レイリーの定理 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　平成２６年１２月７日（日）、筑波大学附属駒場高校で行われた数学の研究会で、筑駒の
更科先生から、レイリーの定理の話題を伺った。大変授業が盛り上がる問題とのことである。

　レイリー（Ｒａｙｌｅｉｇｈ）の定理

　正の無理数 ａ、ｂ が、　１/ａ＋１/ｂ＝１　を満たすとき、[　]をガウスの記号として、

[ ａの自然数倍 ]と[ ｂの自然数倍 ] は重複せず、これらで自然数を全て網羅できる。


　この定理は、Ｂｅａｔｔｙの定理とも言われ、数列 [a]、[2a]、[3a]、 …　[b]、[2b]、[3b]、 …　は、
Ｂｅａｔｔｙ列とも言われる。


　一般性を失うことなく、　０＜ａ≦ｂ としてよいので、　１＝１/ａ＋１/ｂ≦２/ａ　より、

　　　０＜ａ＜２＜ｂ

　そこで、　ａ＝ とおくと、　１/ｂ＝（−１）/　から、　ｂ＝２＋

　Ｅｘｃｅｌ さんにご協力いただいて計算してみた。

　確かに、２つの数列には共通する項がなく、自然数が１、２、３、・・・と出現していて、レイ
リーの定理が成り立っているような．．．雰囲気！不思議ですね。


　S(H)さんから参考文献「PELLIAN REPRESENTATIONS」をご紹介頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年１２月８日付け）


　空舟さんからのコメントです。（平成２６年１２月９日付け）

　レイリーの定理の説明を見つけました。

　区間 (-N/b, N/a) は長さNの区間であり、区間の端が無理数なので整数をN-1個持つ。
同様に、区間 (-(N+1)/b,(N+1)/a) は整数をN個持つ。「ちょうど1個だけ増える」ということ
から、次のうち、ちょうど一方だけが成立することが言える。

　[1]　N/aと(N+1)/aの間に整数が存在する

　[2]　N/bと(N+1)/bの間に整数が存在する


（コメント）　なるほど、「１/ａ＋１/ｂ＝１」という条件は、そんな使い方ができるんですね！


　レイリーの定理の証明は、それほど難しくないようです。

（証明）　＜重複がないこと＞

　　ある自然数 ｍ、ｎ、ｋ に対して、　[ｍａ]＝[ｎｂ]＝ｋ　が成り立つと仮定する。

　このとき、　ｋ＜ｍａ、ｎｂ＜ｋ＋１　より、

　　　ｍ/（ｋ＋１）＜１/ａ＜ｍ/ｋ　、ｎ/（ｋ＋１）＜１/ｂ＜ｎ/ｋ

　辺々加えて、　（ｍ＋ｎ）/（ｋ＋１）＜１＜（ｍ＋ｎ）/ｋ　より、　ｋ＜ｍ＋ｎ＜ｋ＋１　　（矛盾）

　よって、２つの数列に共通する項はない。

　＜自然数が全て網羅できること＞

　出現しない自然数ｋがあると仮定する。このとき、ある自然数 ｍ、ｎ が存在して、

　　　ｍａ＜ｋ＜ｋ＋１＜（ｍ＋１）ａ　、ｎｂ＜ｋ＜ｋ＋１＜（ｎ＋１）ｂ

　が成り立つ。すなわち、

　ｍ/ｋ＜１/ａ＜（ｍ＋１）/（ｋ＋１）　、　ｎ/ｋ＜１/ｂ＜（ｎ＋１）/（ｋ＋１）

　辺々加えて、（ｍ＋ｎ）/ｋ＜１＜（ｍ＋ｎ＋２）/（ｋ＋１）　より、ｋ−１＜ｍ＋ｎ＜ｋ　（矛盾）

　よって、全ての自然数が出現する。　　（証終）


　DD++さんから別証明を頂きました。（平成２６年１２月１０日付け）

　わざわざ背理法を使う必要もなければ、唯一性と網羅性を分けて証明する必要もないよう
に思います。上記証明の遠回りしているところを省くとこんな感じになるかと．．．。

（別証明）　ｋ を自然数とする。

　[a]、[2a]、[3a]、 …　の中に ｋ 以下の数が ｍ 個あったとすると、

　　　ｍａ＜ ｋ＋１ ＜ (ｍ＋１)ａ　 （ａ は無理数なので等号にはならない）

　これを変形して、　 (ｋ＋１)/ａ −１ ＜ ｍ ＜ (ｋ＋１)/ａ

　[b]、[2b]、[3b]、 …　の中に ｋ 以下の数が ｎ 個あったとすると、

　　　ｎｂ ＜ ｋ＋１ ＜ (ｎ＋１)ｂ　 （ｂ は無理数なので等号にはならない）

　これを変形して、　 (ｋ＋１)/ｂ −１ ＜ ｎ ＜ (ｋ＋１)/ｂ

　１/ａ＋１/ｂ＝１　に注意して、２式を加えると、　ｋ−１ ＜ ｍ＋ｎ ＜ ｋ＋１

　ｋ は自然数、ｍ、 ｎ は 0 以上の整数なので、　ｍ＋ｎ＝ｋ

つまり、　[a]、[2a]、[3a]、 …　　[b]、[2b]、[3b]、 …　の中に ｋ 以下の数はちょうど ｋ 個ある。

　これが任意の ｋ について成り立つのだから、この数列には全ての自然数が1つずつ存在
する。　　（別証終）


（コメント）　鮮やかな証明ですね！確かに唯一性と網羅性を分けて証明する必要はなく、同
　　　　　　時に示されてしまいますね．．．。DD++さんに感謝します。



　　以下、工事中！