（４）
数値解析法・・・解の関数値の表を、初期値から始めて次々と作っていく方法
求積法などにより、具体的に、微分方程式の解が求められなくても、実用上は、数値とし
て、その解の近似値が求まれば十分ということが多い。
このページでは、その初等的な方法を紹介する。
今、微分方程式 Ｙ’＝Ｆ(Ｘ，Ｙ) を、初期条件 Ｘ＝ａ のとき、Ｙ＝ｂ のもとで解く。この
解が求積法で求めにくいとき、次の
Ｅｕｌｅｒ−Ｃａｕｃｈｙ の解法が知られている。
ａ より若干大きい値を Ａ とし、区間［ａ，Ａ]
を ｎ 等分する。このとき、
Ｘ
0＝ａ 、Ｘ
1、Ｘ
2、・・・Ｘ
n-1、Ｘ
n＝Ａ
さらに、
ｈ＝（Ａ−ａ）/ｎ
とおく。
点（Ｘ
0，Ｙ
0）において、傾きＦ（Ｘ
0，Ｙ
0）の
直線を引き、直線 Ｘ＝Ｘ
1 との交点のＹ座標
を Ｙ
1 とする。ただし、Ｙ
0＝ｂ とする。
点（Ｘ
1，Ｙ
1）において、傾きＦ（Ｘ
1，Ｙ
1）の
直線を引き、直線 Ｘ＝Ｘ
2 との交点のＹ座標
を Ｙ
2 とする。
以下同様にして、左図のように、
Ｙ
2 ，Ｙ
3 ，・・・，Ｙ
ｎ を定める。
この Ｙ
ｎ をもって、与えられた初期条件のもとでの、微分方程式の解の X＝Ａ における
近似値とする。
以上により、その計算式をまとめれば、次のようになる。
（例１） 微分方程式 Ｙ’＝Ｘ/Ｙ （初期条件 Ｘ＝０ のとき、Ｙ＝１）を考える。
この微分方程式は、求積法により解かれて、Ｘ
2−Ｙ
2＝−１ となるので、Ｘ＝１ の
ときのＹの値は、√２ （≒１．４１４２１３５・・・）となる。
この微分方程式に対して、実際に Ｅｕｌｅｒ−Ｃａｕｃｈｙ の解法を適用してみよう。
手計算では大変なので、Ｅｘｃｅｌ のＶＢＡ を利用して求める。
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ（ｎ）
Ｘ＝０
Ｙ＝１
ｈ＝１/ｎ
Ｆｏｒ ｉ＝１ Ｔｏ ｎ
Ｙ＝Ｙ＋（Ｘ/Ｙ）＊ｈ
Ｘ＝Ｘ＋ｈ
Ｎｅｘｔ ｉ
Ｅｎｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｅｘｃｅｌ を起動し、[ツール]−[マクロ]−[Ｖｉｓｕａｌ Ｂａｓｉｃ Ｅｄｉｔｏｒ] とクリックして
Ｅｄｉｔｏｒ を起動し、[挿入]−[標準モジュール] を選択して、上記を記述すればよい。
後は、Ｅｘｃｅｌの任意のセルに、例えば、 ＝Y（100） と打ち込むと、瞬時に、区間
［０ ，１］を１００等分して得られた、Ｘ＝１ における近似値が得られる。
計算によれば、１．４１４２１３５ の近似値を得るには、２４７万９９９等分する必
要があるようである。したがって、手計算でできる範囲（例えば、５等分、１０等
分など）では、誤差が大きすぎて、使いものにならない。因みに、５等分して得ら
れる近似値は、１．４・・・が精一杯であった。
（例２） 微分方程式 Ｙ’＝Ｙ （初期条件 Ｘ＝０ のとき、Ｙ＝１）を考える。
この微分方程式は、求積法により解かれて、Ｙ＝
ｅｘ となるので、Ｘ＝１ のときの
Ｙの値は、
ｅ （≒２．７１８２８１・・・）となる。
この微分方程式に対して、実際に Ｅｕｌｅｒ−Ｃａｕｃｈｙ の解法を適用してみよう。
手計算では大変なので、Ｅｘｃｅｌ のＶＢＡ を利用して求める。
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｙ（ｎ）
Ｙ＝１
ｈ＝１/ｎ
Ｆｏｒ ｉ＝１ Ｔｏ ｎ
Ｙ＝Ｙ＋Ｙ＊ｈ
Ｎｅｘｔ ｉ
Ｅｎｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｅｘｃｅｌ を起動し、[ツール]−[マクロ]−[Ｖｉｓｕａｌ Ｂａｓｉｃ Ｅｄｉｔｏｒ] とクリックして
Ｅｄｉｔｏｒ を起動し、[挿入]−[標準モジュール] を選択して、上記を記述すればよい。
後は、Ｅｘｃｅｌの任意のセルに、例えば、 ＝Y（100） と打ち込むと、瞬時に、区間
［０ ，１］を１００等分して得られた、Ｘ＝１ における近似値が得られる。
計算によれば、２．７１８２８１ の近似値を得るには、１２３万９５４等分する必
要があるようである。したがって、手計算でできる範囲（例えば、５等分、１０等
分など）では、誤差が大きすぎて、使いものにならない。因みに、１０等分して得
られる近似値は、２．５・・・で、真の値からは程遠い。２．７１８２８
の近似値を得
るには、少し楽になって、５８万３７０８等分で十分のようである。
以上の２つの例からも分かるように、Ｅｕｌｅｒ−Ｃａｕｃｈｙ の解法は基本的で分かりや
すいが、近似の程度が非常に悪い。この方法を改良したものとして、
ルンゲ・クッタ法（Ｒｕｎｇｅ-Ｋｕｔｔａ法）・・・積分における
シンプソンの公式のような方法
この方法をコンピュータで利用できるように改良された
ルンゲ・クッタ・ギル法
などが知られている。
