円弧の長さ

円弧の長さ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　一つの円が与えられて、その周上の２点Ａ、Ｂを結ぶと弦ができる。ここでは、その弦に
対する弧の長さについて知られていることをまとめることにしよう。

　左図のように、円の半径ｒと中心角 θ が与えられていれば、

　　　　弦の長さａは、　２ｒ・ｓｉｎ（θ/２）

　　　　弧の長さＬは、　ｒθ

　である。（ただし、θは弧度法で測った角とする。）

　ところで、円の半径や中心角が不明な場合に、円弧の長さを近似的に求める方法がある
ことを最近知ることができた。（参考文献：入江盛一　著　　微分学　（培風館））

　ホイヘンス（Huygens）の近似値

　　　左図のように、一つの弧に対する弦の長さをａとし、その

　　半分の弧に対する弦の長さをｂとすると、

　　　　初めの弧の長さＬは、　ほぼ、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　に等しい。

　　さらに、初めの弧の中心角が、π/２より小さいとき、この近似値の相対誤差は、１０^-3
より小さい。

例　θ＝π/３、ｒ＝１　のとき、　ａ＝１　で、　ｂ²＝１＋１－２・ｃｏｓ（π/６）＝２－

　　このとき、　ｂ＝（－）/２　であるので、

＝（４

－４

－１）/３＝１．０４７０３４９０７２１３４４・・・

　　また、　Ｌ＝２π/６＝π/３＝１．０４７１９７５５１１９６６・・・　であるので、確かに両者は

ほぼ等しいことが分かり、しかも、小数点以下第３位までは一致していることが分かる。

　上記の計算からも察せられるように、このホイヘンスの近似値は、円周率の近似値計算
と密接に関係しているようだ。

　数学Ⅲの時間に、
　　　　　　　　　　　　　

という極限値を学ぶが、その説明で不等式　ｓｉｎθ＜θ＜ｔａｎθ　がよく用いられる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→参考：「円の面積」）

　そこで、　ｒ・ｓｉｎ（θ/２）＜ｒ・（θ/２）　と考えれば、上図において、　ａ/２＜ｂ＜Ｌ/２

すなわち、ａ＜２ｂ＜Ｌ　であるが、ホイヘンスは、このａ、ｂの値を用いて、弧の長さＬを

評価している点が素晴らしい。

　不等式　ｓｉｎθ＜θ＜ｔａｎθ　を改良し、１６２１年オランダのスネルは、円周の長さの評

価式として、次の不等式を発見した。

　　０＜θ＜π/２　のとき、

　　　　　

