デカルトの円定理 
３つの円が互いに外接し、さらに、第４の円がこれらの３つの円に外接する場合を考える。
上図のように、４つの円の半径をそれぞれ ａ、ｂ、ｃ、ｄ とすると、
（１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＋１/ｄ）2＝２（１/ａ2＋１/ｂ2＋１/ｃ2＋１/ｄ2）
という等式が成り立つ。ここで、１/（円の半径）は、その円の曲率と言われる。
Ａ＝１/ａ、Ｂ＝１/ｂ、Ｃ＝１/ｃ、Ｄ＝１/ｄ とおくと、各円の曲率Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄにより、上記の
等式は、
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）2＝２（Ａ2＋Ｂ2＋Ｃ2＋Ｄ2）
と書き表される。この等式は、デカルトの円定理と言われ、ルネ・デカルト（1596〜1656）が
１６４２年に発表したとされる。
この等式は、１９３６年にフレディック・ソディにより再発見され、４つの円はソディの円とも
言われる。
例 半径１の３つの円に外接する円の半径を求めよ。
実際に、３つの円の中心を結ぶ正三角形の１辺の長さは、２なので、高さは、
で、
円の中心は、高さを２：１に内分することから、求める円の半径は、 ×（２/３）−１
デカルトの円定理を用いると、次のように求められる。
（１＋１＋１＋Ｄ）2＝２（１＋１＋１＋Ｄ2）
から、 Ｄ2−６Ｄ−３＝０ なので、 Ｄ＝３±２
Ｄ＞０ なので、 Ｄ＝３＋２
よって、 ｄ＝１/（３＋２）＝（２−３）/３＝×（２/３）−１ で一致する。
デカルトの円定理は、曲率の２次方程式を解く形になるので、当然、正の解ばかりでなく、
解が０になったり、負の解になる場合も考えられる。
解が０の場合は、円は、直線と考えるのが自然だろう。負の解の場合は、下図のように、
３つの円が内接する場合と考える。
円Ｃ3が直線の場合、「フォードの円」の問題となる。「フォードの円」において
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半径ａの円と半径ｂの円が外接し、さ
らに共通の直線にも接している。
その２つの円と接線に接する半径ｃ
の円がある。このとき、
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が示されたが、この事実は、デカルトの円定理を用いて、次のように示される。
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）2＝２（Ａ2＋Ｂ2＋Ｃ2＋Ｄ2）
において、Ｃ＝０ とすると、 （Ａ＋Ｂ＋Ｄ）2＝２（Ａ2＋Ｂ2＋Ｄ2）
両辺を展開して、Ｄの２次方程式 Ｄ2−２（Ａ＋Ｂ）Ｄ＋（Ａ−Ｂ）2＝０
よって、解の公式より、 Ｄ＝Ａ＋Ｂ±２√（ＡＢ） となる。
すなわち、 Ｄ＝（√Ａ±√Ｂ）2 より、 √Ｄ＝√Ａ±√Ｂ
「＋」の方を採用すると、Ａ＝１/ａ、Ｂ＝１/ｂ、Ｄ＝１/ｃ を代入して、
が成り立つ。
（コメント） 「フォードの円」で示されている通り、中心間の距離で示した方が簡単かな？
ここで、読者のために練習問題を残しておこう。
練習問題 半径１、３、１２の３つの円が外接している。この３つの円に外接する円の半径
を求めよ。
（解） 求める円の半径を ｒ とすると、デカルトの円定理より、
（１＋１/３＋１/１２＋１/ｒ）2＝２（１＋１/９＋１/１４４＋１/ｒ2）
すなわち、 （１７/１２＋１/ｒ）2＝２（１６１/１４４＋１/ｒ2）
よって、 ２８９/１４４＋１７/６・（１/ｒ）＋（１/ｒ）2＝３２２/１４４＋２（１/ｒ）2 より、
（１/ｒ）2−１７/６・（１/ｒ）＋１１/４８＝０
このとき、 （１/ｒ−１１/４）（１/ｒ−１/１２）＝０ を解いて、 ｒ＝４/１１、１２
＃ ここで、ｒ＝４/１１ が直感的に求める解だと分かるが、ｒ＝１２も解になるという。これは、
３つの円とどのように接する円なのだろうか、一瞬ちょっと戸惑いがある。
実は、下図のような位置関係になっている。
上図は、３つの円
中心（０，１２）で半径１２の円 、中心（５，０）で半径１の円 、中心（９，０）で半径３の円
に対して、求める円が、
中心（６４/１１，１２/１１）で半径４/１１の円 、中心（０，−１２）で半径１２の円
であることを示す。
なるほど！こういう外接の仕方もあるんですね．．．。正直に告白すると、小さい方の円ば
かりに目が行っていました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年７月２９日付け）
整数の半径をもつ、３つの円が外接しているとき、第４の円が、このどれにも外接できるも
のが２つ存在し、その半径が有理数となるそれぞれの円の半径の組合せを調べてみたら、
(a,b,c) =(1,6,14) -> r1=21/5、r2=21/47
=(1,8,9) -> r1=72/17、r2=72/161
=(2,9,11) -> r1=198/7、r2=198/271
=(2,10,15) -> r1=15、r2=15/19
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などが可能のようです。(a,b,c)=(1,3,12) の r1=12、r2=4/11 は、このパターンの代表として
ベストなものですね。
以下、工事中！