次の問題１は、アイザック=ニュートンが１６６９年に出している有名問題である。その解法
は、Ｎｅｗｔｏｎ算と言われる。Ｎｅｗｔｏｎ算については、当ＨＰの「S(H)さんからの話題６」で、
多方面からの解法が多くの方々によって試みられた。最近、Ｎｅｗｔｏｎ算について触れる機
会があり、再度新規にページを起こし整理していこうと思う。
問題１ ある牧場で牛１０頭を放牧したところ、５日で牧草を食べつくしました。牛１２頭の
場合では、４日で食べつくしました。では、牛６頭の場合、何日で牧草を食べつくす
でしょうか。ただし、牛は毎日同じ量を食べ、草も毎日一定の量だけ生えてくるもの
とします。
（解） 最初の牧草量をＷ、１日当たり増える牧草量をａ、牛１頭が１日当たり食べる牧草量
をｂとおくと、題意より、 Ｗ＋５ａ＝１０ｂ×５＝５０ｂ 、Ｗ＋４ａ＝１２ｂ×４＝４８ｂ
よって、辺々引いて、 ａ＝２ｂ となり、 Ｗ＝４０ｂ である。
牛６頭がｘ日で牧草を食べ尽くすとすると、 Ｗ＋ｘａ＝６ｂ・ｘ
よって、 ４０ｂ＋２ｂｘ＝６ｂｘ より、 ４ｂｘ＝４０ｂ なので、 ｘ＝１０（日） （終）
（コメント） 問題１は、上記のように連立方程式で解かれうるが、もっとエレガントな解法が
Ｎｅｗｔｏｎ算である。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんからＮｅｗｔｏｎ算の考え方をご教示い
ただいた。（平成２４年６月２２日付け）
（解） 牛１頭が１日に食べる草の量を１とする。牛が食べた草の量は、
１０頭で５日なので、１×１０×５＝５０
１２頭で４日なので、１×１２×４＝４８
１日に生える草の量は、５０−４８＝２ で、はじめの草の量は、５０-２×５＝４０
６頭の牛ならば、４０÷(１×６−２)＝１０（日） （終）
（コメント） Ｎｅｗｔｏｎ算の考え方は、初めの草の量と増える草の量を分けて考えるところが
肝要である。
攻略法さんから別解をいただきました。（平成２４年６月２２日付け）
（別解） 牛１頭が１日に食べる草の量を１とする。はじめの草の量をN、1日に生える草の量
をMとすると、
牛１０頭で５日、牛１２頭で４日 なので、 １０−Ｍ：１２−Ｍ＝４：５ が成り立つ。
このとき、 Ｍ＝２ となる。よって、初めの草の量は、 １０×５−５×２＝４０
以上から、牛６頭の場合は、 ４０÷（６−２）＝１０（日）
（別解） ・・・ 中学生向け（追いつき算（旅人算）、相似三角形）
原点をOとする。ｙ=2ｘ+40 のｙ切片をAとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=12ｘ との交点をBとする。
ｙ=2ｘ+40 と ｙ=10ｘ との交点をCとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=6ｘ との交点をDとする。ｙ=10ｘ と点Dを
通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=10ｘ と ｘ=10 との交点である）をEとする。ｙ=12ｘ と点Dを
通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=12ｘ と ｘ=10 との交点である）をFとする。
△OAB∽△FDB なので、AB：BD=OA：DF より、 (4-0)：(ｘ-4)=OA：(12-6)
よって、OA=24/(ｘ-4)頭（に相当する）
同様に、△OAC∽△EDCなので、AC：CD=OA：DEより、(5-0)：(ｘ-5)=24/(ｘ-4)：(10-6)
より、ｘ=10 （終）
（別解） ・・・ 高校生向け（連立方程式）
ｙ=2ｘ+40 と ｙ=12ｘ との交点をBとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=10ｘ との交点をCとする。ｙ=2ｘ+40 と
ｙ=6ｘ との交点をDとする。ｙ=12ｘ と点Bを通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=12ｘ と ｘ=4 との
