正射影・空間の必須手法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　目次に戻る

■　正射影について

　空間図形は実物そのものを紙面に描けないこともあって、一般的に理解しづらいことが多
い。そこで、正射影を考えることによって、空間図形を把握してみよう。正射影は概念として
は単純であるが、正射影固有の性質が面白い。

正射影の定義
　図形Ｆの任意の点をＰとする。点Ｐを通り、平面αに垂直な直線ｍを
引き、ｍとαとの交点をＱとする。点Ｐが図形Ｆ全体を動くときに点Ｑが
動いて出来る平面α上の図形をＦ’とする。

　　このとき、「図形Ｆを平面αに正射影した図形がＦ’である」という。

練習１（点の正射影）　点Ｐ（３，７，−１）の平面α：ｘ−２ｙ＋ｚ＝０ 上への正射影を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（５，３，１）

練習２（直線の正射影）　直線ｍ：ｘ＝ｙ−１＝２−２ｚ の平面α：ｘ−２ｙ＋ｚ＝０ 上への正射
　　　　影を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（ｘ−６）/５＝（ｙ−３）/２＝−ｚ

練習３（ベクトルの正射影）　ａのｂ上への正射影を求めよ。　　　（答）　（ａ・ｂ）ｂ/｜ｂ｜2

　練習３の応用として、次の問は即答できるだろう。

練習４　球面Ｓ：（ｘ−１）2＋ｙ2＋（ｚ＋１）2＝３６ の中心をＣとする。点ＡをＳ上の１点とする
　　　　とき、ＡにおけるＳの接平面上に任意の点Ｐをとる。このとき、内積ＣＰ・ＣＡを求め
　　　　よ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　３６

練習５　同一直線上にない３点Ａ、Ｂ、Ｃについて、直線ＡＣに関してベクトルＡＢと対称なベ
　　　　クトルを、ＡＢ、ＡＣを用いて表せ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　略

　正射影と面積

　面積Ｓの図形Ｆを含む平面をαとし、Ｆを平面βへ正射影した図形Ｆ’の面積をＳ’とすると、

　　　Ｓ’＝Ｓ・ｃｏｓθ　（ただし、θはαとβのなす角）

　ここでは、特別な場合について考えて納得してもらうことにしよう。

　左図において、長方形ＡＢＣＤの面積Ｓは、
Ｓ＝ＡＢ・ＣＤである。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのβ上への正
射影をＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとするとき、ＡＢは２平面α、
βの交わりと平行と仮定して、

　　ＰＱ＝ＡＢ　、　ＰＳ＝ＡＤ・cosθ

　よって、

　　Ｓ’＝ＰＱ・ＰＳ＝ＡＢ・ＡＤ・ｃｏｓθ＝Ｓ・ｃｏｓθ


（注意）　一般の平面図形Ｆでは、Ｆを交線にに平行な辺を持つ長方形に細分して上と同様
　　　　に考えれば、やはり上の公式は成り立つ。もう少し厳密な証明は読者に任せる。

　この公式に関連した問題は数多い。有名な問題をいくつか紹介しよう。

１．ＯＡ⊥ＯＢ、ＯＢ⊥ＯＣ、ＯＣ⊥ＯＡとなっている四面体ＯＡＢＣの４つの面△ＡＢＣ、△ＯＢＣ、
　△ＯＣＡ、△ＯＡＢの面積をそれぞれＳ、Ａ、Ｂ、Ｃとすると、Ｓ2＝Ａ2＋Ｂ2＋Ｃ2　が成り立つ
　ことを示せ。

２．球面Ｓ ： ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝１ と平面α ： ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ との交線をＣとする。Ｃの ｘｙ 平面へ
　の正射影をＦとするとき、Ｆの方程式、Ｆの囲む図形の面積をそれぞれ求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2−ｘ−ｙ＝０、ｚ＝０　　２π/（３）

３．空間内に面積１の正三角形ＡＢＣを考える。△ＡＢＣを ｘｙ 平面、ｙｚ 平面、ｚｘ 平面にそれ
　ぞれ正射影して出来る図形の面積をＵ、Ｖ、Ｗとする。空間内で△ＡＢＣを含む平面を動か
　すとき、Ｕ＋Ｖ＋Ｗの最大値を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　

４．空間に下図のような立方体ＡＢＣＤ-ＰＱＲＳとその対角線ＡＲに垂直な平面αがある。こ
　の立方体のαへの正射影は正六角形になる。この正六角形の面積を求めよ。（答）　９

