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問題 1 (京都大学)
次の命題 P : 数直線 R から R への連続写像 F が、 F・F = I 、 F ≠ I を満たすなら
ば、R から R への位相同型写像 φ で、φ・F・φ-1 = −I となるものが存
在する。
( ただし、φ-1 は、φ の逆写像で、・ は、写像の合成を表し、I 、−I は、
I(X)=X 、−I(X)=−X なる写像である。)
に関して、下の問(1)(2)に答えよ。
(1) F(X)=1−X に対し、上のような φ を構成せよ。
(2) 命題 P を証明せよ。 (解答はこちら)
問題 2 (東京教育大学(現 筑波大学))
実数の集合Mについて、次の命題の真偽を調べよ。
Mの空でないどの部分集合も最大数、最小数を持てば、Mは有限集合である。
(解答はこちら)
問題 3 (大阪大学)
f : R2→R1 を、C1級とすると、f は、1対1写像でないことを証明せよ。
(解答はこちら)
問題 4 (大阪市立大学)
位相空間Xから位相空間Yの上への1対1連続写像は、必ずしも同相写像ではない。
その例をあげよ。
(解答はこちら)
問題 5 (神戸大学)
集合Mと写像φとについて、次の5つの命題(1)〜(5)を考える。
(1) 0∈M
(2) x ∈M ならば、φ(x)∈M
(3) x 、y ∈Mについて、φ(x)=φ(y) ならば、x = y
(4) x ∈M ならば、φ(x)≠0
(5) 0∈A⊂M かつ φ(A)⊂A ならば、A=M
問1 (1)〜(4)が成り立てば、集合Mは無限集合であることを証明せよ。
問2 (1)〜(4)が成り立つが、(5)は成り立たないような例を作れ。
問3 集合Mが無限集合で、(1)(2)(3)(5)が成り立てば、(4)が成り立つことを証明せ
よ。
問4 (1)(2)(3)(5)が成り立つが、(4)は成り立たないような例を作れ。
(解答はこちら)
問題 6 (東北大学改題)
実数全体を定義域とする実数値関数 φ(X) が、
方程式 φ(X+Y)+φ(X−Y)=φ(X)φ(Y) を満たすという。
このような関数のうち、必ずしも連続とは限らないようなものを一つ構成せよ。
(解答はこちら)
問題 7 (九州大学)
位相空間 E が Hausdorff 空間であるための必要十分条件は、積空間
E×E の対角
集合 Δ が、E×E の閉集合であることである。これを証明せよ。 (解答はこちら)
問題 8 (京都大学)
A=[a,b] (a<b) と B ={(x,y)∈R2|x2+y2=1}∪{(x,0)∈R2|1≦x≦2}
は同相か否か理由を付して答えよ。 (解答はこちら)
問題 9 (立教大学)
A、B を位相空間の閉集合とする。もし、A∪B が連結で、かつ、A∩B
が高々2点しか
含まないならば、A、B の少なくとも一方は連結であることを証明せよ。 (解答はこちら)
問題 10 (名古屋大学)
m 行 n 列の実行列 A に対して、rank A =rank AtA が常に成り立つことを証明せよ。
ただし、tA は、A の転置行列を表す。 (解答はこちら)
問題 11 (東北大学)
X を距離空間とする。2点 x 、y ∈X の距離を、d(x ,y) で表す。X
の部分集合 A 、B
に対して、d(A ,B)=inf{d(x ,y)|x ∈A 、y ∈B }とおく。このとき、次のことを示せ。
(1) A∩B= で、A がコンパクト集合、B が閉集合ならば、d(A ,B)> 0 である。
(2) A∩B= で、A 、B がともに閉集合のとき、必ずしも d(A ,B)> 0 でない。
(解答はこちら)
問題 12 (北海道大学)
F(Z) と G(Z) を平面領域 D で定義されている正則関数とする。もし、D
で
exp(ReF(Z))=ReG(Z)
が成り立つならば、F(Z) と G(Z) は定数である。 (解答はこちら)
問題 13 (北海道大学)
x1,x2,・・・,xm を群Gから体Kの乗法群への相異なる準同型とする。
α1,α2,・・・,αm∈Kとする。もし、任意のg∈G に対して、
x1(g)α1+x2(g)α2+・・・+xm(g)αm=0
が成り立つならば、
α1=α2=・・・=αm=0
が成り立つ。このことを証明せよ。
(解答はこちら)
問題 14 (大阪大学)
C上有限次元ベクトル空間を V とする。 F: V → V が、
F(X+Y)=F(X)+F(Y) F(cX)=cF(X) (c∈C)
を満足するとき、F を V の一次変換という。V の一次変換 F が 1対1であることと、F
が
上への一次変換であることとは同値である。しかし、V が無限次元空間ならば、このこと
は必ずしも成り立たない。そのような反例をあげよ。 (解答はこちら)
問題 15 (北海道大学)
F(Z) は、| Z−a | <1 で正則とする。このとき、
の値を求めよ。但し、C : | Z−a | =1/2 とする。 (解答はこちら)
問題 16 (東京都立大学)
![]() |
に対して、a、b、c、d、e、f の絶対値がどれも 1/2 より小さいとき、 |
det A ≠ 0 であることを示せ。 (解答はこちら) |
問題 17 (名古屋大学)
S をコンパクト距離空間とし、その距離を d とする。S から S への写像
F が、S の任意
の相異なる2点P、Qに対して、
d(F(P),F(Q))<d(P,Q)
を満たすとき、次のことを証明せよ。
(1) G(P)=d(P,F(P)) は、S上の連続関数である。
(2) F(P)=P を満たす点Pが唯一つある。 (解答はこちら)
問題 18 (奈良女子大学)
(−∞,∞)で定義された実数値連続関数 F(X) が、 F(X+Y) = F(X) + F(X) を満たすと
き、 F(X) はどのような関数であるか。
(解答はこちら)
問題 19 (大阪大学)
Gは、位数 n のアーベル群で、n=n1・n2、( n1 と n2 は互いに素)とする。このとき、G
は、位数がそれぞれ n1 と n2 の部分群 G1、G2 の直積に分解されることを証明せよ。
また、位数が n1 の部分群は、 G1 に限ることを証明せよ。 (解答はこちら)
問題 20 (東北大学)
X を完備距離空間、d をその距離とし、F を X から X への写像とする。また、0<a<1
を満たす実数 a があって、任意の x ,y ∈ X に対して、 d(F(x),F(y))≦a・d(x,y) が
成り立つものとする。このとき、次のことを証明せよ。
(1) x0 ∈ X に対して、xn=F(xn-1) により定まる点列{xn}は、コーシー列である。
(2) 点列{xn}の集積点を x* とおくとき、F(x*) =x* が成り立つ。
(3) F(x) =x を満たす x ∈ X に対して、x =x* が成り立つ。
(解答はこちら)
問題 21 ()
以下工事中