素因数分解　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　自然数のいろいろな性質を調べるとき、無意識に自然数を素因数分解して考えることが
多い。ただ、現行の学習指導要領の中では説明する機会はほとんどないに等しく、学習者
は、その方策をただ受け入れるのみである。

　ここでは、自然数ひいては整数を扱う上で大切な「素因数分解の可能性と一意性」につ
いてまとめておきたい。

素因数分解の可能性と一意性

　自然数は素数の積として表せる。しかも、その表し方は積の順序を除いて一意に定まる

　すなわち、自然数 Ｎ は、

　 Ｎ＝ｐ^aｑ^b・・・ｒ^c 　　（ｐ＜ｑ＜・・・＜ｒ　は素数、a、b、・・・、c　は ０ 以上の整数）

と一意に書くことができる。

（可能性の証明）

Ｎ＝１　のとき、適当な素数　ｐ　を用いて、ｐ⁰＝１　であるので、Ｎ＝ｐ⁰　と書ける。
　よって、Ｎ＝１　のとき成り立つ。
Ｎ≦ｋ　（ｋ≧１）　のとき、成り立つものと仮定する。
Ｎ＝ｋ＋１　のとき、ｋ＋１が素数ならば、Ｎ＝ｐ¹　として成り立つ。
　ｋ＋１が素数でなければ、ｋ＋１ は、１ と ｋ＋１ 以外の約数 ｐ を持つ。
　帰納法の仮定から、ｐ と Ｎ/ｐ は素因数分解できる。
　Ｎ＝ｐ・Ｎ/ｐ　なので、Ｎも素因数分解できる。
　何れにしても、Ｎ＝ｋ＋１　は素因数分解できる。
以上から、全ての自然数 Ｎ について、素因数分解ができる。　　（証終）

（一意性の証明）

　　Ｎ＝ｐ₁ｑ₂・・・ｒ_ｍ＝ａ₁ｂ₂・・・ｃ_ｎ　と２通りに書けたものとする。
このとき、素数 ｒ_ｍ は、Ｎの約数なので、ａ₁、ｂ₂、・・・、ｃ_ｎ　のどれかは ｒ_ｍ の倍数である。
したがって、添え数を適当に入れ替えて、ｃ_ｎ＝ｒ_ｍ　とすることができる。
よって、　ｐ₁ｑ₂・・・ｒ_ｍ-1＝ａ₁ｂ₂・・・ｃ_ｎ-1 となる。
この操作を続ければ、ｍ＝ｎ　で、｛ ｐ_1，ｑ₂，・・・，ｒ_ｍ ｝＝｛ ａ₁，ｂ₂，・・・，ｃ_ｎ ｝　であること
が分かる。　　（証終）


（追記）　令和７年３月６日付け

　次の問題に遭遇し、素因数分解について考えていました。

問題　次の９桁の整数 ５３３３３３３３３ を素因数分解せよ。（岡山理科大学（２０２４））

　５３３３３３３３３＝（１６・１０⁸−１）/３　とも書けますね！

　答えは、１３×１７×６７×１８１×１９９　となるそうです。

（解）　５３３３３３３３３＝５・１０⁸＋（１/３）（１０⁸−１）＝（１６・１０⁸−１）/３

　＝（４・１０⁴＋１）（４・１０⁴−１）/３

　＝（４・１０⁴＋４・１０²＋１−４・１０²）（２・１０²＋１）（２・１０²−１）/３

　＝（（２・１０²＋１）²−（２・１０）²）・２０１・１９９・（１/３）

　＝（２・１０²＋２・１０＋１）（２・１０²−２・１０＋１）・６７・１９９

　＝２２１・１８１・６７・１９９

　＝１３・１７・６７・１８１・１９９　　（終）


　らすかるさんの結果（→　参考：「素因数分解」、「A069568」）は凄いですね！例えば、

　１３３１１１１・・・１１１（１が２０００個）も合成数

ということが分かっちゃうということですよね。感動です。

　「２１１、５１１１１１なども素数となる最小の１の並び」ということにも気づかされました。

問題　　５１１１１は合成数である。素因数分解せよ。

（解）　５１１１１＝３⁴・６３１　　（終）

　上記は、各位の数の和が９の倍数なので、素因数分解しやすいかな？

問題　　６２４９９９９ は合成数である。素因数分解せよ。

（解）　６２４９９９９＝２５²・１０⁴−１＝（２５・１０²＋１）（２５・１０²−１）

　＝（２５・１０²＋２・５・１０＋１−２・５・１０）（５・１０＋１）（５・１０−１）

　＝（（５・１０＋１）²−１０²）（５・１０＋１）（５・１０−１）

　＝（５・１０＋１−１０）（５・１０＋１＋１０）（５・１０＋１）（５・１０−１）

　＝４１・６１・３・１７・７²＝３・７²・１７・４１・６１　　（終）


　これに味をしめて、次の問題を考えてみよう。

問題　　９９９９９９８４ は合成数である。素因数分解せよ。

（解）　９９９９９９８４＝１０⁸−１６＝（１０⁴＋４）（１０⁴−４）

　＝（１０⁴＋４・１０²＋４−４・１０²）（１０²＋２）（１０²−２）

　＝（（１０²＋２）²−２０²）・１０２・９８

　＝（１０²＋２０＋２）（１０²−２０＋２）・１０２・９８

　＝１２２・８２・１０２・９８

　＝（２・６１）・（２・４１）・（２・３・１７）・（２・７²）

　＝２⁴・３・７²・１７・４１・６１　　（終）


（コメント）　何となく計算がワンパターンな気がする．．．。



　　以下、工事中！