平成２０年１１月５日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、Ｓ（Ｈ）さんが、次のような
最大最小の問題を提案された。
ｘ2＋ｙ2＝１ がなりたつとき、（ｘ＋ｙ）4＋（ｘ－ｙ）2 の最大値と最小値を求めよ。
Ｓ（Ｈ）さんからの情報によれば、判別式を用いたり、その他に媒介変数を用いたりなどし
て、少なくとも７通りの解法が存在するという。
Ｓ（Ｈ）さんは、瞬時に５個の解法を思いつかれたという。私も、この問題の別解がどれほ
どあるのか、どのような別解が可能なのか大いに興味があったので、このページにそれら
の別解をまとめたいと思う。
別解その１ ・・・ 一番最初に思いついた解法
ｘ＝ｃｏｓθ、ｙ＝ｓｉｎθ とおくと、
与式＝（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）4＋（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）2
＝（１＋ｓｉｎ２θ）2＋１－ｓｉｎ２θ＝（ｓｉｎ２θ）2＋ｓｉｎ２θ＋２＝（ｓｉｎ２θ＋１/２）2＋７/４
－１≦ｓｉｎ２θ≦１ より、 最大値は ４、 最小値は ７/４
別解その２ ・・・ ちょっと強引とも思える解法（解法の指針は別解その１とほとんど同じ）
与式＝ｘ4＋４ｘ3ｙ＋６ｘ2ｙ2＋４ｘｙ3＋ｙ4＋ｘ2－２ｘｙ＋ｙ2
＝（１－ｙ2）2＋４ｘｙ（１－ｙ2）＋６（１－ｙ2）ｙ2＋４ｘｙ3＋ｙ4＋１－ｙ2－２ｘｙ＋ｙ2
＝－４ｙ4＋４ｙ2＋２ｘｙ＋２＝４ｙ2（１－ｙ2）＋２ｘｙ＋２＝（２ｘｙ）2＋２ｘｙ＋２
＝（２ｘｙ＋１/２）2＋７/４
ここで、相加平均と相乗平均の関係より、 ｘ2＋ｙ2≧２｜ｘｙ｜ で、 ｘ2＋ｙ2＝１ より、
１≧２｜ｘｙ｜ すなわち、 －１≦２ｘｙ≦１
このとき、 最大値は ４、 最小値は ７/４
（補足） 上記の計算では、与式を単純に展開したが、次のように計算してもよい。
ｘ2＋ｙ2＝１ より、 （ｘ＋ｙ）2－２ｘｙ＝１ なので、 （ｘ＋ｙ）2＝２ｘｙ＋１
よって、
与式＝（２ｘｙ＋１）2＋ｘ2－２ｘｙ＋ｙ2＝（２ｘｙ＋１）2－２ｘｙ＋１＝（２ｘｙ）2＋２ｘｙ＋２
以下、上記と同様である。
（コメント） 息子にこの問題を考えてもらったら、別解その２の補足の方で解いていましたね！
こちらの方が解き方として自然なのでしょうか？その１で解いた私って、もしかして変
わり者かな？
別解その３ ・・・ 受験テクニックを意識した解法
ｘ＋ｙ＝ａ 、ｘｙ＝ｂ とおくと、ｘ、ｙ は２次方程式 ｔ2－ａｔ＋ｂ＝０ の２つの実数解なので、
判別式を Ｄ とおくと、 Ｄ＝ａ2－４ｂ≧０ が成り立つ。
このとき、 ｘ2＋ｙ2＝（ｘ＋ｙ）2－２ｘｙ＝ａ2－２ｂ＝１ なので、上式に代入して、
ａ2－２（ａ2－１）≧０ すなわち、 ０≦ａ2≦２ となる。
よって、
与式＝ａ4＋ｘ2＋ｙ2－２ｘｙ＝ａ4－２ｂ＋１＝ａ4－（ａ2－１）＋１＝ａ4－ａ2＋２＝（ａ2－１/２）2＋７/４
このとき、 最大値は ４、 最小値は ７/４
別解その４ ・・・ ちょっと媒介変数に凝った解法
ｘ＋ｙ＝２ｍ 、ｘ－ｙ＝２ｎ とおくと、 ｘ＝ｍ＋ｎ 、 ｙ＝ｍ－ｎ
このとき、 ｘ2＋ｙ2＝１ より、 （ｍ＋ｎ）2＋（ｍ－ｎ）2＝１ なので、 ｍ2＋ｎ2＝１/２
ｎ2＝１/２－ｍ2≧０ なので、 ０≦ｍ2≦１/２
よって、
与式＝１６ｍ4＋４ｎ2＝１６ｍ4＋４（１/２－ｍ2）＝１６ｍ4－４ｍ2＋２＝１６（ｍ2－１/８）2＋７/４
このとき、 最大値は ４、 最小値は ７/４
別解その５ ・・・ 別解その４の解法を別な視点で試みた解法
ｘ＋ｙ＝２ｍ 、ｘ－ｙ＝２ｎ とおくと、 ｘ＝ｍ＋ｎ 、 ｙ＝ｍ－ｎ
