Ｆｅｒｒａｒｉ の解法　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　新学習指導要領により、「中学校では、２次方程式の解の公式は教えられなくなった」と思い
きや、実は依然として、しっかり各中学校で教えられているようだ。高校１年生対象の、基礎学
力調査により判明した。確かに、中学の教科書で教えられている２次方程式の解法は、基本
的には平方完成による方法で、これがなかなか難しい。旧課程でも、この平方完成のやり方を
飲み込めないものが多数いたことを思うと、中学側のほうで解の公式を手っ取り早く教えてしま
って、２次方程式を解かせたほうが、教える側にとっても、教わる側にとっても負担が少ない。
これが、意外と生徒が解の公式を知っている理由なのだろう。

　５次以上の方程式には解の公式は存在しない（Ａｂｅｌ）が、４次以下の方程式については、
解の公式が存在する。１次方程式、２次方程式、３次方程式、４次方程式の解の公式は、古く
から既に知られている。

　このページでは、４次方程式の解の公式（Ｆｅｒｒａｒｉの解法）を取り上げる。

４次方程式 Ｘ⁴＋ａＸ³＋ｂＸ²＋ｃＸ＋ｄ＝０　において、Ｘ に Ｘ−ａ/4 を代入することにより、
Ｘ³ の項を消滅させることができるので、はじめから、４次方程式は、
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ⁴＋ｐＸ²＋ｑＸ＋ｒ＝０
の形としてよい。このとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　ｑ²−４（２λ−ｐ)(λ²−ｒ）＝０

を、４次方程式の分解方程式という。

　もし、このような解λがあれば、

　　　　　　　　　　　　　（Ｘ²＋λ）²＝Ｘ⁴＋２λＸ²＋λ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２λ−ｐ）Ｘ²−ｑＸ＋λ²−ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(ｍＸ＋ｎ）²

となる ｍ，ｎ が存在し、４次方程式の問題は、２つの２次方程式　Ｘ²＋λ＝±(ｍＸ＋ｎ）
の問題に帰着され、解けることになる。

　上記の計算からも明らかなように、４次方程式　Ｘ⁴＋ｐＸ²＋ｑＸ＋ｒ＝０　の分解方程式は、
２次方程式　（２λ−ｐ）Ｘ²−ｑＸ＋λ²−ｒ＝０　が重解を持つ条件　判別式　Ｄ＝０　から得
られる。

（例）　４次方程式　Ｘ⁴−８Ｘ³＋２８Ｘ²−８０Ｘ＋４８＝０　を解け。

　　求める解を Ｘ とし、Ｙ＝Ｘ−２ とおく。　Ｘ＝Ｙ＋２ を、方程式に代入して、
　　　　　（Ｙ＋２）⁴−８（Ｙ＋２）³＋２８（Ｙ＋２）²−８０（Ｙ＋２）＋４８＝０
　展開して、左辺を整理すると、
　　　　　　Ｙ⁴＋４Ｙ²−３２Ｙ−４８＝０
　このとき、分解方程式は、
　　　　　　（−３２）²−４（２λ−４）（λ²＋４８）＝０
　よって、
　　　　　　λ³−２λ²＋４８λ−２２４＝０
　この３次方程式の左辺は、（λ−４)(λ²＋２λ＋５６） と因数分解され、解の一つとして、
　　　　　　　　λ＝４
　を得る。このとき、
　　　　　　　　　　　（Ｙ²＋４）²＝Ｙ⁴＋８Ｙ²＋１６
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（−４Ｙ²＋３２Ｙ＋４８）＋８Ｙ²＋１６
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４Ｙ²＋３２Ｙ＋６４
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４(Ｙ＋４)²
　より、２つの２次方程式
　　　　　　　　　　　Ｙ²＋４＝±２（Ｙ＋４）
　すなわち、
　　　　　　　　Ｙ²−２Ｙ−４＝０　、　Ｙ²＋２Ｙ＋１２＝０
　を得る。
　　これを解いて、　　、　
　ところで、Ｘ＝Ｙ＋２ なので、
　　　　　　　　　　　　、　
　が、４次方程式の解となる。

　上記の問題のように、簡単に分解方程式の解の一つが見つかればよいが、一般的には
難しいと思う。ただ、４次方程式の解法の道筋を示している点で、Ｆｅｒｒａｒｉの解法は素晴ら
しいと思う。

　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習　４次方程式　Ｘ⁴＋２Ｘ²−４Ｘ＋８＝０　を解け。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答　　、　）

