最大と最小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　平成２０年１１月５日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、Ｓ（Ｈ）さんが、次のような
最大最小の問題を提案された。

　　ｘ²＋ｙ²＝１　がなりたつとき、（ｘ＋ｙ）⁴＋（ｘ−ｙ）²　の最大値と最小値を求めよ。

　Ｓ（Ｈ）さんからの情報によれば、判別式を用いたり、その他に媒介変数を用いたりなどし
て、少なくとも７通りの解法が存在するという。

　Ｓ（Ｈ）さんは、瞬時に５個の解法を思いつかれたという。私も、この問題の別解がどれほ
どあるのか、どのような別解が可能なのか大いに興味があったので、このページにそれら
の別解をまとめたいと思う。

別解その１　・・・　一番最初に思いついた解法

　ｘ＝ｃｏｓθ、ｙ＝ｓｉｎθ　とおくと、

　与式＝（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）⁴＋（ｃｏｓθ−ｓｉｎθ）²

　　　　＝（１＋ｓｉｎ２θ）²＋１−ｓｉｎ２θ

　　　　＝（ｓｉｎ２θ）²＋ｓｉｎ２θ＋２

　　　　＝（ｓｉｎ２θ＋１/２）²＋７/４

　　−１≦ｓｉｎ２θ≦１　より、　最大値は　４、　最小値は　７/４

別解その２　・・・　ちょっと強引とも思える解法（解法の指針は別解その１とほとんど同じ）

　与式＝ｘ⁴＋４ｘ³ｙ＋６ｘ²ｙ²＋４ｘｙ³＋ｙ⁴＋ｘ²−２ｘｙ＋ｙ²

　　　　＝（１−ｙ²）²＋４ｘｙ（１−ｙ²）＋６（１−ｙ²）ｙ²＋４ｘｙ³＋ｙ⁴＋１−ｙ²−２ｘｙ＋ｙ²

　　　　＝−４ｙ⁴＋４ｙ²＋２ｘｙ＋２

　　　　＝４ｙ²（１−ｙ²）＋２ｘｙ＋２

　　　　＝（２ｘｙ）²＋２ｘｙ＋２

　　　　＝（２ｘｙ＋１/２）²＋＋７/４

　　ここで、相加平均と相乗平均の関係より、　ｘ²＋ｙ²≧２｜ｘｙ｜　で、　ｘ²＋ｙ²＝１　より、

　　　　１≧２｜ｘｙ｜　すなわち、　−１≦２ｘｙ≦１

　　このとき、　最大値は　４、　最小値は　７/４

　　（補足）　上記の計算では、与式を単純に展開したが、次のように計算してもよい。

　　　　　　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　（ｘ＋ｙ）²−２ｘｙ＝１　なので、　（ｘ＋ｙ）²＝２ｘｙ＋１

　　　　よって、　与式＝（２ｘｙ＋１）²＋ｘ²−２ｘｙ＋ｙ²

　　　　　　　　　　　 　＝（２ｘｙ＋１）²−２ｘｙ＋１

　　　　　　　　　　　 　＝（２ｘｙ）²＋２ｘｙ＋２

　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　　　　　　以下、上記と同様である。

（コメント）　息子にこの問題を考えてもらったら、別解その２の補足の方で解いていました
　　　　　　ね！こちらの方が解き方として自然なのでしょうか？その１で解いた私って、も
　　　　　　しかして変わり者かな？

別解その３　・・・　受験テクニックを意識した解法

　ｘ＋ｙ＝ａ　、ｘｙ＝ｂ　とおくと、ｘ、ｙ は２次方程式　ｔ²−ａｔ＋ｂ＝０　の２つの実数解なので、

　判別式を Ｄ とおくと、　Ｄ＝ａ²−４ｂ≧０　が成り立つ。

　このとき、　ｘ²＋ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²−２ｘｙ＝ａ²−２ｂ＝１　なので、上式に代入して、

