当選確実の数理　 　 　　　　　　　　　　　　　　　

　３４名の塾生達に、次のような問題を問うた。

　　生徒数３０人のクラスで委員２名を決める投票（一人１票で棄権はなし）を行った。

　開票作業の途中で、１１票を獲得したＡ君は、「やった〜！これで委員になれる！」

　と一人喜んだ。このＡ君の判断は正しいと思うか。理由をつけて答えよ。

　模範解答として、次のようなものを想定した。

　Ａ君の得票を Ｘ 票として、残り ３０−Ｘ 票をＡ君以外の２人が分け合うとき、第２位にな

る人の最大得票数は、（３０−Ｘ）/２ 以下となる。Ａ君が当選確実となるためには、この値

を超えなければならない。

　よって、Ｘ＞（３０−Ｘ）/２ を解いて、　Ｘ＞１０ 。

　Ｘ＝１１なので、Ａ君が当選確実と判断するのは正しい。

　塾生たちのうち、論理のしっかりした正解者は１３名
　　　　　　　　　　　まだ過半数の１５票を超えていないから正しくないとした者が６名
　　　　　　　　　　　他の１５名は論理が不明確ながらも、Ａ君の判断を支持した。

　問題を提案した立場からすると、「まだ過半数を超えていないから」とする答えが多いの
ではないかと予想したが、塾生たちは、しっかりした論理で、物事の本質を喝破していた。
頭の下がる思いである。

　因みに、正解とした塾生たちの論理は次のようであった。

　　　　残り１９票では、Ａ君の得票数以上の人は２人以上現れない。
　　　　もし現れたら、１１×２＝２２ で１９票を超えてしまう。
　　　　よって、Ａ君は当選確実であるとしてよい。


（追記）　令和６年１月８日付け

　上記の模範解答は、今思い返してみると、あまりスッキリしたものではなかったですね！

（別解）　委員２名に当選するには、３位にならなければよいということで、３０票を３人で均等

　に割り振れば、１０票となる。したがって、１０＋１＝１１票とれば、３位になることはない。

　よって、当選確実となるのは、１１票であることが分かる。　　（終）


　一般に、Ｎ人より、ｎ人を選ぶときの当確ラインは、

　[Ｎ/（ｎ＋１）]＋１　　（[　] はガウスの記号）

により求められる。このような計算は、投票算と言われる。


（追記）　平成２０年８月２５日付け

　上記のような論理を問う問題が、２００６年度入試　東洋大学　で出題された。

　１００人の集まりがあり、この中から５名の代表者を選ぶ。１００人が１名ずつ名前を
書いて投票するとき、当選が確実となる最低票数は何票か？

（解）　当選が確実となる最低票数を Ｘ とする。残り １００−Ｘ 票を、５人が分け合うとき、

　　　第５位になる人の最大得票数は、（１００−Ｘ）/５ 以下となる。

　　　　このとき、題意より、　Ｘ＞（１００−Ｘ）/５ でなければならない。

　　　これを解いて、　Ｘ＞１６．６・・・ 。

　　　　よって、当選確実な最低票数は、　１７票である。　（終）

（別解）　特定の６人に票が均等に分かれたときを考える。

　　　　　票数は、　１７　、１７　、１７　、１７　、１６　、１６

　　　　よって、１５票以下では、必ず当選できるとは言い切れない。１６票も同様である。

　　　　１７票とれば、他の票がどう動いても１７票以上の人は最大で４人で、確実に当選

　　　　できる。　実際に、残り １００−１７＝８３票では、１７×５＝８５　となり、１７票以上

　　　　の人は５人以上現れない。

　　　　　よって、当選確実な最低票数は、　１７票である。　（終）

（コメント）　定員＋１ で考えるところがポイントですね！

（追記）　平成２２年１月９日付け

　９日付朝刊に、貴乃花親方の話題が掲載されていた。これまでの慣例で行われてきた理

事選に、二所ノ関一門を離脱して立候補するのだという。二所ノ関一門の理事定員は３名

で、貴乃花親方が立候補すると候補者が４人となるためらしい。親方や力士、行司代表を

含め有権者は１０９人。その投票で理事１０名を選ぶとき、当選確実な票は１０票前後とい

う。

　このような数学的な話題を朝刊で発見して、実際に計算してみたくなった。

（解）　当選が確実となる最低票数を Ｘ とする。残り １０９−Ｘ 票を、１０人が分け合うとき、

　　　第１０位になる人の最大得票数は、（１０９−Ｘ）/１０ 以下となる。

　　　　このとき、題意より、　Ｘ＞（１０９−Ｘ）/１０ でなければならない。

　　　これより、　１１Ｘ＞１０９　なので、　Ｘ＞９．９

　　　　よって、当選確実な最低票数は、　１０票である。　（終）

（コメント）　計算すると、当選確実な票数は「１０票」と出るのに、新聞では、「１０票前後」と
　　　　　　あいまいに表現しているところが面白いですね！


　読者のために、練習問題を残しておこう。

問題　４５０人の生徒が１人１票ずつ投票する。生徒の中から役員４人を選ぶ。必ず当選す
　　　　るには最低何票必要か？

（解）　４５０÷５＝９０　より、９１票とれば当選確実。　　（終）


（別解）　当選が確実となる最低票数を Ｘ とする。残り ４５０−Ｘ 票を、４人が分け合うとき、

　　　第４位になる人の最大得票数は、（４５０−Ｘ）/４ 以下となる。

　　　　このとき、題意より、　Ｘ＞（４５０−Ｘ）/４ でなければならない。

　　　これより、　５Ｘ＞４５０　なので、　Ｘ＞９０

　　　　よって、当選確実な最低票数は、　９１票である。　（終）



　　以下、工事中！