問題ＬＩＳＴ　（目次に戻る）

問題　１　（京都大学）

　次の命題 Ｐ ：　数直線 R から R への連続写像 Ｆ が、 Ｆ・Ｆ ＝ Ｉ 、 Ｆ ≠ Ｉ を満たすなら
　　　　　　　　　　ば、Ｒ から Ｒ への位相同型写像 φ で、φ・Ｆ・φ^-1 ＝ −Ｉ となるものが存
　　　　　　　　　　在する。
　　　 　　　　　　　　（　ただし、φ^-1 は、φ の逆写像で、・ は、写像の合成を表し、Ｉ 、−Ｉ は、
　　　　　　　　　　　　Ｉ（Ｘ）＝Ｘ 、−Ｉ（Ｘ）＝−Ｘ　なる写像である。）
に関して、下の問（１）（２）に答えよ。
（１）　Ｆ(Ｘ)＝１−Ｘ　に対し、上のような φ を構成せよ。
（２）　命題 Ｐ を証明せよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　２　（東京教育大学（現　筑波大学））

　実数の集合Ｍについて、次の命題の真偽を調べよ。
　　　Ｍの空でないどの部分集合も最大数、最小数を持てば、Ｍは有限集合である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解答はこちら）

問題　３　（大阪大学）

　ｆ ： R²→R¹ を、Ｃ¹級とすると、ｆ は、１対１写像でないことを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解答はこちら）

問題　４　（大阪市立大学）

　位相空間Ｘから位相空間Ｙの上への１対１連続写像は、必ずしも同相写像ではない。
その例をあげよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解答はこちら）

問題　５　（神戸大学）

　集合Ｍと写像φとについて、次の５つの命題（１）〜（５）を考える。
　　　（１）　０∈Ｍ
　　　（２）　ｘ ∈Ｍ　ならば、φ(ｘ)∈Ｍ
　　　（３）　ｘ 、ｙ ∈Ｍについて、φ(ｘ)＝φ(ｙ) ならば、ｘ ＝ ｙ
　　　（４）　ｘ ∈Ｍ　ならば、φ(ｘ)≠０
　　　（５）　０∈Ａ⊂Ｍ　かつ　φ（Ａ）⊂Ａ　ならば、Ａ＝Ｍ
問１　（１）〜（４）が成り立てば、集合Ｍは無限集合であることを証明せよ。
問２　（１）〜（４）が成り立つが、（５）は成り立たないような例を作れ。
問３　集合Ｍが無限集合で、（１）（２）（３）（５）が成り立てば、（４）が成り立つことを証明せ
　　よ。
問４　（１）（２）（３）（５）が成り立つが、（４）は成り立たないような例を作れ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　６　（東北大学改題）

　実数全体を定義域とする実数値関数 φ(Ｘ) が、
方程式　φ(Ｘ＋Ｙ)＋φ(Ｘ−Ｙ)＝φ(Ｘ)φ(Ｙ)　を満たすという。
このような関数のうち、必ずしも連続とは限らないようなものを一つ構成せよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　７　（九州大学）

　位相空間 Ｅ が Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ 空間であるための必要十分条件は、積空間 Ｅ×Ｅ の対角
集合 Δ が、Ｅ×Ｅ の閉集合であることである。これを証明せよ。　　　 　　（解答はこちら）

問題　８　（京都大学）

　Ａ＝［ａ，ｂ］　（ａ＜ｂ）　と B ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ²｜ｘ²＋ｙ²＝１｝∪｛（ｘ，０）∈Ｒ²｜１≦ｘ≦２｝
は同相か否か理由を付して答えよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　９　（立教大学）

　Ａ、Ｂ を位相空間の閉集合とする。もし、Ａ∪Ｂ が連結で、かつ、Ａ∩Ｂ が高々２点しか
含まないならば、Ａ、Ｂ の少なくとも一方は連結であることを証明せよ。　（解答はこちら）

問題　１０　（名古屋大学）

　ｍ 行 ｎ 列の実行列 Ａ に対して、ｒａｎｋ Ａ ＝ｒａｎｋ Ａ^tＡ が常に成り立つことを証明せよ。
ただし、^tＡ は、Ａ の転置行列を表す。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解答はこちら）

問題　１１　（東北大学）

　Ｘ を距離空間とする。２点 x　、ｙ ∈Ｘ の距離を、ｄ（x　，ｙ） で表す。Ｘ の部分集合 Ａ 、Ｂ
に対して、ｄ（Ａ ，Ｂ）＝ｉｎｆ｛ｄ（x　，ｙ）｜x ∈Ａ　、ｙ ∈B ｝とおく。このとき、次のことを示せ。
　（１）　Ａ∩Ｂ＝ で、Ａ がコンパクト集合、Ｂ が閉集合ならば、ｄ（Ａ ，Ｂ）＞ ０　である。
　（２）　Ａ∩Ｂ＝ で、Ａ 、Ｂ がともに閉集合のとき、必ずしも ｄ（Ａ ，Ｂ）＞ ０　でない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（解答はこちら）