（参考文献：永田雅宜　著　線形代数の基礎（紀伊國屋書店））


（追記）　平成２２年１０月８日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんから、上記の問題の解答をお寄せい
ただいた。

（解）　４次方程式 Ｘ⁴＋２Ｘ²−４Ｘ＋８＝０ の分解方程式は、

　　　　　　(−４)²−４(２λ−２)(λ²−８)＝０

　　　　∴　２λ³−２λ²−１６λ＋１２＝０　より、　(λ−３)(２λ²＋４λ−４)＝０

　　　よって、解の１つとして、λ＝３ を得る。このとき、

　 　　(Ｘ²＋３)²＝Ｘ⁴＋６Ｘ²＋９＝(−２Ｘ²＋４Ｘ−８)＋６Ｘ²＋９＝４Ｘ²＋４Ｘ＋１＝（２Ｘ＋１）²

　　より、２つの２次方程式 Ｘ²＋３＝±(２Ｘ＋１) 　すなわち、

　　　　　　Ｘ²−２Ｘ＋２＝０　　、　　Ｘ²＋２Ｘ＋４＝０

　　　これを解いて、解は、　　、　　となる。　（終）

　攻略法さんからの情報によれば、この問題は、筑波大学（２００６年度前期　理系）で次の
ような誘導形式により出題されたとのことである。

　Ｆ（ｘ）＝ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８　とする。

（１）　(ｘ²＋ｔ )²−Ｆ（ｘ）＝（ｐｘ＋ｑ）²　が ｘ の恒等式となるような整数 ｔ、ｐ、ｑ の値を
　　１組求めよ。
（２） （１）で求めた ｔ、ｐ、ｑ の値を用いて、方程式　(ｘ²＋ｔ )²＝（ｐｘ＋ｑ）² を解くこと
　　により、方程式　Ｆ（ｘ）＝０　の解をすべて求めよ。

（解）（１）　与式の左辺は、

　　　　　　　　　ｘ⁴＋２ｔｘ²＋ｔ²−（ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８）＝２（ｔ−１）ｘ²＋４ｘ＋ｔ²−８

　　　　　　与式の右辺は、　ｐ²ｘ²＋２ｐｑｘ＋ｑ²

　　　　　したがって、　２（ｔ−１）＝ｐ²　、　４＝２ｐｑ　、　ｔ²−８＝ｑ²

　　　　　　ｐ、ｑ は整数なので、第２式より、　（ ｐ ， ｑ ）＝±（ １ ， ２ ）　、　±（ ２ ， １ ）

　　　　　このうち、ｔ も整数になる１組を求めれば、　（ ｐ ， ｑ ）＝（ ２ ， １ ）　で、　ｔ＝３

　　（２）　（１）より、　Ｆ（ｘ）＝(ｘ²＋ｔ )²−（ｐｘ＋ｑ）²＝(ｘ²＋３ )²−（２ｘ＋１）²　なので、

　　　　　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ²−２ｘ＋２）（ｘ²＋２ｘ＋４）

　　　　　よって、解は、　　、　　となる。　（終）

　この攻略法さんの解法に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんは、デ
カルトの方法（２次式の積として、係数比較により求める方法）により解かれた。

