ＜Ｄ　が成り立つ。


（コメント）　この問題は、三角関数のグラフを学習したあとに経験すると、ｓｉｎθやｃｏｓθの
　　　　　　特徴が真に理解される良問と思われる。