高校で習う数列で一番有名な数列は、フィボナッチ数列であろう。
その数列は簡単な漸化式
ａ1＝ａ2＝1 、ａｎ＋2＝ａｎ＋1＋ａｎ （ｎ＝１，２，・・・）
で定義される。漸化式の形から、任意の ｎ に対して、 ａｎ が整数であることは誰も疑うこ
とはしないと思う。
これに対して、世の中に驚くべき数列が存在する。その漸化式は、
ａ1＝ａ2＝ａ3＝ａ4＝1 、ａｎ・ａｎ＋4＝ａｎ＋3・ａｎ＋1＋ａｎ＋22 （ｎ＝１，２，・・・）
で定義される。
この漸化式の形を見て、誰も「任意の ｎ に対して、 ａｎ は整数になる！」ということを信
じないだろうと思う。（私も、当初信じられなかった！）
ところが、この数列の各項は、誰が何といっても必ず整数になる！
上記の数列は、ソモスの第１数列（または、４-Ｓｏｍｏｓ ｓｅｑｕｅｎｃｅ）といわれている。
日本語のＨＰで、この数列について取り上げているものは非常に少ない。当ＨＰがいつも参
考にさせてもらっている
オンライン整数列大辞典
では、整数列番号A006720 に詳しくまとめられている。
このページでは、この数列の話題について整理しようと思う。
実際に、数列の各項を求めてみよう。
１、１、１、１、２、３、７、２３、５９、３１４、１５２９、８２０９、８３３１３、６２０２９７、・・・
求めるのに、Ｅｘｃｅｌ を利用した。セルのＡ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４に、「１」を入力して、Ａ５には、
「=(A2*A4+A3^2)/A1」と入力。後は、このセルＡ５を下方にコピーすればよい。
（残念ながら、この方法で求められる最大値は、３２６０６７２１０８４７８６ である。）
ソモスの第１数列は、楕円曲線 ｙ2＝４ｘ3−４ｘ＋１ とも関係があるそうだが、ここでは
深入りしないことにする。
さて、当面の課題は、ソモスの第１数列の各項が整数であることはどのようにして示され
るのかということである。
この証明は、数学セミナー（’９３年３月号 日本評論社）の名物コーナー「エレガントな解
答をもとむ」において与えられている。（解答者は、一松 信 先生）
また、一松 信 著 「初等関数概説」（森北出版）ｐ．８４〜ｐ．８７にも詳しい記述がある。
詳しい証明はそちらに譲るとして、ここでは証明のあらましを眺めることにしよう。
初期条件から、 ａ1 〜 ａ8 が整数であることは明らかなので、ａ9 が整数であることを論証
により確認することにする。
まず、次の事実が成り立つ。
０≦ｎ≦４ に対して、ａｎ＋4 は、ａｎ＋1、ａｎ＋2、ａｎ＋3 とそれぞれ互いに素である。
（証） ａｎ＋4 と ａｎ＋3 が互いに素でないとして、公約数のうち素数であるものを ｐ とおく。
このとき、 ａｎ・ａｎ＋4＝ａｎ＋3・ａｎ＋1＋ａｎ＋22 から、 ａｎ＋22＝ａｎ・ａｎ＋4−ａｎ＋3・ａｎ＋1
なので、 ａｎ＋22 すなわち、 ａｎ＋2 は、ｐ で割り切れる。
以上から、 ａｎ＋4 と ａｎ＋3 が ｐ で割り切れれば、ａｎ＋3 と ａｎ＋2 も ｐ で割り切れる。
この操作を続けると、 ａ2 と ａ1 も ｐ で割り切れることになるが、ａ2 ＝ ａ1 ＝１ なので、
これは不可能である。
よって、 ａｎ＋4 と ａｎ＋3 は互いに素である。
次に、ａｎ＋4 と ａｎ＋2 が互いに素でないとして、公約数のうち素数であるものを ｐ とおく。
このとき、 ａｎ・ａｎ＋4＝ａｎ＋3・ａｎ＋1＋ａｎ＋22 から、 ａｎ＋3・ａｎ＋1＝ａｎ・ａｎ＋4−ａｎ＋22
なので、 ａｎ＋3・ａｎ＋1 は、ｐ で割り切れる。上記より、ａｎ＋4 と ａｎ＋3 は互いに素である
ので、 ａｎ＋1 は、ｐ で割り切れる。このとき、ａｎ＋2 と ａｎ＋1 が ｐ で割り切れることにな
るので、上記と同様の推論により、ａ2 と ａ1 も ｐ で割り切れることになるが、これは不可
能である。
次に、ａｎ＋4 と ａｎ＋1 が互いに素でないとして、公約数のうち素数であるものを ｐ とおく。