　　　　　　　　　　

■　空間の必須手法について

　「空間はどうも苦手だ」、「空間の問題は図が描きにくいから嫌いだ」などという声をよく耳に
するが、「空間」とは我々が日常慣れ親しんでいるはずの”３次元の世界”に他ならないのだ
から”感覚がつかみにくい”ということはないはずなのである。

　以下では、空間特有の必須手法を整理し、演習していこう。

（１）　垂線の足を求めること（平面・直線）
（２）　点と平面（直線）の距離
（３）　平面（直線）に関する対称点
（４）　平面と平面、直線と直線、直線と平面のなす角
（５）　直線を含む平面、平面と平面の交線
（６）　球と直線、平面と直線、球と平面、直線と直線の共有点
（７）　円、球、接平面のベクトル方程式

練習１　　空間内に２直線がある。
　　　　ｍ ： ｘ−１＝（ｙ−４）/３＝（ｚ＋１）/２　、ｎ ： ｘ−ａ2＝（ｙ−２ａ）/２＝ｚ＋２　（ａは実数）
　　　　このとき、次の問いに答えよ。

（１）　ｍとｎは常に同一平面上にないことを示せ。
（２）　ｎを含み、ｍと平行な平面πの方程式を求めよ。　（答）　ｘ−ｙ＋ｚ−ａ2＋２ａ＋２＝０
（３）　原点と平面πの距離が１/となるようなａの値を求めよ。　（答）　１±、−１、３

練習２　　空間において、４点Ｏ（０，０，０）、Ａ（１，２，３）、Ｂ（−２，−１，３）、Ｃ（−３，１，−２）
　　　　がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　△ＡＢＣの面積を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　３√59/２
（２）　四面体ＯＡＢＣの体積を求めよ。

練習３　　空間内に点Ａ（３，−４，２）を中心とする半径４の球面ＳとＳ上の点Ｐ（１，−２，０）
　　　　がある。ＰにおけるＳの接平面をαとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　αの方程式を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　ｘ−ｙ＋ｚ＝３
（２）　原点ＯとＡはαに関して同じ側にあるか、反対側にあるか。　　　　　　　（答）　反対側

練習４　　空間の２点Ａ（１，２，３）、Ｂ（５，６，７）を直径とする球をＳとする。点Ｑ（−７，２，３）
　　　　からＳへの最短距離ｄとそれを与えるＳ上の点の座標を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　４　　（−１/３，１０/３，１３/３）

練習５　　空間に４点Ａ（１，０，０）、Ｂ（０，２，０）、Ｃ（０，０，２）、Ｄ（２，３，４）がある。次の問
　　　　いに答えよ。

（１）　Ｄから３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面へ下した垂線の足をＨとするとき、Ｈの座標を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（−１，３/２，５/２）
（２）　Ｈから２点Ｂ、Ｃを通る直線に下した垂線の足をＫとするとき、Ｋの座標を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（０，１/２，３/２）
（３）　点Ｐが△ＡＢＣの内部及び辺上を動くときのＰとＤの距離の最小値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　√66/２

練習６　　直線 ｍ ： １−ｘ＝ｙ＋１＝（ｚ−１）/４ を含み、平面α ： ４ｘ−ｙ−ｚ＝６ とのなす角
　　　　が４５°となる平面の方程式を求めよ。　　　（答）　８ｘ＋４ｙ＋ｚ＝６、２ｘ−２ｙ＋ｚ＝６

練習７　次の問いに答えよ。

（１）　平面上の長さ ｒ の２つのベクトルＯＡ、ＯＢは直交しているとする。このとき、
　　ＯＰ＝ＯＡｃｏｓθ＋ＯＢｓｉｎθ　（０≦θ≦２π）　の点Ｐは、どんな図形を描くか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　平面ＯＡＢ上でＯを中心とする半径 ｒ の円
（２）　空間のベクトルＯＭ＝（，，０）、ＯＮ＝（１，−１，２）に対して、
　　ＯＰ＝ＯＭｃｏｓθ＋ＯＮｓｉｎθ　（０≦θ≦２π）　の点Ｐは、どんな図形を描くか。また、
　　ＯＱ＝（２，１，１）の点Ｑはこの図形上の点であることを示し、そのときのθの値を求め
　　よ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　前半は略　θ＝π/６
（３）　上で求めた図形をｘｙ平面へ正射影してできる図形の方程式を求め、そのグラフを描
　　け。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　ｘ2−ｘｙ＋ｙ2＝３