左図のように、半径１の円柱と平面が交わっています。平面と円柱の底面とのなす角は、４５度とします。
このとき、その切り口は、どんな曲線になるでしょうか？
まずは、アンケートにお答えください。
左右どちらが正解でしょうか、直感でお願いします。
多分、このホームページを訪問される方でしたら、「右が正解！」と答える人が多いことで
しょう。もちろん、それが正解です。このページでは、その理由を考えてみたいと思います。
最近の高等学校の学習指導要領では、空間図形の処理が大幅に削減されました。ここ
では、その削減されたテクニックを使いますので、ちょっと不慣れな方は、こちらで特訓して
下さい。
円柱の方程式は、Ｘ２＋Ｙ２＝１ で表されますが、これを、媒介変数表示をすると、
Ｘ＝ｃｏｓθ、Ｙ＝ｓｉｎθ （０≦θ≦２π） となります。
ここで、θ は左図のように、Ｘ軸の正の向きを始線として動径の表す角とします。角度の単位
はラジアンです。
このとき、上記の問題の解決の糸口は、
左図のように、
弧の長さは θ に等しい
という事実です。
即ち、上記の立体図形で、切り口を平面上に展開した場合、横軸がθ軸になります。
（円弧の長さを、 新たな物差しにするということです！）
ところで、平面の方程式は、Ｘ＋Ｚ＝１としてよいので、
Ｚ＝１−Ｘ＝１−ｃｏｓθ
となります。
従って、切り口を平面に展開したとき
の曲線の方程式は、
Ｚ＝１−ｃｏｓθ （０≦θ≦２π）
で、そのグラフは、左図のようになります。
（追記） ところで、上図の面積はいかほどになるでしょうか？この面積を求めるのに、微
分積分の道具を持ち出すまでもなく、実は暗算で求めらます。
左図のように等積変形すると、求める面積は、
底辺の長さ＝ π
高 さ ＝ ２
の長方形の面積となります。
よって、答は、２π です。
このような考え方をすると、この面
積の計算も十分中学生的と言えるの
ではないでしょうか？
