既約分数の性質 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　規約分数とは、これ以上約分できない分数のことである。詳しく述べれば、

（ ｐ 、ｑ は互いに素な整数で、 ｐ＞０ ）

である。「分数は、最後まで約分！」と口を酸っぱくして言っても約分を忘れる生徒は後を
絶たない。

　ただ、確率の計算や定積分の計算などで、途中約分しない方が計算がスッキリ出来る
場合もあり、そこら辺のばつの悪さは分母の有理化と似ている。

　最近、既約分数について見つめ直す機会があった。既約分数は、次のような性質を持
っているようだ。

（性質）　１．既約分数Ｂに対して、分数 Ｃ＝１−Ｂ も既約分数である。
　　　　　 ２．既約分数Ｂに対して、分数 Ｃ＝１＋Ｂ も既約分数である。

（証明）１．　既約分数 Ｂを、ｑ/ｐ　（ ｐ 、ｑ は互いに素な整数で、 ｐ＞０ ）とおく。
　　　　　　　このとき、　　Ｃ＝１−Ｂ＝（ｐ−ｑ）/ｐ　である。
　　　　　　　　いま、　ｐ−ｑ と ｐ が互いに素でないとすると、整数 ｄ （ｄ＞１）があって、
　　　　　　　　　　　　ｐ−ｑ ＝ ｍｄ　、ｐ ＝ ｎｄ　　（ ｍ 、ｎ は互いに素な整数）
　　　　　　　と書ける。このとき、
　　　　　　　　　　　　ｑ ＝ ｐ−ｍｄ＝ｎｄ−ｍｄ＝（ｎ−ｍ）ｄ
　　　　　　　となり、　ｐ、ｑ　は、公約数 ｄ をもつ。
　　　　　　　これは、ｐ 、ｑ が互いに素であることに矛盾する。
　　　　　　　　よって、　Ｃ＝（ｐ−ｑ）/ｐ　は既約分数である。
　　　　 ２．　既約分数 Ｂを、ｑ/ｐ　（ ｐ 、ｑ は互いに素な整数で、 ｐ＞０ ）とおく。
　　　　　　　このとき、　　Ｃ＝１＋Ｂ＝（ｐ＋ｑ）/ｐ　である。
　　　　　　　　いま、　ｐ＋ｑ と ｐ が互いに素でないとすると、整数 ｄ （ｄ＞１）があって、
　　　　　　　　　　　　ｐ＋ｑ ＝ ｍｄ　、ｐ ＝ ｎｄ　　（ ｍ 、ｎ は互いに素な整数）
　　　　　　　と書ける。このとき、
　　　　　　　　　　　　ｑ ＝− ｐ＋ｍｄ＝−ｎｄ＋ｍｄ＝（ｍ−ｎ）ｄ
　　　　　　　となり、　ｐ、ｑ　は、公約数 ｄ をもつ。
　　　　　　　これは、ｐ 、ｑ が互いに素であることに矛盾する。
　　　　　　　　よって、　Ｃ＝（ｐ＋ｑ）/ｐ　は既約分数である。

例　　既約分数　２/３　に対して、　１/３　や　５/３　も既約分数

　上記以外にも、既約分数は面白い性質を有している。（→参考：隣り合う分数）