このとき、 ｘ2＋ｙ2＝１ より、 （ｍ＋ｎ）2＋（ｍ－ｎ）2＝１ なので、 ｍ2＋ｎ2＝１/２
ｎ2＝１/２－ｍ2≧０ なので、 ０≦ｍ2≦１/２ となる。
ここで、 与式＝１６ｍ4＋４ｎ2 であるので、 ｍ2＝Ｘ 、ｎ2＝Ｙ とおくと、問題は、
Ｘ＋Ｙ＝１/２ （０≦Ｘ≦１/２） のとき、 １６Ｘ2＋４Ｙ の最大値、最小値を問うものに翻訳
される。
１６Ｘ2＋４Ｙ＝ｋ とおき、 Ｙ＝１/２－Ｘ を代入して整理すると、１６Ｘ2－４Ｘ＋２－ｋ＝０
という２次方程式が得られる。この２次方程式が、０≦Ｘ≦１/２ の範囲において、少なくと
も一つ解があるように、定数 ｋ の値の範囲を定めればよい。
まず、２次関数 Ｆ（Ｘ）＝１６Ｘ2－４Ｘ＋２－ｋ において、
判別式 Ｄ/４＝４－１６（２－ｋ）＝１６ｋ－２８≧０ より、 ｋ≧７/４
また、軸の式は、 Ｘ＝１/８ で、 ０≦Ｘ≦１/２ の範囲内にある。
Ｆ（１/２）＝４－２＋２－ｋ＝４－ｋ≧０ より、 ｋ≦４
以上から、 ７/４≦ｋ≦４ となるので、 最大値は ４、 最小値は ７/４
別解その６ ・・・ Ｌａｇｒａｎｇｅ の未定乗数法を利用する解法
Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝ｘ2＋ｙ2－１＝０ のとき、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ＋ｙ）4＋（ｘ－ｙ）2 の極値を求め
ることを考える。 Ｌａｇｒａｎｇｅ の乗数を λ とすると、連立方程式
Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝０ 、Ｆｘ（ ｘ ， ｙ ）＋λＧｘ（ ｘ ， ｙ ）＝０ 、Ｆｙ（ ｘ ， ｙ ）＋λＧｙ（ ｘ ， ｙ ）＝０
の解 （ ｘ ， ｙ ）が、極値を与える候補となる。
実際に、 ４（ｘ＋ｙ）3＋２（ｘ－ｙ）＋２λｘ＝０ 、 ４（ｘ＋ｙ）3－２（ｘ－ｙ）＋２λｙ＝０
から辺々引くと、 ４（ｘ－ｙ）＋２λ（ｘ－ｙ）＝０ より、 ２（ｘ－ｙ）（λ＋２）＝０ となる。
ｘ－ｙ＝０ とすると、 ｘ＝ｙ＝
１/
である。このとき、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ＋ｙ）4 の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極大で、
極大値 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝４ となる。
λ＝－２ とすると、 ４（ｘ＋ｙ）3＋２（ｘ－ｙ）－４ｘ＝０ すなわち、
４（ｘ＋ｙ）3－２（ｘ＋ｙ）＝０ から、 ２（ｘ＋ｙ）（２（ｘ＋ｙ）2－１）＝０
よって、 ｘ＋ｙ＝０ 、１/
、－１/ となる。ｘ＋ｙ＝０ のとき、 ｘ＝
１/ 、ｙ＝
１/ （複号同順）このとき、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ－ｙ）2 の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極大で、極大値 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝２
ｘ＋ｙ＝
１/ のとき、ｘ2＋ｙ2＝（ｘ＋ｙ）2－２ｘｙ＝１/２－２ｘｙ＝１ より、 ｘｙ＝－１/４このとき、 ｘ 、ｙ は、２次方程式 ｔ2
（１/）ｔ－１/４＝０ の２つの解なので、ｘ＝（
＋
）/４ 、ｙ＝（－）/４または、 ｘ＝（
