４次以下の方程式には解の公式が存在するが、５次以上の方程式には存在しないので、
個々の場合については、解を近似的に求めることが主眼となる。
当ＨＰでは、高次方程式の解の近似計算として、Ｈｏｒｎｅｒの方法をとりあげた。この方法
は、どんな方程式の近似解を求めることにも使えるが、解のおおよその値が分かっていて、
それを精密に求めていくというもので、そのおおよその値が分かっていないと使用が難しい
という弱点があった。
この方法を改良したものが、グレーフェの方法（Ｇｒａｅｆｆｅ’ｓ ｍｅｔｈｏｄ）である。（１８３７年）
まず具体的な方程式に対して、グレーフェの方法の考え方を眺めてみよう。
例 ２次方程式 Ｘ2−３Ｘ＋２＝０ は、(Ｘ−２)(Ｘ−１)＝０ より、解 ２ ，１ を持つ。
いま、この解が不明なものとし、以下のように考えて、解 ２ ，１ の近似解を求める。
Ｆ（Ｘ）＝Ｘ2−３Ｘ＋２ とおく。このとき、
Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ）＝(Ｘ−２)(Ｘ−１)(−Ｘ−２)(−Ｘ−１)
＝(Ｘ−２)(Ｘ＋２)(Ｘ−１)(Ｘ＋１)
＝(Ｘ2−４)(Ｘ2−１)
＝Ｘ4−５Ｘ2＋４
ここで、 Ｘ2＝Ｙ とおき、 Ｆ1（Ｙ）＝Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ） とすると、
Ｆ1（Ｙ）＝Ｙ2−５Ｙ＋４
となる。
（このとき、 Ｆ1（Ｙ）＝０ は、解 ４ ，１ を持つ。これは、ちょうど、Ｆ（Ｘ）＝０ の解
２ ，１ を用いて、２2 ，１2 になっている点に注目すべきだろう。）
この操作を続ける。すなわち、 Ｆ2（Ｚ）＝Ｆ1（Ｙ）Ｆ1（−Ｙ） （Ｙ2＝Ｚ）とおくと、
Ｆ2（Ｚ）＝Ｚ2−１７Ｚ＋１６
である。 （このとき、 Ｆ2（Ｚ）＝０ は、解 ２4 ，１4 を持つ。）
同様にして、Ｆ3（Ｗ）＝Ｆ2（Ｚ）Ｆ2（−Ｚ） （Ｚ2＝Ｗ）とおくと、
Ｆ3（Ｗ）＝Ｗ2−２５７Ｗ＋２５６
である。 （このとき、 Ｆ3（Ｗ）＝０ は、解 ２8 ，１8 を持つ。）
解 ２8 ，１8 の大きさを考えると、２8 は、１8 に比べて非常に大きいといえる。
そのため、Ｆ3（Ｗ）＝０ の解と係数の関係において、
２8 ＋ １8 ＝ ２５７ 、 ２8 × １8 ＝ ２５６
であるが、これは、ほぼ、 ２8 ≒ ２５７ 、 １8 ≒ ２５６/２５７ と考えてよいことを意
味する。
（解の近似値が方程式の隣り合う係数の比の（−１）倍で得られる点に注目すべきだろう。）
よって、元の解は、それぞれ ２５７ 、２５６/２５７ の８乗根として近似解が得られる。
１８３７年当時は、対数全盛の時代であったから、この８乗根の計算は、対数表を用いて
簡単に近似計算が出来たに違いない。
（今の世でも普通の電卓には必ずといっていいほど、√キーがついている。
従って、２乗根は、√キーを１回、４乗根は、√キーを２回、８乗根は、√キーを３回たた
けば、瞬時に求められる。これは、グレーフェの方法にとっては、とても便利な機能だ。）