このとき、 ａｎ・ａｎ＋4＝ａｎ＋3・ａｎ＋1＋ａｎ＋22 から、 ａｎ＋22＝ａｎ・ａｎ＋4−ａｎ＋3・ａｎ＋1
なので、 ａｎ＋22 すなわち、 ａｎ＋2 は、ｐ で割り切れる。
このとき、ａｎ＋2 と ａｎ＋1 が ｐ で割り切れることになるので、上記と同様の推論により、
ａ2 と ａ1 も ｐ で割り切れることになるが、これは不可能である。（証終）
この事実を用いて、次の事実を論証により示そうと思う。
１≦ｎ≦８ に対して、ａｎ が整数であるとき、ａ9 も整数である。
（証） 以下において、 ａ2＝ｓ、ａ3＝ｔ、ａ4＝ｕ とし、ａ5 を法として考える。
ａ1・ａ5＝ａ4・ａ2＋ａ32＝ｓｕ＋ｔ2 より、 ｓｕ＋ｔ2≡０ である。
さらに、ａ2・ａ6＝ａ5・ａ3＋ａ42≡ｕ2 において、ａ2＝ｓ と ａ5 は互いに素なので、ａ6≡ｕ2/ｓ
である。同様にして、
ａ3・ａ7＝ａ6・ａ4＋ａ52≡ｕ3/ｓ において、ａ3＝ｔ と ａ5 は互いに素なので、ａ7≡ｕ3/ｓｔ
ａ4・ａ8＝ａ7・ａ5＋ａ62≡ｕ4/ｓ2 において、ａ4＝ｕ と ａ5 は互いに素なので、ａ8≡ｕ3/ｓ2
このとき、 ａ8・ａ6＋ａ72≡ｕ5/ｓ3＋ｕ6/ｓ2ｔ2＝ｕ5（ｔ2＋ｓｕ）/ｓ3ｔ2≡０ である。
よって、 ａ8・ａ6＋ａ72 は、ａ5 で割り切れる。
ところで、 ａ5・ａ9＝ａ8・ａ6＋ａ72 より、 ａ9＝（ａ8・ａ6＋ａ72）/ａ5 なので、 ａ9 は整数と
いえる。（証終）
数学的帰納法を用いて、同様の論法で、「全ての ｎ に対して、ａｎ は整数」であることが
示される。
上記では、ａ5 を法として考えて証明したが、直接的に示すことも出来る。
（別証） 漸化式より、次の各式が成り立つ。
ａ4・ａ8＝ａ7・ａ5＋ａ62 すなわち、 ａ8＝（ａ7・ａ5＋ａ62）/ａ4
ａ3・ａ7＝ａ6・ａ4＋ａ52 すなわち、 ａ7＝（ａ6・ａ4＋ａ52）/ａ3
ａ2・ａ6＝ａ5・ａ3＋ａ42 すなわち、 ａ42＝ ａ2・ａ6−ａ5・ａ3
ａ1・ａ5＝ａ4・ａ2＋ａ32
このとき、 ａ5・ａ9＝ａ8・ａ6＋ａ72 において、 ａ8・ａ6＋ａ72 が ａ5 で割り切れることを示
せばよい。順次、上式を代入して計算すると、
ａ8・ａ6＋ａ72＝ａ6・（ａ7・ａ5＋ａ62）/ａ4＋（ａ6・ａ4＋ａ52）2/ａ32
すなわち、
ａ4・ａ32・（ａ8・ａ6＋ａ72）
＝ａ32・ａ6・（ａ7・ａ5＋ａ62）＋ａ4・（ａ6・ａ4＋ａ52）2
＝（ ａ5 を含む項）＋ａ32・ａ63＋ａ43・ａ62＝（ ａ5 を含む項）＋ａ62（ａ32・ａ6＋ａ43）
ここで、
ａ32・ａ6＋ａ43＝ａ32・ａ6＋ａ42・ａ4
＝ａ32・ａ6＋（ａ2・ａ6−ａ5・ａ3）ａ4
＝（ ａ5 を含む項）＋（ａ4・ａ2＋ａ32）・ａ6
＝（ ａ5 を含む項）＋ａ1・ａ5・ａ6＝（ ａ5 を含む項）
以上から、 ａ4・ａ32・（ａ8・ａ6＋ａ72） は、ａ5 で割り切れる。
また、 ａ5 は、ａ3 、ａ4 とそれぞれ互いに素なので、 ａ8・ａ6＋ａ72 は、ａ5 で割り切れる。
したがって、 ａ9 は整数となる。 （証終）
上記では、ソモスの第１数列についてまとめたが、ソモスの第２数列、ソモスの第３数
列も存在する。
ソモスの第２数列
ａ1＝ａ2＝ａ3＝ａ4＝ａ5＝1 で、
ａｎ・ａｎ＋5＝ａｎ＋4・ａｎ＋1＋ａｎ＋3・ａｎ＋2 （ｎ＝１，２，・・・）
で定義される数列の各項は整数である。
ソモスの第３数列
ａ1＝ａ2＝ａ3＝ａ4＝ａ5＝ａ6＝1 で、
ａｎ・ａｎ＋6＝ａｎ＋5・ａｎ＋1＋ａｎ＋4・ａｎ＋2＋＋ａｎ＋32 （ｎ＝１，２，・・・）
で定義される数列の各項は整数である。
これらの事実もにわかには信じられないかもしれないが、真実である！
これらの数列は、ソモスにより１９８０年頃に提出され、１９８９年計算機による数式処理を
使用して証明された。
（参考文献：一松 信 著 初等関数概説 （森北出版））