　　　ａ²−２（ａ²−１）≧０　すなわち、　０≦ａ²≦２　となる。

よって、　与式＝ａ⁴＋ｘ²＋ｙ²−２ｘｙ

　　　　　　　 　＝ａ⁴−２ｂ＋１

　　　　　　　 　＝ａ⁴−（ａ²−１）＋１

　　　　　　　 　＝ａ⁴−ａ²＋２

　　　　　　　 　＝（ａ²−１/２）²＋７/４

　　このとき、　最大値は　４、　最小値は　７/４

別解その４　・・・　ちょっと媒介変数に凝った解法

　ｘ＋ｙ＝２ｍ　、ｘ−ｙ＝２ｎ　とおくと、　ｘ＝ｍ＋ｎ　、　ｙ＝ｍ−ｎ

このとき、　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　（ｍ＋ｎ）²＋（ｍ−ｎ）²＝１　なので、　ｍ²＋ｎ²＝１/２

　ｎ²＝１/２−ｍ²≧０　なので、　０≦ｍ²≦１/２

よって、　与式＝１６ｍ⁴＋４ｎ²

　　　　　　　 　＝１６ｍ⁴＋４（１/２−ｍ²）

　　　　　　　 　＝１６ｍ⁴−４ｍ²＋２

　　　　　　　 　＝１６（ｍ²−１/８）²＋７/４

　　このとき、　最大値は　４、　最小値は　７/４

別解その５　・・・　別解その４の解法を別な視点で試みた解法

　ｘ＋ｙ＝２ｍ　、ｘ−ｙ＝２ｎ　とおくと、　ｘ＝ｍ＋ｎ　、　ｙ＝ｍ−ｎ

このとき、　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　（ｍ＋ｎ）²＋（ｍ−ｎ）²＝１　なので、　ｍ²＋ｎ²＝１/２

　ｎ²＝１/２−ｍ²≧０　なので、　０≦ｍ²≦１/２　となる。

ここで、　与式＝１６ｍ⁴＋４ｎ²　であるので、　ｍ²＝Ｘ　、ｎ²＝Ｙ　とおくと、問題は、

　　Ｘ＋Ｙ＝１/２　（０≦Ｘ≦１/２）　のとき、　１６Ｘ²＋４Ｙ　の最大値、最小値を問う

ものに翻訳される。

　１６Ｘ²＋４Ｙ＝ｋ　とおき、　Ｙ＝１/２−Ｘ　を代入して整理すると、

　　　　１６Ｘ²−４Ｘ＋２−ｋ＝０

という２次方程式が得られる。この２次方程式が、０≦Ｘ≦１/２　の範囲において、少なくと

も一つ解があるように、定数 ｋ の値の範囲を定めればよい。

　まず、２次関数　Ｆ（Ｘ）＝１６Ｘ²−４Ｘ＋２−ｋ　において、

　判別式 Ｄ/４＝４−１６（２−ｋ）＝１６ｋ−２８≧０　より、　ｋ≧７/４

　また、軸の式は、　Ｘ＝１/８　で、　０≦Ｘ≦１/２　の範囲内にある。

　Ｆ（１/２）＝４−２＋２−ｋ＝４−ｋ≧０　より、　ｋ≦４

　以上から、　７/４≦ｋ≦４　となるので、　最大値は　４、　最小値は　７/４

別解その６　・・・　Ｌａｇｒａｎｇｅ の未定乗数法を利用する解法

　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝ｘ²＋ｙ²−１＝０　のとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ＋ｙ）⁴＋（ｘ−ｙ）²　の極値を求め

ることを考える。　Ｌａｇｒａｎｇｅ の乗数を λ とすると、連立方程式

　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝０　、Ｆ_ｘ（ ｘ ， ｙ ）＋λＧ_ｘ（ ｘ ， ｙ ）＝０　、Ｆ_ｙ（ ｘ ， ｙ ）＋λＧ_ｙ（ ｘ ， ｙ ）＝０