以上で述べたことを一般的に言い換えてみよう。
方程式 Ｆ（Ｘ）＝ａｎＸｎ＋ａｎ−1Ｘｎ−1＋・・・＋ａ2Ｘ2＋ａ1Ｘ＋ａ0 ＝ ０ の ｎ 個の実数解を、
α1 、α2 、α3 、・・・、αｎ （但し、｜α1｜＞｜α2｜＞｜α3｜＞・・・＞｜αｎ｜）
とする。 このとき、 Ｆ1（Ｙ）＝Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ）＝０ の解は、 α12 、α22 、α32 、・・・、αｎ2 で
ある。ただし、Ｙ＝Ｘ2 である。同様にして、
Ｆ2（Ｚ）＝Ｆ1（Ｙ）Ｆ1（−Ｙ） の解は、 α14 、α24 、α34 、・・・、αｎ4 で、Ｚ＝Ｘ4 である。
この操作を、ｍ 回続ける。
Ｆｍ（Ｖ）＝Ｆｍ−1（Ｗ）Ｆｍ−1（−Ｗ）
＝ｂｎＸｎ＋ｂｎ−1Ｘｎ−1＋・・・＋ｂ2Ｘ2＋ｂ1ｄＸ＋ｂ0 ＝ ０ の解は、
α1２＾ｍ 、α2２＾ｍ 、α3２＾ｍ 、・・・、αｎ２＾ｍ で、 Ｖ＝Ｘ２＾ｍ である。
このとき、解と係数の関係により、
α1２＾ｍ ＋α2２＾ｍ ＋α3２＾ｍ ＋・・・＋αｎ２＾ｍ ＝ −ｂｎ−1/ｂｎ
α1２＾ｍ・α2２＾ｍ ＋α2２＾ｍ・α3２＾ｍ ＋・・・＋αｎ−1２＾ｍαｎ２＾ｍ ＝ ｂｎ−2/ｂｎ
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
α1２＾ｍ ×α2２＾ｍ ×α3２＾ｍ ×・・・×αｎ２＾ｍ ＝ （−１）ｎｂ0/ｂｎ
ところで、｜αｋ｜＞｜αｋ＋1｜より、｜αｋ/αｋ＋1｜＝ Ｌ＞１ なので、
｜αｋ２＾ｍ /αｋ＋1２＾ｍ｜＝ Ｌ２＾ｍ の値は、十分大きい ｍ の値に対して、かなり大
きいと言える。
すなわち、十分大きい ｍ の値に対して、｜αｋ２＾ｍ｜は、｜αｋ＋1２＾ｍ｜と比べて、かなり
大きいと考えてよい。
したがって、解と係数の関係により、
α1２＾ｍ ≒ −ｂｎ−1/ｂｎ
α1２＾ｍ・α2２＾ｍ ≒ ｂｎ−2/ｂｎ より、α2２＾ｍ ≒ −ｂｎ−2/ｂｎ−1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
α1２＾ｍ ×α2２＾ｍ ×α3２＾ｍ ×・・・×αｎ２＾ｍ ≒ （−１）ｎｂ0/ｂｎ より、
αｎ２＾ｍ ≒ −ｂ0/ｂ1
となる。（それぞれが、方程式の隣り合う２項の比の（−１）倍で与えられる。）
そこで、解 α1 、α2 、α3 、・・・、αｎ の近似値を求めるには、それぞれ ２ｍ乗根を
とればよい。ただし、上記の計算からも分かるように、解の符号は、「＋」 か 「−」 か分
からないので、解における関数値（組立除法を活用）から判断するしかない。
今度は、３次方程式に対して、グレーフェの方法を適用してみよう。
例 ３次方程式 Ｘ3−２Ｘ＋１＝０ において、Ｆ（Ｘ）＝Ｘ3−２Ｘ＋１ とおく。
Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ）＝(Ｘ3−２Ｘ＋１)(−Ｘ3＋２Ｘ＋１)＝−Ｘ6＋４Ｘ4−４Ｘ2＋１