－）/４ 、ｙ＝（＋）/４ （複号同順）このとき、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝１/４＋（ｘ－ｙ）2 の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極小で、
極小値 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝１/４＋３/２＝７/４ となる。
以上から、最大値は ４、最小値は ７/４
別解その７ ・・・ グラフ描画による解法（コンピュータ利用）
ｘ2＋ｙ2＝１ より、 （ｘ＋ｙ）2－２ｘｙ＝１ なので、 （ｘ＋ｙ）2＝２ｘｙ＋１
よって、
与式＝（２ｘｙ＋１）2＋ｘ2－２ｘｙ＋ｙ2＝（２ｘｙ＋１）2－２ｘｙ＋１＝４ｘ2ｙ2＋２ｘｙ＋２
そこで、
（青太線）
（赤太線）のグラフを、グラフ描画ソフトを用いて描くと、下図のようになる。
上図から、 最大値は ４、 最小値は ７/４
（コメント） このグラフから、別解その６の怪しかった部分が補完されますね！
（追記） 平成２１年４月７日付け
平野次郎 著 「解法の発見」 （学生社） という書籍を何とはなしに読んでいたら、最
大・最小について、新しい視座（少なくとも私にとって．．．！）と思われる記述に遭遇した。
変数 ｘ の範囲（定義域）が、命題 Ｄ（ｘ） により規定されているとき、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ）
の最小値 Ｍ を求めるには、命題 Ｄ（ｘ） が真となるある値 ｘ＝ｍ に対して、常に、
条件命題 Ｄ（ｘ） → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ）≧０
が成り立つときの Ｍ＝Ｆ（ｍ） の値を定めればよい。
全く同様に、最大値についても、次のように捉えることが出来る。
変数 ｘ の範囲（定義域）が、命題 Ｄ（ｘ） により規定されているとき、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ）
の最大値 Ｎ を求めるには、命題 Ｄ（ｘ） が真となるある値 ｘ＝ｎ に対して、常に、
条件命題 Ｄ（ｘ） → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｎ）≧０
が成り立つときの Ｎ＝Ｆ（ｎ） の値を定めればよい。
これらは、最大値と最小値の定義そのものと言っても過言ではなく、無理なく了解される
ことと思う。このような視点に立つと、定義域が複雑な場合にも対応できそうな．．．予感！
いくつか具体例を通して、上記の考え方を会得することにしよう。
例 ｘ ≧ １ のとき、 Ｆ（ｘ）＝ｘ2－４ｘ＋３ の最小値を求めよ。
教科書等のよく知られた解法では、次のようであった。
（解） Ｆ（ｘ）＝ｘ2－４ｘ＋３＝（ｘ－２）2－１ で、軸の式 ｘ＝２ ≧１ から、ｘ＝２ で最小で、
最小値は、－１ （終）
この問題を新しい視座で捉えると次のようになるであろう。
（解） 命題 ｘ ≧ １ が真となるある値 ｘ＝ｍ を考えるので、ｍ≧１ としてよい。
このとき、条件命題 ｘ ≧ １ → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ）≧０ が成り立つように、ｍ の値を定めれ
ばよい。そこで、Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ） とおくと、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０ は、ｘ＝ｍ を解に