の解 （ ｘ ， ｙ ）が、極値を与える候補となる。

　実際に、　４（ｘ＋ｙ）³＋２（ｘ−ｙ）＋２λｘ＝０　、　４（ｘ＋ｙ）³−２（ｘ−ｙ）＋２λｙ＝０

から辺々引くと、　４（ｘ−ｙ）＋２λ（ｘ−ｙ）＝０　より、　２（ｘ−ｙ）（λ＋２）＝０　となる。

　ｘ−ｙ＝０　とすると、　ｘ＝ｙ＝１/　である。

　このとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ＋ｙ）⁴　の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極大で、

極大値　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝４　となる。

　λ＝−２　とすると、　４（ｘ＋ｙ）³＋２（ｘ−ｙ）−４ｘ＝０　すなわち、

　　　４（ｘ＋ｙ）³−２（ｘ＋ｙ）＝０　から、　２（ｘ＋ｙ）（２（ｘ＋ｙ）²−１）＝０

　　　よって、　ｘ＋ｙ＝０　、１/　、−１/　となる。

　ｘ＋ｙ＝０　のとき、　ｘ＝１/　、ｙ＝１/　（複号同順）

　このとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（ｘ−ｙ）²　の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極大で、

極大値　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝２　となる。

　ｘ＋ｙ＝１/　のとき、

　　　　　ｘ²＋ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²−２ｘｙ＝１/２−２ｘｙ＝１　より、　ｘｙ＝−１/４

　　このとき、　ｘ　、ｙ は、２次方程式　ｔ²（１/）ｔ−１/４＝０　の２つの解なので、

　ｘ＝（＋）/４　、ｙ＝（−）/４

　　　　　または、　ｘ＝（−）/４　、ｙ＝（＋）/４　（複号同順）

　このとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝１/４＋（ｘ−ｙ）²　の形から、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）は極小で、

極小値　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝１/４＋３/２＝７/４　となる。

　以上から、最大値は　４、最小値は　７/４

別解その７　・・・　グラフ描画による解法（コンピュータ利用）

　　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　（ｘ＋ｙ）²−２ｘｙ＝１　なので、　（ｘ＋ｙ）²＝２ｘｙ＋１

　よって、　与式＝（２ｘｙ＋１）²＋ｘ²−２ｘｙ＋ｙ²

　　　　　　　　　　＝（２ｘｙ＋１）²−２ｘｙ＋１

　　　　　　　　　　＝４ｘ²ｙ²＋２ｘｙ＋２

　そこで、　　　（青太線）

　　　　　　　　　（赤太線）

のグラフを、グラフ描画ソフトを用いて描くと、下図のようになる。

　

　　上図から、　最大値は　４、　最小値は　７/４

（コメント）　このグラフから、別解その６の怪しかった部分が補完されますね！

（追記）　平成２１年４月７日付け

　平野次郎　著　「解法の発見」　（学生社）　という書籍を何とはなしに読んでいたら、最
大・最小について、新しい視座（少なくとも私にとって．．．！）と思われる記述に遭遇した。

　変数 ｘ の範囲（定義域）が、命題 Ｄ（ｘ） により規定されているとき、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ）

の最小値 Ｍ を求めるには、命題 Ｄ（ｘ） が真となるある値 ｘ＝ｍ に対して、常に、

　　　　　条件命題　Ｄ（ｘ）　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）≧０

が成り立つときの Ｍ＝Ｆ（ｍ） の値を定めればよい。

　全く同様に、最大値についても、次のように捉えることが出来る。

　変数 ｘ の範囲（定義域）が、命題 Ｄ（ｘ） により規定されているとき、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ）

の最大値 Ｎ を求めるには、命題 Ｄ（ｘ） が真となるある値 ｘ＝ｎ に対して、常に、

　　　　　条件命題　Ｄ（ｘ）　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｎ）≧０

が成り立つときの Ｎ＝Ｆ（ｎ） の値を定めればよい。

　これらは、最大値と最小値の定義そのものと言っても過言ではなく、無理なく了解される
ことと思う。このような視点に立つと、定義域が複雑な場合にも対応できそうな．．．予感！