（解）　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｐｘ＋ｃ）　とおくと、ｘ³ の係数を比較して、

　　　　　ａ＋ｐ＝０　なので、　ｐ＝−ａ

　　よって、　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²−aｘ＋ｃ）　と書ける。

　　右辺＝ｘ⁴＋（ｂ＋ｃ−ａ²）ｘ²＋ａ（ｃ−ｂ）ｘ＋ｂｃ　より、係数比較して、

　　　ｂ＋ｃ−ａ²＝２　　、　ａ（ｃ−ｂ）＝−４　、　ｂｃ＝８

　　よって、　ｂ＋ｃ＝ａ²＋２　、　ｂ−ｃ＝４/ａ　より、

　　　　　　２ｂ＝ａ²＋２＋４/ａ　、　２ｃ＝ａ²＋２−４/ａ

　　　この２式を掛けて、ａ²＝Ａ　とおくと、　４ｂｃ＝（Ａ＋２）²−１６/Ａ

　　ここで、　ｂｃ＝８　なので、　３２＝（Ａ＋２）²−１６/Ａ

　　よって、　Ａ³＋４Ａ²＋４Ａ−１６＝３２Ａ　より、　Ａ³＋４Ａ²−２８Ａ−１６＝０

　　　（Ａ−４）（Ａ²＋８Ａ＋４）＝０　から、　Ａ＝４　、ａ＝２　、ｂ＝４　、　ｃ＝２

　　したがって、　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋２ｘ＋４）（ｘ²−２ｘ＋２）

　　　　　よって、解は、　　、　　となる。　（終）

　ＦＮさんによれば、

　４次方程式と言えば、フェラーリの方法というイメージですが、Wikipedia には他に、デカル
ト、オイラー、ラグランジュの方法が載っています。デカルトの方法が一番簡単なように思い
ます。Wikipedia によると「方法序説」に書いてあるそうですが、見つかりませんでした。

とのことです。

（コメント）　攻略法さん、ＦＮさんに感謝します。ｘ³ の項がない４次式の因数分解、勉強に
　　　　　　なりました！


（追記）　令和３年７月１１日付け

　YouTube 等で活躍されているＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんから最近、４次式を（２次式）×（２次式）に
因数分解する方法について、ご教示いただいた。

　ｘ⁴＋Ａｘ³＋Ｂｘ²＋Ｃｘ＋Ｄ＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｃｘ＋ｄ）　と因数分解できる場合を考える
と、
　　Ａ＝ａ＋ｃ　、Ｂ＝ａｃ＋ｂ＋ｄ　、Ｃ＝ａｄ＋ｂｃ　、Ｄ＝ｂｄ

が成り立つ。右辺を展開して係数比較すればよい。

　因数分解するには、上式が成り立つような ａ、ｂ、ｃ、ｄ を発見すればよい。

　上式をぼ〜っと眺めていると、何となく「タスキ掛け」の匂いが感じられる。

　手順的には、まず、ｂ と ｄ を決めて、その後、ａ と ｃ を決めればいいのだろう。


　具体的な問題で、因数分解の方法を探究してみよう。

問題　　ｘ⁴−１０ｘ³＋１９ｘ²−１８ｘ＋９　を（２次式）×（２次式）の形に因数分解せよ。

（解）　ｘ⁴−１０ｘ³＋１９ｘ²−１８ｘ＋９＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｃｘ＋ｄ）　とすると、

　ｂｄ＝９　から、例えば、ｂ＝９、ｄ＝１　としてみる。このとき、ａｃ＝１９−（９＋１）＝９　から、

　ａ＋ｃ＝−１０　と合わせて、タスキ掛けの方法で、　ａ＝−９、ｃ＝−１　としてみる。

　このとき、　ａｄ＋ｂｃ＝−９−９＝−１８＝Ｃ　が成り立つので、求める場合となる。

　よって、

　　ｘ⁴−１０ｘ³＋１９ｘ²−１８ｘ＋９＝（ｘ²−９ｘ＋９）（ｘ²−ｘ＋１） と因数分解できる。　　（終）

（コメント）　上記の計算では、たまたま上手く出来たが、最後の確認（Ｃ＝ａｄ＋ｂｃ）で合わ
　　　　　　ない場合は、タスキ掛けでもそうであったように、幾ばくかの試行錯誤が必要であ
　　　　　　る。

　また、因数分解の結果から分かるように、因数定理を用いての因数分解は困難である。
このような手法にも熟知していれば、完璧なんだろうと思う。このような視座をご教示いただ
いたＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんに感謝いたします。

　通常の因数定理では難しいが、次のような裏技を試してみるのも一法だろう。
（→　参考：「オメガ（ω）の真実」）

（別解）　ｘ²−ｘ＋１＝０　の解をτとすると、　τ²−τ＋１＝０　すなわち、　τ³＝−１

　そこで、ｘ＝τ　のとき、

　τ⁴−１０τ³＋１９τ²−１８τ＋９＝−τ＋１０＋１９τ²−１８τ＋９
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１９（τ²−τ＋１）＝０