もつ。すなわち、 ｘ2－４ｘ＋３－Ｆ（ｍ）＝０ から、判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝４－（３－Ｆ（ｍ））＝Ｆ（ｍ）＋１≧０ より、 Ｆ（ｍ）≧－１
実際に、２次不等式 ｘ2－４ｘ＋３－Ｆ（ｍ）≧０ を解いて、
よって、条件命題 ｘ ≧ １ → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ）≧０ が常に成り立つためには
でなければならない。（← ここの部分の計算で、領域の考えが用いられる！）
ところで、 ｘ＝ｍ は、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０ の解なので、
ｍ≧１ より、
したがって、
が成り立つ。これを解いて、 Ｆ（ｍ）＝－１ である。これが求める最小値である。
また、 Ｆ（ｍ）＝－１ より、 ｍ＝２
以上から、 ｘ＝２ のとき、 最小値 －１ をとる。 （終）
（コメント） いつもの解答に比べ、大変だったかな？ この視座が活躍するときもあることを
信じることにしよう．．．。
例 ｘ2－ｘ－２ ≧ ０ のとき、 Ｆ（ｘ）＝ｘ2－２ｘ＋３ の最小値を求めよ。
教科書等のよく知られた解法では、次のようであった。
（解） ｘ2－ｘ－２ ≧ ０ すなわち、 （ｘ－２）（ｘ＋１）≧０ より、 ｘ≦－１、ｘ≧２
Ｆ（ｘ）＝ｘ2－２ｘ＋３＝（ｘ－１）2＋２ より、ｘ＝２ で最小で、最小値は、３ （終）
この問題を新しい視座で捉えると次のようになるであろう。
（解） 命題 ｘ2－ｘ－２ ≧ ０ すなわち、 ｘ≦－１、ｘ≧２ が真となるある値 ｘ＝ｍ を考
えるので、 ｍ≦－１、ｍ≧２ としてよい。
このとき、条件命題 ｘ≦－１、ｘ≧２ → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ）≧０ が成り立つように、ｍ の値を
定めればよい。
そこで、Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ） とおくと、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０ は、ｘ＝ｍ を解にもつ。
すなわち、 ｘ2－２ｘ＋３－Ｆ（ｍ）＝０ から、判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝１－（３－Ｆ（ｍ））＝Ｆ（ｍ）－２≧０ より、 Ｆ（ｍ）≧２
実際に、２次不等式 ｘ2－２ｘ＋３－Ｆ（ｍ）≧０ を解いて、
よって、条件命題 ｘ≦－１、ｘ≧２ → Ｆ（ｘ）－Ｆ（ｍ）≧０ が常に成り立つためには
でなければならない。
ところで、 ｘ＝ｍ は、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０ の解なので、
である。
ここで、
（ｍ＜１） ならば、ｍ≦－１ より、
でなければならない。これを解いて、 Ｆ（ｍ）＝６
また、
（ｍ＞１） ならば、 ｍ≧２ より、
でなければならない。これを解いて、 Ｆ（ｍ）＝３
３≦６ なので、求める最小値は、 ３ である。
また、 Ｆ（ｍ）＝３ で、 ｍ≦－１、ｍ≧２ に注意して、 ｍ＝２
以上から、 ｘ＝２ のとき、 最小値 ３ をとる。 （終）
（コメント） 慣れてくると、だんだんはまっていきそうな解法ですね！
平成２１年８月９日付けで、Ｓ（Ｈ）さんより次の問題を頂いた。
（遊び心で追加してください．．．とのことなので追加しました・・・ ｆ(^^;) ）
平成２０年度の埼玉大学大学院理工学研究科数理電子情報専攻数学コース（博士前期
課程）の入試問題らしいです。