問題　１２　（北海道大学）

　Ｆ(Ｚ) と Ｇ(Ｚ) を平面領域 Ｄ で定義されている正則関数とする。もし、Ｄ で
　　　　　　　　　　　　ｅｘｐ(ＲｅＦ(Ｚ))＝ＲｅＧ(Ｚ)
が成り立つならば、Ｆ(Ｚ) と Ｇ(Ｚ) は定数である。　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　１３　（北海道大学）

　ｘ₁，ｘ₂，・・・，ｘ_m　を群Ｇから体Ｋの乗法群への相異なる準同型とする。
α₁，α₂，・・・，α_m∈Ｋとする。もし、任意のｇ∈Ｇ に対して、
　　　　ｘ₁（ｇ）α₁＋ｘ₂（ｇ）α₂＋・・・＋ｘ_m（ｇ）α_m＝０
が成り立つならば、
　　　　　　　　　　α₁＝α₂＝・・・＝α_m＝０
が成り立つ。このことを証明せよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解答はこちら）

問題　１４　（大阪大学）

　Ｃ上有限次元ベクトル空間を Ｖ とする。 Ｆ： Ｖ → Ｖ が、
　　　　　　Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(Ｙ)　　　　Ｆ(ｃＸ)＝ｃＦ(Ｘ)　　（ｃ∈Ｃ）
を満足するとき、Ｆ を Ｖ の一次変換という。Ｖ の一次変換 Ｆ が １対１であることと、Ｆ が
上への一次変換であることとは同値である。しかし、Ｖ が無限次元空間ならば、このこと
は必ずしも成り立たない。そのような反例をあげよ。　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　１５　（北海道大学）

　Ｆ(Ｚ) は、| Ｚ−ａ | ＜１ で正則とする。このとき、

　　　　　　　　　　　　　

の値を求めよ。但し、Ｃ ： | Ｚ−ａ | ＝1/2 とする。　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　１６　（東京都立大学）

	に対して、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ の絶対値がどれも 1/2 より小さいとき、
ｄｅｔ Ａ ≠ ０　であることを示せ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　１７　（名古屋大学）

　Ｓ をコンパクト距離空間とし、その距離を ｄ とする。Ｓ から Ｓ への写像 Ｆ が、Ｓ の任意
の相異なる２点Ｐ、Ｑに対して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄ（Ｆ(Ｐ)，Ｆ(Ｑ)）＜ｄ（Ｐ，Ｑ）
を満たすとき、次のことを証明せよ。
（１）　Ｇ(Ｐ)＝ｄ（Ｐ，Ｆ(Ｐ)） は、Ｓ上の連続関数である。
（２）　Ｆ(Ｐ)＝Ｐ を満たす点Ｐが唯一つある。　　　　　　　　　　　　　　　　（解答はこちら）

問題　１８　（奈良女子大学）

　（−∞，∞）で定義された実数値連続関数 Ｆ(Ｘ) が、 Ｆ(Ｘ+Y) ＝ Ｆ(Ｘ) ＋ Ｆ(Ｘ) を満たすと
き、 Ｆ(Ｘ) はどのような関数であるか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （解答はこちら）

問題　１９　（大阪大学）

　Ｇは、位数 ｎ のアーベル群で、ｎ＝ｎ₁・ｎ₂、（ ｎ₁ と ｎ₂ は互いに素）とする。このとき、Ｇ
は、位数がそれぞれ ｎ₁ と ｎ₂ の部分群 Ｇ₁、Ｇ₂ の直積に分解されることを証明せよ。
　また、位数が ｎ₁ の部分群は、 Ｇ₁ に限ることを証明せよ。　　　　　　（解答はこちら）

問題　２０　（東北大学）

　Ｘ を完備距離空間、ｄ をその距離とし、Ｆ を Ｘ から Ｘ への写像とする。また、０＜ａ＜１
を満たす実数 ａ があって、任意の x ，ｙ ∈ Ｘ に対して、　ｄ（Ｆ(ｘ)，Ｆ(ｙ)）≦ａ・ｄ（ｘ，ｙ）　が
成り立つものとする。このとき、次のことを証明せよ。
（１）　ｘ₀ ∈ Ｘ に対して、ｘ_ｎ＝Ｆ(ｘ_ｎ-1) により定まる点列｛ｘ_ｎ｝は、コーシー列である。
（２）　点列｛ｘ_ｎ｝の集積点を ｘ* とおくとき、Ｆ(ｘ*) ＝ｘ* が成り立つ。
（３）　Ｆ(ｘ) ＝ｘ を満たす x ∈ Ｘ に対して、ｘ ＝ｘ* が成り立つ。　　　 　 （解答はこちら）

問題　２１　（）

　　　以下工事中