交点である）をB’とする。ｙ=10ｘ と点Cを通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=10ｘ と ｘ=5 との
交点である）をC’とする。△DBB’∽△DCC’なので、DB’：DC’=BB’：CC’ より、
(ｘ-4)：(ｘ-5)=(12-6)*4：(10-6)*5 より、 ｘ=10 （終）
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年６月２４日付け）
「通常、牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。」について、牛1頭が1日に食べる草の量
をCとする。はじめの草の量をN、1日に生える草の量をMとすると、
「はじめの草の量 + ｘ日に生える草の量 = ｘ日にB頭の牛が食べた量」
なので、連立方程式
N+5M=5*10C ← 式1 ← N+ｘM=ｘBの形
N+4M=4*12C ← 式2
N+ｘM=ｘ*6C ← 式3
を得る。式1-式2より、M=2C ← 式4 式1-式3より、(5-x)M=(50-6x)C ← 式5
式4を式5に代入して、(5-ｘ)2C=(50-6ｘ)C ∴10C-2Cｘ=50C-6Cｘ ∴4Cｘ=40C ∴ｘ=10
牛が1日にどれだけ食べようとそれはいっこうにかまわない。牛が大食いであればそれだ
けNもMも比例して増える計算になる。Cを1と決めれば極めて簡単になってしまう。
・4つの未知数が3つになる。
・数値が小さくなる。
というメリットがある。
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年６月２５日付け）
「通常、牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。」について、
（別解） ・・・ 役割分担
牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。1日に生える草の量をMとすると、10頭の場合、1
日に生える草の量は、(M÷1)倍なので、M頭が担当して食べつくす。はじめの草の量は、5
日間(10-M)頭が担当して食べつくす。12頭の場合、条件から、「生える草の量」の担当は10
頭の場合と同じ数である。
したがって、はじめの草の量は、4日間(12-M)頭が担当して食べつくす。
これより、はじめの草の量=(10-M)×5日=(12-M)×4日 ∴50-5M=48-4M ∴M=2
よって、はじめの草の量は、(10-2)×5日=40 または、(12-2)×4日=40
はじめの草の量がなくなったとき、草が食べつくされた状態になるので、6頭の牛なら、
40÷(6-2)=10日 （終）
読者のために、Ｎｅｗｔｏｎ算の練習問題をいくつか残しておこう。
問題２ ある牧場で牛を25頭を放牧したところ、8日で牧草を食べつくしました。また、15頭を
放牧した場合は、18日で食べつくしました。では、この牧場で48日間放牧を続けるに
は、牛を何頭まで放牧できますか。但し、牧草は一定のペースで増えるものとします。
（答：１０頭）
問題３ 満水の貯水池の水をポンプ25台でくみ出すと14時間でくみつくし、30台でくみ出すと
12時間でくみつくします。では、満水の貯水池を放置しておくと、何時間で水は空にな
りますか。ただし、この貯水池には用水路が付いていて、一定の割合で水が流出して
います。（答：８４時間）
（解） ポンプ1台が1時間にくみ出す量を1とする。
25台、14時間なので、1×25×14=350
30台、12時間なので、1×30×12=360
1時間で流出した量は、360-350=10 より、10÷(14-12)時間=5
貯水池の全体の量は、350+5×14時間=420 または、360+5×12時間=420
そのままなら、420÷5=84時間 （終）
問題４ 満水の貯水池の水をポンプ15台でくみ出すと104時間でくみつくし、19台でくみ出すと