Ｒ2 で定義された関数 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝ ｘ2ｙ 、Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝ ｘ2＋ｙ4 を考える。
（１） Ｆｘ＝λＧｘ 、Ｆｙ＝λＧｙ 、Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝１ を満たす実数の組 （ ｘ ， ｙ ，λ ）
をすべて求めよ。
（２） 条件 Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝１ の下で，関数 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）の最大値と最小値を求めよ。
（１）の与え方が、Lagrangeの乗数なので、その解法に従って解いてね！ということなのだ
ろうが、（２）だけを考えれば、そんな仰々しく解かなくても、数学Ⅲの範囲で解決できそうな
．．．予感！
（１）については、指示通りに解くしかないですよね！
（解） 条件より、 ２ｘｙ＝λ・２ｘ なので、 ｘ＝０ または ｙ＝λ
また、 ｘ2＝λ・４ｙ3 、 ｘ2＋ｙ4＝１ が成り立つ。
ｘ＝０ のとき、 ｙ＝±１ で、 λ＝０
ｙ＝λ のとき、 １－λ4＝４λ4 より、 λ＝±１/
なので、 ｘ＝±２/
以上から、
（ ｘ ， ｙ ，λ ）＝（ ０ ， １ ，０ ）、（ ０ ， －１ ，０ ）、
（ ２/
， １/ ，１/ ）、（ ２/ ， －１/ ，－１/ ）、（ －２/
， １/ ，１/ ）、（ －２/ ， －１/ ，－１/ ）、の６組ある。 （終）
（２）については、次のように解く方が簡明だろう。
（解） ｘ2＋ｙ4＝１ より、 ｘ2＝１－ｙ4≧０ なので、 －１≦ｙ≦１
このとき、 ｚ＝ｘ2ｙ＝ｙ－ｙ5 （－１≦ｙ≦１） の最大・最小を求めればよい。
ｚ’＝１－５ｙ4＝０ とおくと、 ｙ＝±１/
ｚ”＝－２０ｙ3 より、
ｙ＝１/
のとき、 ｚ”＜０ より、 ｚ は極大 このとき、 ｘ＝±２/ｙ＝－１/
のとき、 ｚ”＞０ より、 ｚ は極小 このとき、 ｘ＝±２/となる。グラフを描けば、下図のようになる。
グラフからも明らかなように、
（ ｘ ， ｙ ）＝（ ２/
， １/ ）、（ －２/ ， １/ ） のとき、最大で、最大値は、 ４/（５
） である。（ ｘ ， ｙ ）＝（ ２/
， －１/ ）、（ －２/ ， －１/ ） のとき、最小で、最小値は、 －４/（５
） である。（コメント） Lagrange の乗数を用いる場合は、ｙ の符号から最大・最小を判断するのかな？
（追記） 令和６年９月６日付け
大学入試では、最大値と最小値を求める問題は頻出であろう。
次が東北大学 理系（１９８０）で出題された。
問題２ －４≦ｘ≦１ の範囲で、関数 Ｆ（ｘ）＝∫ｘｘ+1 ｜（ｔ＋１）（ｔ＋２）｜ｄｔ の最大値と最
小値を求めよ。
（解） ｘ≦－３ のとき、
Ｆ（ｘ）＝∫ｘｘ+1 （ｔ＋１）（ｔ＋２）ｄｔ＝∫ｘｘ+1 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ
＝［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］ｘｘ+1＝｛（ｘ＋２）3－（ｘ＋１）3｝/３＋｛（ｘ＋２）2－（ｘ＋１）2｝/２
このとき、Ｆ’（ｘ）＝（ｘ＋２）2－（ｘ＋１）2＋（ｘ＋２）－（ｘ＋１）＝２（ｘ＋２）＜０
－３≦ｘ≦－２ のとき、
Ｆ（ｘ）＝∫ｘ-2 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ－∫-2ｘ+1 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ
＝［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］ｘ-2－［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］-2ｘ+1
＝１/３－｛｛（ｘ＋２）3＋（ｘ＋１）3｝/３＋｛（ｘ＋２）2＋（ｘ＋１）2｝/２｝
このとき、Ｆ’（ｘ）＝－２（ｘ＋２）2≦０ で、 Ｆ’（ｘ）＝０ より、 ｘ＝－２
－２≦ｘ≦－１ のとき、
Ｆ（ｘ）＝－∫ｘ-1 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ＋∫-1ｘ+1 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ
＝－［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］ｘ-1＋［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］-1ｘ+1
＝｛（ｘ＋２）3＋（ｘ＋１）3｝/３＋｛（ｘ＋２）2＋（ｘ＋１）2｝/２
このとき、Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋２）2≧０ で、 Ｆ’（ｘ）＝０ より、 ｘ＝－２
ｘ≧－１ のとき、
Ｆ（ｘ）＝∫ｘｘ+1 ｛（ｔ＋１）2＋（ｔ＋１）｝ｄｔ＝［（ｔ＋１）3/３＋（ｔ＋１）2/２］ｘｘ+1
＝｛（ｘ＋２）3－（ｘ＋１）3｝/３＋｛（ｘ＋２）2－（ｘ＋１）2｝/２
このとき、Ｆ’（ｘ）＝（ｘ＋２）2－（ｘ＋１）2＋（ｘ＋２）－（ｘ＋１）＝２（ｘ＋２）＞０
以上から、ｘ＝－２ のとき、Ｆ（ｘ）は極小かつ最小で、最小値は、
Ｆ（－２）＝－１/３＋１/２＝１/６
ここで、Ｆ（－４）＝（－８＋２７）/３＋（４－９）/２＝２３/６
Ｆ（１）＝（２７－８）/３＋（９－４）/２＝５３/６
なので、ｘ＝１ のとき、Ｆ（ｘ）は最大で、最大値は、 ５３/６ （終）
DD++ さんからのコメントです。（令和６年９月８日付け）
|t＋1||t＋2| は連続関数なので、微分積分学の基本定理が使えて、
F’(x)＝|x＋2||x＋3| - |x＋1||x＋2|
がいきなり得られ、F’(x)＝ 0 ならば x＝ -2 とすぐにわかりそうです。どうでしょう？
（コメント） DD++ さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、そうやってもよかったですね。
|t＋１||t＋２| の原始関数を Ｇ（ｔ）とおくと、 Ｇ’（ｔ）＝|t＋１||t＋２| である。
Ｆ（ｘ）＝∫ｘｘ+1 |t＋１||t＋２|ｄｔ＝［Ｇ（ｔ）］ｘｘ+1＝Ｇ（ｘ＋１）－Ｇ（ｘ） なので、
Ｆ’（ｘ）＝Ｇ’（ｘ＋１）－Ｇ’（ｘ）＝|ｘ＋２||ｘ＋３|－|ｘ＋１||ｘ＋２|＝|ｘ＋２|（|ｘ＋３|－|ｘ＋１|）
よって、 ｘ≦－３ のとき、 Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋２）≦０
－３≦ｘ≦－１ のとき、 Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋２）|ｘ＋２|
ｘ≧－１ のとき、 Ｆ’（ｘ）＝２（ｘ＋２）≧０
より、ｘ＝－２ のとき、Ｆ（ｘ）は極小かつ最小で、最小値は、１/６
また、ｘ＝１ のとき、Ｆ（ｘ）は最大で、最大値は、 ５３/６
（追記） 令和６年９月２５日付け
次の問題は、微分法ではちょっと荷が重いが、図形的に考えると比較的容易に解くことが
出来ることに驚かされる。