ここで、 Ｘ2＝Ｙ とおき、 Ｆ1（Ｙ）＝Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ） とすると、
Ｆ1（Ｙ）＝−Ｙ3＋４Ｙ2−４Ｙ＋１
となる。
同様にして、 Ｆ2（Ｚ）＝Ｆ1（Ｙ）Ｆ1（−Ｙ）＝−Ｚ3＋８Ｚ2−８Ｚ＋１ （Ｙ2＝Ｚ）
Ｆ3（Ｗ）＝Ｆ2（Ｚ）Ｆ2（−Ｚ）＝−Ｗ3＋４８Ｗ2−４８Ｗ＋１ （Ｚ2＝Ｗ）
Ｆ4（Ｖ）＝Ｆ3（Ｗ）Ｆ3（−Ｗ）＝−Ｖ3＋２２０８Ｖ2−２２０８Ｖ＋１ （Ｗ2＝Ｖ）
ここで、 α116 ≒ ２２０８ 、α216 ≒ １ 、α316 ≒ １/２２０８ であることがいえる。
ところで、２２０８ の１６乗根のうち正のものは、だいたい １．６１８０７９８２１ で、
このとき、 Ｆ（１．６１８０７９８２１）＝２．０００２６８３１７
Ｆ（−１．６１８０７９８２１）＝−０．０００２６８３１７ （ ← 誤差が小さい！）
だから、α1＜０ で、 α1 ≒ −１．６１８０７９８２１
Ｆ（１）＝０ なので、 α2 ＝ １
１/２２０８ の１６乗根のうち正のものは、だいたい ０．６１８０１６４８２９ で、
このとき、 Ｆ（０．６１８０１６４８２９）＝０．００００１４９５２３ （ ← 誤差が小さい！）
Ｆ（−０．６１８０１６４８２９）＝１．９９９９８５０４７７
だから、α3＞０ で、 α3 ≒ ０．６１８０１６４８２９
小数第３位までを考えると、３次方程式 Ｘ3−２Ｘ＋１＝０ の解は、
−１．６１８ 、 １ 、 ０．６１８
であると言える。
因みに、実際に解いてみると、 Ｘ3−２Ｘ＋１＝(Ｘ−１)(Ｘ2＋Ｘ−１) なので、
解の公式から、 Ｘ＝１、（−１±√５）/２ となる。
√５ ≒ ２．２３６ なので、解はおおよそ、 １ 、 ０．６１８ 、 −１．６１８ となり、
グレーフェの方法で得られたものに一致する。
（グレーフェの方法はとても単純である。いとも簡単に解の近似値が求められることに大変
感動した。ただ、累乗根の計算に電卓もしくは対数表を使わなくてはいけないが．．．．．。）
今度は、４次方程式に対して、グレーフェの方法を適用してみよう。
例 ４次方程式 １２Ｘ4＋４Ｘ3−２１Ｘ2＋２Ｘ＋３＝０ の近似解を求めよ。
（上式をみて、解が、−３/２、−１/３、１/２、１ であることは、因数定理を知っていれば直ぐ分かる
ことだろう。ここでは、解を不明なものとして、グレーフェの方法の素晴らしさを堪能して下さい。）
機械的に計算するために、その構造を検証してみよう。
Ｆ（Ｘ）＝ａ4Ｘ4＋ａ3Ｘ3＋ａ2Ｘ2＋ａ1Ｘ＋ａ0 に対して、
Ｆ1（Ｙ）＝Ｆ（Ｘ）Ｆ（−Ｘ）＝ｂ4Ｙ4＋ｂ3Ｙ3＋ｂ2Ｙ2＋ｂ1Ｙ＋ｂ0 とおくと、簡単な計算から、
ｂ4＝ａ42
ｂ3＝−ａ32＋２ａ4ａ2
ｂ2＝ａ22−２ａ3ａ1＋２ａ4ａ0
ｂ1＝−ａ12＋２ａ2ａ0
ｂ0＝ａ02
であることが分かる。この式だけをみると、いかにも面倒な計算という雰囲気があるが、次
のように図示すると、その構造が明らかとなる。
この構造を踏まえて、順次、次のように計算される。