　いくつか具体例を通して、上記の考え方を会得することにしよう。

例　ｘ ≧ １ のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−４ｘ＋３　の最小値を求めよ。

　教科書等のよく知られた解法では、次のようであった。

（解）　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−４ｘ＋３＝（ｘ−２）²−１　で、軸の式 ｘ＝２ ≧１　から、ｘ＝２ で最小で、

　　　最小値は、−１　　（終）

　この問題を新しい視座で捉えると次のようになるであろう。

（解）　命題　ｘ ≧ １　が真となるある値 ｘ＝ｍ　を考えるので、ｍ≧１　としてよい。

　　　このとき、条件命題　ｘ ≧ １　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）≧０　が成り立つように、ｍ の値を定

　　めればよい。そこで、Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）　とおくと、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０　は、ｘ＝ｍ

　　を解にもつ。すなわち、　ｘ²−４ｘ＋３−Ｆ（ｍ）＝０　から、判別式をＤとすると、

　　　　　　Ｄ/４＝４−（３−Ｆ（ｍ））＝Ｆ（ｍ）＋１≧０　より、　Ｆ（ｍ）≧−１

　　実際に、２次不等式　ｘ²−４ｘ＋３−Ｆ（ｍ）≧０　を解いて、

　　　　　

　　よって、条件命題　ｘ ≧ １　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）≧０　が常に成り立つためには

　　　　　　　　　

　でなければならない。（←　ここの部分の計算で、領域の考えが用いられる！）

　　ところで、　ｘ＝ｍ　は、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０　の解なので、

　　　　　

　ｍ≧１　より、　

　したがって、　　が成り立つ。

　これを解いて、　Ｆ（ｍ）＝−１　である。これが求める最小値である。

　　また、　Ｆ（ｍ）＝−１　より、　ｍ＝２

　以上から、　ｘ＝２　のとき、　最小値　−１　をとる。　（終）

（コメント）　いつもの解答に比べ、大変だったかな？　この視座が活躍するときもあることを
　　　　　　信じることにしよう．．．。

例　ｘ²−ｘ−２ ≧ ０　のとき、　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋３　の最小値を求めよ。

　教科書等のよく知られた解法では、次のようであった。

（解）　ｘ²−ｘ−２ ≧ ０　すなわち、　（ｘ−２）（ｘ＋１）≧０　より、　ｘ≦−１、ｘ≧２

　　Ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ｘ＋３＝（ｘ−１）²＋２　より、ｘ＝２ で最小で、最小値は、３　　（終）

　この問題を新しい視座で捉えると次のようになるであろう。

（解）　命題　ｘ²−ｘ−２ ≧ ０　すなわち、　ｘ≦−１、ｘ≧２　が真となるある値 ｘ＝ｍ　を考

　　えるので、　ｍ≦−１、ｍ≧２　としてよい。

　　　このとき、条件命題　ｘ≦−１、ｘ≧２　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）≧０　が成り立つように、ｍ の

　　値を定めればよい。

　　　そこで、Ｇ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）　とおくと、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０　は、ｘ＝ｍ

　　を解にもつ。すなわち、　ｘ²−２ｘ＋３−Ｆ（ｍ）＝０　から、判別式をＤとすると、

　　　　　　Ｄ/４＝１−（３−Ｆ（ｍ））＝Ｆ（ｍ）−２≧０　より、　Ｆ（ｍ）≧２

　　実際に、２次不等式　ｘ²−２ｘ＋３−Ｆ（ｍ）≧０　を解いて、

　　　　　

　　よって、条件命題　ｘ≦−１、ｘ≧２　→　Ｆ（ｘ）−Ｆ（ｍ）≧０　が常に成り立つためには

　　　　　　　　　

　でなければならない。

　　ところで、　ｘ＝ｍ　は、２次方程式 Ｇ（ｘ）＝０　の解なので、

　　　　　

　である。

　　ここで、　　（ｍ＜１）　ならば、　ｍ≦−１　より、　

　　　　　　　　　　