問題 実数 ｘ に対して、関数
の最小値を求めよ。（解）
と式変形する。このとき、Ｐ（ ｘ ，０）、Ａ（－２，１）、Ｂ（２，－２）とおくと、 Ｆ（ｘ）＝ＡＰ＋ＢＰ と表される。
よって、Ｆ（ｘ）が最小となるのは、３点Ａ、Ｐ、Ｂが一直線上にあるときである。
直線ＡＢの方程式は、ｙ＝－（３/４）ｘ－１/２ で、ｙ＝０ とおくと、ｘ＝－２/３ から、
Ｐ（－２/３，０） のとき、最小で、最小値は、５ である。 （終）
（追記） 令和６年９月２８日付け
次の東北大学 理系（１９８１）の問題は、入試の定番ともいえる問題である。
問題２ 平面上で不等式 ０≦ｙ≦２ｘ≦６ および －ｘ2＋４ｘ－３≦ｙ≦２ を同時に満たす領
域をDとする。
（１） ａ は ０≦ａ≦２ の範囲の定数とする。このとき、不等式 ａ≦ｘ≦ａ＋１ を満たす領域とD
との共通部分の面積S(ａ)を求めよ。
（２） ａ が ０≦ａ≦２ の範囲を動くとき、S(ａ)の最大値および最小値を求めよ。
（解）（１） ０≦ａ≦１ のとき、
S(ａ)＝∫a1 ２ｘｄｘ＋∫1a+1 (２－（－ｘ2＋４ｘ－３））ｄｘ
＝∫a1 ２ｘｄｘ＋∫1a+1 (ｘ2－４ｘ＋５）ｄｘ＝（１/３）ａ3－２ａ2＋２ａ＋１
１≦ａ≦２ のとき、
S(ａ)＝∫aa+1 (２－（－ｘ2＋４ｘ－３））ｄｘ
＝∫aa+1 (ｘ2－４ｘ＋５）ｄｘ＝ａ2－３ａ＋１０/３
（２） ０≦ａ≦１ のとき、S’(ａ)＝ａ2－４ａ＋２＝０ から、 ａ＝２－
で極大かつ最大で最大値は、 （４
－１）/３ａ＝０ のとき、 S(０)＝１ 、ａ＝１ のとき、 S(１)＝４/３
１≦ａ≦２ のとき、S(ａ)＝ａ2－３ａ＋１０/３＝（ａ－３/２）2＋１３/１２≧１３/１２＞１
以上から、S(ａ)は、ａ＝２－
のとき最大で最大値 （４－１）/３ａ＝０ のとき最小で、最小値 １ である。 （終）
（追記） 令和６年１０月４日付け
次の東北大学 文系（１９８１）の問題も、入試の定番といえる問題である。
問題 区間 ０≦ｘ≦１ において、関数 Ｆ（ｘ）＝－ｘ3＋３ａｘ （ａ は定数） の最大値と最小
値を求めよ。
（解） Ｆ’（ｘ）＝－３ｘ2＋３ａ＝－３（ｘ2－ａ）
ａ≦０ のとき、Ｆ’（ｘ）≦０ から、Ｆ（ｘ）は単調に減少する。
よって、ｘ＝０ のとき、最大で、最大値 ０ 、ｘ＝１ のとき、最小で、最小値 ３ａ－１
０＜ａ＜１ のとき、ｘ＝√ａ のとき、極大かつ最大で、最大値 ２ａ√ａ
このとき、Ｆ（０）＝０ 、Ｆ（１）＝３ａ－１ から、
０＜ａ≦１/３ のとき、 最小値 ３ａ－１ （ｘ＝１）
ａ＝１/３ のとき、 最小値 ０ （ｘ＝０、１）
１/３＜ａ＜１ のとき、 最小値 ０ （ｘ＝０）
ａ≧１ のとき、区間 ０≦ｘ≦１ において、Ｆ’（ｘ）≧０ から、Ｆ（ｘ）は単調に増加する。
よって、ｘ＝０ のとき最小で、最小値 ０ 、ｘ＝１ のとき最大で、最大値 ３ａ－１ （終）
（追記） 令和６年１１月１９日付け
次の東北大学 理系（１９８６）の問題は、速度が絡む問題である。
問題２ 数直線上の２つの動点Ｐ、Ｑは時刻０のとき原点にあり、時刻 ｔ こおける、それぞ
れの速度 ｕ(ｔ)、ｖ（ｔ） は、ｕ(ｔ)＝４ｔ2－６ａｔ－ａ2、ｖ(ｔ)＝ｔ2＋６ａｔ－１０ａ2 である。ただし、
ａ は実数とする。
（１） 時刻 ｔ における２点Ｐ、Ｑの間の距離 Ｆ(ｔ) を求めよ。
（２） ０≦ｔ≦３ における Ｆ(ｔ) の最大値と、そのときの ｔ の値を求めよ。
（３） （２）で求めた最大値を最も小さくする ａ の値を求めよ。
（解）（１） Ｐ（（４/３）ｔ3－３ａｔ2－ａ2ｔ）、Ｑ（（１/３）ｔ3＋３ａｔ2－１０ａ2ｔ） より、
Ｆ(ｔ) ＝｜ｔ3－６ａｔ2＋９ａ2ｔ｜＝｜ｔ｜（ｔ－３ａ）2
（２） （１）より、
（終）