この不等式は、ホイヘンス（1629～1695）により証明されたが、さらに改良され、正６角形を

用いて、３．１４１５９２６５３３＜π＜３．１４１５９２６５３８　と評価できるまでになったという。

　上記の不等式の証明は、微分法を用いれば容易だろう。

　実際に、　Ｆ（θ）＝２ｓｉｎθ＋ｔａｎθ－３θ　とおくと、

　　　　　Ｆ’（θ）＝２ｃｏｓθ＋１/ｃｏｓ²θ－３＝（２ｃｏｓ³θ－３ｃｏｓ²θ＋１）/ｃｏｓ²θ

　　すなわち、　Ｆ’（θ）＝（ｃｏｓθ－１）²（２ｃｏｓθ＋１）/ｃｏｓ²θ＞０　より、

　　　０＜θ＜π/２　において、　Ｆ（θ）は単調に増加し、　Ｆ（０）＝０

　　よって、　０＜θ＜π/２　において、　Ｆ（θ）＞０

　　　　すなわち、不等式の右側が成り立つ。

　　同様にして、　Ｇ（θ）＝２θ＋θｃｏｓθ－３ｓｉｎθ　とおくと、

　　　　　　　Ｇ’（θ）＝２－２ｃｏｓθ－θｓｉｎθ

　　　　　　　Ｇ”（θ）＝ｓｉｎθ－θｃｏｓθ

　　　　　　　Ｇ”’（θ）＝θｓｉｎθ＞０　より、

　　　０＜θ＜π/２　において、　Ｇ”（θ）は単調に増加し、　Ｇ”（０）＝０

　　よって、　０＜θ＜π/２　において、　Ｇ”（θ）＞０

　　このとき、　Ｇ’（θ）は単調に増加し、　Ｇ’（０）＝０　より、　Ｇ’（θ）＞０

　　したがって、　Ｇ（θ）は単調に増加し、　Ｇ（０）＝０　より、　Ｇ（θ）＞０

　　　　すなわち、不等式の左側が成り立つ。

　上記の通り、証明は容易であったが、ここでは不等式がどのようにして導かれたのかの
方に、大いに興味がある。

　中心がＯで直径がＡＢの半径１の半円を考え、∠ＡＯＱ＝θとなる点Ｑを円周上にとる。

　　　左図のように、直線ＡＢの延長上にＳをとり、

　　ＳＢ＝１とする。直線ＳＱが円と交わる点をＲと

　　し、点Ａにおける円の接線との交点をＰとする。

　　△ＯＱＳにおいて、正弦定理より、　　ＳＱ/ｓｉｎ（π－θ）＝１/ｓｉｎα

　　　よって、　ＳＱ＝ｓｉｎθ/ｓｉｎα　より、　ｓｉｎα＝ｓｉｎθ/ＳＱ　が成り立つ。

　さらに、△ＯＱＳにおいて、余弦定理より、

　　　ＳＱ²＝４＋１－４ｃｏｓ（π－θ）＝５＋４ｃｏｓθ

　このとき、　ｃｏｓ²α＝１－ｓｉｎ²α＝１－ｓｉｎ²θ/ＳＱ²＝（２＋ｃｏｓθ）²/ＳＱ²

なので、　ｔａｎα＝ｓｉｎθ/（２＋ｃｏｓθ）　となる。

　したがって、　ＡＰ＝３ｔａｎα＝３ｓｉｎθ/（２＋ｃｏｓθ）

　この値が、θの下限となるらしい。θの上限は次のようにして求められるらしい。

　　　左図のように、直線ＡＢの延長上にＳ’と円周上

　　に点Ｒ’をとり、Ｓ’Ｒ’＝ＯＲ’＝１とする。

　　直線Ｓ’Ｒ’Ｑ’と点Ａにおける円の接線との交点を

　　Ｐ’とする。

　　上図において、　ＯＳ’＝２ｃｏｓ（θ/３）　なので、

　ＡＰ’＝（２ｃｏｓ（θ/３）＋１）ｔａｎ（θ/３）＝２ｓｉｎ（θ/３）＋ｔａｎ（θ/３）

　よって、　θ＜２ｓｉｎ（θ/３）＋ｔａｎ（θ/３）　において、θに３θを代入すると、

　　　　　　３θ＜２ｓｉｎθ＋ｔａｎθ　　すなわち、　　θ＜（２ｓｉｎθ＋ｔａｎθ）/３

（コメント）　ちょっと複雑な不等式ですが、上図を用いて上記のように考えると鮮やかに不等
　　　　　　式で用いられている式が出現して感動しました。このような不等式を思いついたス
　　　　　　ネルは偉大ですね！

　　　　　　　ただ、上図だけでは、その値がθの上限、下限と断定するには不確かである。
　　　　　　不等式そのものは、上記の微分法の証明で確認されたが、スネルは図形的にど
　　　　　　のような根拠をもとに上限、下限としたのだろうか？大いに疑問が残る。

（追記）　令和３年９月５日付け

　冒頭の、円弧の長さの公式：弧の長さ Ｌ＝ｒθ　（ただし、ｒ：円の半径、θ：中心角）

において、θは弧度法で測った角であったが、θが度数法の場合は、換算公式

　　１°＝π/１８０°

により、　Ｌ＝ｒθ・（π/１８０°）　（ただし、θは度数法で測った角度とする）　となる。

　これでは美しくないな～と思っていたら、次のような公式が中学生向けの塾等で知られて
いるようだ。

　底面が半径ａの直円錐があり、その母線の長さｈで、側面を展開したときの扇形の中
心角をθとするとき、

　左図より、

　２πｒ＝ｈθ・（π/１８０°）

なので、

　ｒ/ｈ＝θ/３６０°

となる。

　この公式は、　半径/母線＝中心角/３６０°　と覚えるといいらしい。

　読者のために、練習問題を残しておこう。

問題　　母線の長さが８の直円錐があり、側面を展開したときの扇形の中心角が９０°で
　　　　あるという。次の問いに答えよ。

（１）　底面の円の半径ｒを求めよ。
（２）　この直円錐の展開図を縦の長さ８の長方形の中に収めたい。長方形の横の長さの最
　　　小値を求めよ。

（解）　（１）　ｒ/８＝９０°/３６０°より、　ｒ＝２

（２）　下図より、求める最小値は、１０である。

　　　　　（終）

　　　以下、工事中