　でなければならない。これを解いて、 Ｆ（ｍ）＝６

　　また、　　（ｍ＞１）　ならば、　ｍ≧２　より、

　　　　　　　　　　

　でなければならない。これを解いて、 Ｆ（ｍ）＝３

　　３≦６　なので、求める最小値は、　３　である。

　　また、　Ｆ（ｍ）＝３　で、 ｍ≦−１、ｍ≧２　に注意して、　ｍ＝２

　以上から、　ｘ＝２　のとき、　最小値　３　をとる。　（終）

（コメント）　慣れてくると、だんだんはまっていきそうな解法ですね！


　平成２１年８月９日付けで、Ｓ（Ｈ）さんより次の問題を頂いた。
（遊び心で追加してください．．．とのことなので追加しました・・・　ｆ(^^;)　）

　平成２０年度の埼玉大学大学院理工学研究科数理電子情報専攻数学コース（博士前期
課程）の入試問題らしいです。


Ｒ² で定義された関数 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝ ｘ²ｙ　、Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝ ｘ²＋ｙ⁴ を考える。

（１） Ｆ_ｘ＝λＧ_ｘ　、Ｆ_ｙ＝λＧ_ｙ　、Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝１　を満たす実数の組 （ ｘ ， ｙ ，λ ）
　　をすべて求めよ。

（２） 条件 Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝１ の下で，関数 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）の最大値と最小値を求めよ。

　（１）の与え方が、Lagrangeの乗数なので、その解法に従って解いてね！ということなのだ
ろうが、（２）だけを考えれば、そんな仰々しく解かなくても、数学�Vの範囲で解決できそうな
．．．予感！

　（１）については、指示通りに解くしかないですよね！

（解）　条件より、　２ｘｙ＝λ・２ｘ　なので、　ｘ＝０　または　ｙ＝λ

　　　また、　ｘ²＝λ・４ｙ³　、　ｘ²＋ｙ⁴＝１　が成り立つ。

　　　ｘ＝０　のとき、　ｙ＝±１　で、　λ＝０

　　　ｙ＝λ　のとき、　１−λ⁴＝４λ⁴　より、　λ＝±１/　なので、　ｘ＝±２/

　　　　以上から、

　　（ ｘ ， ｙ ，λ ）＝（ ０ ， １ ，０ ）、（ ０ ， −１ ，０ ）、

　　　　　　　　　　　　（ ２/ ， １/ ，１/ ）、（ ２/ ， −１/ ，−１/ ）、

　　　　　　　　　　　　（ −２/ ， １/ ，１/ ）、（ −２/ ， −１/ ，−１/ ）、

　　の６組ある。　（終）

　（２）については、次のように解く方が簡明だろう。

（解）　ｘ²＋ｙ⁴＝１　より、　ｘ²＝１−ｙ⁴≧０　なので、　−１≦ｙ≦１

　　　このとき、　ｚ＝ｘ²ｙ＝ｙ−ｙ⁵　（−１≦ｙ≦１）　の最大・最小を求めればよい。

　　　　ｚ’＝１−５ｙ⁴＝０　とおくと、　ｙ＝±１/

　　　　ｚ”＝−２０ｙ³　より、

　　　　　　　ｙ＝１/　のとき、　ｚ”＜０　より、　ｚ は極大　　このとき、　ｘ＝±２/

　　　　　　　ｙ＝−１/　のとき、　ｚ”＞０　より、　ｚ は極小　　このとき、　ｘ＝±２/

となる。グラフを描けば、下図のようになる。

　　　　　　　　

　グラフからも明らかなように、

　　　（ ｘ ， ｙ ）＝（ ２/ ， １/ ）、（ −２/ ， １/ ）　のとき、最大で、

　　最大値は、　４/（５）　である。

　　　（ ｘ ， ｙ ）＝（ ２/ ， −１/ ）、（ −２/ ， −１/ ）　のとき、最小で、

　　最小値は、　−４/（５）　である。

（コメント）　Lagrange の乗数を用いる場合は、ｙ の符号から最大・最小を判断するのかな？




　　以下、工事中