91時間でくみつくします。では、満水の貯水池を放置しておくと、何時間で水は空にな
りますか。ただし、この貯水池には用水路が付いていて、一定の割合で水が流出して
います。
問題５ 水そうに、給水口から一定量の水が入り続けています。この水そうに水がいっぱい
に満たされた状態から排水ポンプを動かし始めたとき、空の状態にするのに、排水
ポンプ２台では１２分間、排水ポンプ３台では６分間かかります。どの排水ポンプか
らも毎分一定量の水が出ていきます。この水そうに水がいっぱいに満たされた状態
から、２分間で空の状態にするには、排水ポンプが何台必要ですか。
問題６ ある草原にやぎを放ち、草を食べさせます。２０匹のやぎなら１５日で、３０匹のやぎ
なら９日で、この草原の草を食べ尽くしてしまいます。はじめに生えている草の量は
同じで、やぎを放ってから草は毎日同じ量だけ生えてくるとします。草原の草が減ら
ないのは、やぎが何匹以下のときですか。
（解） １匹のやぎが１日に食べる草の量を１とすると、
はじめの草＋生えてくる草＝やぎが食べる草
はじめの草＋１５日で生える草＝１×２０匹×１５日
はじめの草＋９日で生える草＝１×３０匹×９日
─────────────────────
差：６日で生える草＝３０
よって、１日で生えてくる草の量は、３０÷６＝５
したがって、草原の草が減らないのは、５÷１＝５で、やぎが５匹以下のとき。 （終）
問題７ ポンプで井戸の水をすべてくみ出すのに４台では１２時間かかり、７台では６時間
かかります。９台では何時間かかりますか。ただし、はじめ井戸には一定の量の
水が入っていて井戸の底からは一定の量の水が常に湧き出ているものとします。
問題８ ある井戸には一定の水量が貯まっており、そこに毎分一定量の水量が流れ込ん
でいる。此れを １台のポンプで汲み出すと １５分後に空になり、２台のポンプで
汲み出すと６分後に空になる。３台のポンプで汲み出すと何分後に空になるか?
問題９ 今、ダムには一定量の水が溜まっており、さらに毎日一定量の水がダムに流入す
る。１日に４０トンずつ放流すると１５日でダムは空になり、３０トンずつ放流すると３０
日間で空になる。
１日に５０トンずつ放流するとダムは何日で空になるか。
（解） １日当たりの流入量をｘとおくと、 ４０−ｘ ： ３０−ｘ ＝ ３０ ： １５ ＝ ２ ： １ より、
ｘ＝２０ となるので、ダムの初めの貯水量は、 ４０×１５−２０×１５＝３００
よって、１日に５０トンずつ放流すると、 ３００÷（５０−２０）＝１０（日）かかる。 （終）
（別解） ダムの初めの貯水量をＷ、１日当たりの流入量をｘとおくと、
Ｗ＋１５ｘ＝４０×１５＝６００ 、Ｗ＋３０ｘ＝３０×３０＝９００
これを解いて、 ｘ＝２０、Ｗ＝３００
１日に５０トンずつ放流して、ａ日でダムが空になるとすると、
３００＋２０ａ＝５０ａ より、 ａ＝１０（日） （終）
問題10 改札前に８０人並んでいる。改札を３箇所開放すると２０分で行列がなくなる。改札
を５箇所開放すると８分で行列がなくなる。それでは、２箇所の改札では何分で行列
がなくなるか？ただし、改札前には一定の速さで人が並んでいくものとする。
（解） １分間に新しく並ぶ人数をＮ、改札１箇所で１分間で処理出来る人数をＭとすると、
８０＋２０Ｎ＝３Ｍ×２０＝６０Ｍ 、８０＋８Ｎ＝５Ｍ×８＝４０Ｍ
これを解いて、 Ｎ＝５ 、Ｍ＝３
よって、改札を２箇所開放してａ分で行列がなくなるとすると、
８０＋ａＮ＝２Ｍ・ａ より、 ８０＋５ａ＝６ａ なので、ａ＝８０（分） （終）
（コメント） この計算をＮｅｗｔｏｎ算でやろうとすると結構複雑だったりして．．．。
問題11 コンサートのチケット販売開始時刻に１６０人の行列が出来ていた。窓口では１分
間当たり５人の割合で販売を開始した。１分間に３人の割合で並び続ける。
（１） 開始から行列がなくなるまで何分かかるか。
（２） ４０分で行列をなくすには１分間に何人販売すればよいか。
（解）（１） １６０÷２＝８０分
（実際に減る量に注目するのがニュートン算のポイント・・・１分間で２人減る）
（２） （１６０＋３×４０）÷４０＝７ （終）