　よって、与式は、　ｘ−τ　すなわち、　ｘ²−ｘ＋１　で割り切れる。

　実際に、割り算して、　与式＝（ｘ²−９ｘ＋９）（ｘ²−ｘ＋１）　が分かる。　　（終）


　読者のために練習問題を残しておこう。

練習問題　　ｘ⁴−７ｘ²＋１　を（２次式）×（２次式）の形に因数分解せよ。


　ぱっと見て、

　ｘ⁴−７ｘ²＋１＝ｘ⁴＋２ｘ²＋１−９ｘ²＝（ｘ²＋１）²−（３ｘ）²＝（ｘ²＋３ｘ＋１）（ｘ²−３ｘ＋１）

と因数分解できることに気がつかれた方もおられると思うが、練習のために上記の手法で
因数分解してみよう。

（解）　ｘ⁴−７ｘ²＋１＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｃｘ＋ｄ）　とすると、

　ｂｄ＝１　から、例えば、ｂ＝１、ｄ＝１　としてみる。

　このとき、ａｃ＝−７−（１＋１）＝−９　から、

　ａ＋ｃ＝０　と合わせて、タスキ掛けの方法で、　ａ＝−３、ｃ＝３　としてみる。

　このとき、　ａｄ＋ｂｃ＝−３＋３＝０＝Ｃ　が成り立つので、求める場合となる。

　よって、　ｘ⁴−７ｘ²＋１＝（ｘ²−３ｘ＋１）（ｘ²＋３ｘ＋１）　　と因数分解できる。　　（終）


（コメント）　いつもだったらアクロバット的に、平方の差の形を目指すのだが、ＨＮ「Ａ．Ｍ．」
　　　　　　さんの解法では、ごく自然に解かれますね！


（追記）　令和３年７月１２日付け

　「因数分解せよ」という問題では、「有理整数の係数の範囲で」ということが暗黙の了解で
ある。

　だから、　

　ｘ⁴−７ｘ²＋１＝ｘ⁴＋２ｘ²＋１−９ｘ²＝（ｘ²＋１）²−（３ｘ）²＝（ｘ²＋３ｘ＋１）（ｘ²−３ｘ＋１）

と、有理整数の係数となるように、アクロバット的に平方の差の形を目指すわけである。

　もちろん、何も考えなければ、

　ｘ⁴−７ｘ²＋１＝ｘ⁴−２ｘ²＋１−５ｘ²＝（ｘ²−１）²−（ｘ）²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（ｘ²＋ｘ−１）（ｘ²−ｘ−１）

という形にも変形可能なわけであるが、この形は、「因数分解せよ」の答えにはならない。

　ｘ²−３ｘ＋１＝（ｘ−（３＋）/２）（ｘ−（３−）/２）

　ｘ²＋３ｘ＋１＝（ｘ＋（３＋）/２）（ｘ＋（３−）/２）

と１次式の積に変形できるので、２つの因数を組み合わせて、

　　（ｘ＋（３＋）/２）（ｘ−（３−）/２）＝ｘ²＋ｘ−１

　　（ｘ−（３＋）/２）（ｘ＋（３−）/２）＝ｘ²−ｘ−１

と書ける。


　このページの冒頭で取り上げた方程式を、分解方程式によらない方法で解いてみよう。

問題　　４次方程式　ｘ⁴−８ｘ³＋２８ｘ²−８０ｘ＋４８＝０　を解け。

（解）　ｘ⁴−８ｘ³＋２８ｘ²−８０ｘ＋４８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｃｘ＋ｄ）　とすると、

　ｂｄ＝４８　から、例えば、ｂ＝４、ｄ＝１２　としてみる。

　このとき、ａｃ＝２８−（４＋１２）＝１２　から、

　ａ＋ｃ＝−８　と合わせて、タスキ掛けの方法で、　ａ＝−６、ｃ＝−２　としてみる。

　このとき、　ａｄ＋ｂｃ＝−７２−８＝−８０＝Ｃ　が成り立つので、求める場合となる。

　よって、　ｘ⁴−８ｘ³＋２８ｘ²−８０ｘ＋４８＝（ｘ²−６ｘ＋４）（ｘ²−２ｘ＋１２）　なので、

　方程式の解は、　ｘ＝　、　となる。　　（終）


問題　　４次方程式　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝０　を解け。

（解）　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｃｘ＋ｄ）　とすると、

　ｂｄ＝８　から、例えば、ｂ＝４、ｄ＝２　としてみる。

　このとき、ａｃ＝２−（４＋２）＝−４　から、

　ａ＋ｃ＝０　と合わせて、タスキ掛けの方法で、　ａ＝２、ｃ＝−２　としてみる。

　このとき、　ａｄ＋ｂｃ＝４−８＝−４＝Ｃ　が成り立つので、求める場合となる。

　よって、　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋２ｘ＋４）（ｘ²−２ｘ＋２）　なので、

　方程式の解は、　ｘ＝　、　となる。　　（終）


　ＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんからのコメントです。（令和３年８月３日付け）

　４次式の因数分解について、あれからいろいろ考えました。そして、チャート式を使わず因
数分解する方法を考えました。

　x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)　において、

　A=a+c ---(1)
　B=ac+b+d -(2)
　C=ad+bc --(3)
　D=bd -----(4)

