部分分数分解の真実 
よくクイズで、
の値を求めよ！という風な問題が出されるときがある。４項だけなので、強引に計算しても
求まるが、「５秒で答えよ。」なんて言われたら焦ってしまう。この問題を見て、
と即答できる人は相当クイズ慣れしている方だろう。次の式変形 ：
がこの問題を攻略するポイントで、部分分数分解と言われる手法である。すなわち、
と求められる。
この部分分数分解の手法は、いろいろな数列の和や積分計算で活躍するが、知ってい
て損はしないテクニックである。（→参考：連立方程式の回避）私が高校生の頃は高校１年
次に教わったが、つい最近までは高校３年次、平成１５年から施行された新学習指導要領
においては、高校２年次で学ぶことになっている。
部分分数分解というと上記のような式変形に終始し、その幾何学的意味というものを今ま
で深く考えることはなかった。最近その幾何学的意味を知る機会があり、このページに整理
しておこうと思う。
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左図において、 が意味づけられる。 |
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このことを利用すると、 となり、 の幾何学的意味が明らかとなる。 |
したがって、
の和を求めるには、
上図から、
とすればよいことが分かる。
（追記） 令和６年１１月２４日付け
次の東北大学 文系（１９８６）の問題は、部分分数分解の問題である。
問題 数列｛ａｎ｝を ａ1＝３、ａk+1＝４ａk＋３ （ｋ＝１、２・・・） で帰納的に定義する。
（１） 一般項 ａｎ を求めよ。
（２） 次の和 Σk=1n １/（ｌｏｇ2（ａk＋１）ｌｏｇ2（ａk+1＋１）） を求めよ。
（解）（１） ａk+1＋１＝４（ａk＋１） から、 ａn＋１＝４n なので、ａn＝４n−１
（２） （１）より、
Σk=1n １/（ｌｏｇ2（ａk＋１）ｌｏｇ2（ａk+1＋１））＝Σk=1n １/（２ｋ（２ｋ＋２））
＝（１/４）Σk=1n （１/ｋ−１/（ｋ＋１））＝（１/４）（１−１/（ｎ＋１））＝ｎ/（４（ｎ＋１）） （終）
kuiperbelt さんからのコメントです。（令和６年１１月２６日付け）
1/(k*(k+1)*(k+2))=(1/2)*(1/(k*(k+1))-1/((k+1)*(k+2)))
1/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3))=(1/3)*(1/(k*(k+1)*(k+2))-1/((k+1)*(k+2)*(k+3)))
・・・・・
1/(k*(k+1)*(k+2)*...*(k+m))=(1/m)*(1/(k*(k+1)*...*(k+m-1))-1/((k+1)*(k+2)*...*(k+m)))
なので、
1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+...+1/(n*(n+1)*(n+2))=(1/2)*(1/(1*2)-1/((n+1)*(n+2)))
1/(1*2*3*4)+1/(2*3*4*5)+...+1/(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))=(1/3)*(1/(1*2*3)-1/((n+1)*(n+2)*(n+3)))
・・・・・
1/(1*2*3*...*(m+1))+...+1/(n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m))=(1/m)*(1/m!-n!/(n+m)!)
というのも言えますね。
（追記） 令和６年１２月２７日付け
次の東北大学 理系（１９８８）の問題も、部分分数分解の問題である。
問題５ 数列｛ａn｝は任意の自然数ｎに対して、Σk=0n-1 ３-kａn-k＝１/｛ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)｝
を満たしているとする。このとき、ｍ≧３に対して、Σn=1m ｎａn を求めよ.
（解） ａｎ＋（１/３）ａn-1＋(１/３2)ａn-2＋・・・＋（１/３n-1）ａ1＝１/｛ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝
ｎ≧２ のとき、ａｎ-1＋（１/３）ａn-2＋(１/３2)ａn-3＋・・・＋（１/３n-2）ａ1＝１/｛ｎ（ｎ−１）（ｎ＋１）｝
よって、ｎ≧２ のとき、
ａｎ＝１/｛ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝−１/｛３ｎ（ｎ−１）（ｎ＋１）｝ で、 ａ1＝１/６
このとき、
ｎａｎ＝１/｛（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝−１/｛３（ｎ−１）（ｎ＋１）｝
＝１/（ｎ＋１）−１/（ｎ＋２）−（１/６）｛１/（ｎ−１）−１/（ｎ＋１）｝ なので、
Σn=1m ｎａn＝１/６＋Σn=2m ｎａn
＝１/６＋｛１/３−１/（ｍ＋２）｝−（１/６）｛１＋１/２−１/ｍ−１/（ｍ＋１）｝
＝１/４−（４ｍ2＋ｍ−２）/｛６ｍ（ｍ＋１）（ｍ＋２）｝
＝（３ｍ3＋ｍ2＋４ｍ＋４）/｛１２ｍ（ｍ＋１）（ｍ＋２）｝ （終）
以下、工事中！