　(1)式と(2)式から、cを消去してaの２次式と見て、根が整数になる条件として、判別式が平
方数になることを考え、同時に(4)式も考慮して、b+d の値を絞り込みます。(2)式からacの値
を得て、(1)式と合わせて、acの値を決定します。

　この時点では、a、b、c、dの組合せが決まってないですから、(3)式より決定して、因数分解
終了となります。

　要点は、(4)式からスタートするのでなく、(1)と(2)からb+dの値を絞り込めると気付いたこと
です。この時に同時に(4)を使います。


　ＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんからのコメントです。（令和３年８月４日付け）

　x^4+10*x^3+25*x^2-36　を、上記の方法で因数分解したら、正解が三つ出てきて驚きまし
た。

　理由は後でわかりました。この式を因数分解すると、　(x-1)(x+3)(x+2)(x+6)　になります。
２次式の積として与式を因数分解したので、３種類答えが出たとわかりました。

　解法の正しさを実感しました。


（コメント）　実際に、ＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんの方法で計算してみた。

　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)　において、

　10=a+c -----(1)
　25=ac+b+d --(2)
　0=ad+bc ----(3)
　-36=bd -----(4)

　(1)式と(2)式から、cを消去して、　a^2-10a+25-b-d=0

　aは整数なので、aの２次方程式とみて、判別式Ｄは平方数となる。

　よって、判別式Ｄ=25-25+b+d=b+d　が平方数であることから、-36=bd　より、

　b=-3 、ｄ=12 　または、b=6 、ｄ=-6 　または、b=-6 、ｄ=6　または、b=-2　、d=18

(1)　b=-3 、ｄ=12 のとき、　a^2-10a+16=0 より、　a=2、8　で

　a=2　のとき、　ｃ=8　なので、　0=ad+bc を満たし、

　　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+2x-3)(x^2+8x+12)

　a=8　のとき、　ｃ=2　なので、　0=ad+bc を満たさない。

(2)　b=6 、ｄ=-6 のとき、　a^2-10a+25=0 より、　a=5　で、　c=5

　　0=ad+bc を満たし、　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+5x+6)(x^2+5x-6)

(3)　b=-6 、ｄ=6 のとき、　a^2-10a+25=0 より、　a=5　で、　c=5

　　0=ad+bc を満たし、　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)

(4)　b=-2 、ｄ=18 のとき、　a^2-10a+9=0 より、　a=1、9　で

　a=1　のとき、　ｃ=9　なので、　0=ad+bc を満たし、

　　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+x-2)(x^2+9x+18)

　a=9　のとき、　ｃ=1　なので、　0=ad+bc を満たさない。


　以上から、因数分解の方法は３通りあり、

　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+2x-3)(x^2+8x+12)

　または、

　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+5x+6)(x^2+5x-6)

　または、

　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+x-2)(x^2+9x+18)

である。


（コメント）　「因数分解せよ」が問題なので、答が３通りあるわけでもなく、

　　　x^4+10x^3+25x^2-36=(x-1)(x+3)(x+2)(x+6)

とするのが本筋でしょう！

　ＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんの方法に対して、今までの手順でも解いてみた。

　x^4+10x^3+25x^2-36=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)　において、

　10=a+c -----(1)
　25=ac+b+d --(2)
　0=ad+bc ----(3)
　-36=bd -----(4)

　ｂｄ＝−３６　から、例えば、ｂ＝−２、ｄ＝１８　としてみる。

　このとき、ａｃ＝２５−（−２＋１８）＝９　から、

　ａ＋ｃ＝１０　と合わせて、タスキ掛けの方法で、　ａ＝１、ｃ＝９　としてみる。

　このとき、　ａｄ＋ｂｃ＝１８−１８＝０＝Ｃ　が成り立つので、求める場合となる。

　よって、

　ｘ⁴＋１０ｘ³＋２５ｘ²−３６＝（ｘ²＋ｘ−２）（ｘ²＋９ｘ＋１８）＝（ｘ−１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋６）

と因数分解できる。　　（終）


（コメント）　以上の計算から分かるように、ＨＮ「Ａ．Ｍ．」さんの方法はあまり効果的でない
　　　　　　ように感じる。



　　以下、工事中！