六点円について                     戻る

 三角形の特別な点を通る円として「九点円」が有名であるが、最近、「六点円」という円の
存在を知った。

△ABCにおいて、3垂線の足を D、E、F とし、

     3点 D、E、F から各辺に下ろした垂線の足

の合計6点は、同一円周上にある。この円のことを、六点円という。

 六点円は、Henry Martin Taylor(1842〜1927)の名に因んで、Taylor円とも呼ばれる。



    左図において、

      Hは△ABCの垂心













(証明) 4点 T、Q、R、U が同一円周上にあること : ∠CQR=∠CUT を示せばよい。

    4点 Q、R、D、E が同一円周上にあるので、 ∠CQR=∠CDE

    また、△CDEと△CUTにおいて、 CD : CU=CH : CF=CE : CT なので、

    △CDE∽△CUT となり、 ∠CDE=∠CUT である。

    よって、 ∠CQR=∠CUT となるので、4点 T、Q、R、U は同一円周上にある。

   同様にして、4点 P、U、R、S も同一円周上にある。

 次に、4点 S、U、R、T が同一円周上にあること : ∠RUT=∠RST を示せばよい。

  4点 B、C、E、F が同一円周上にあるので、 ∠ABC=∠AEF

  4点 F、E、T、S が同一円周上にあるので、 ∠AEF=∠AST

    よって、 ∠ABC=∠AST となるので、BCとSTは平行で、 ∠BRS=∠RST

  4点 A、F、D、C が同一円周上にあるので、 ∠BDF=∠FAT

    すなわち、 ∠BDF=∠RUT

  また、上記と同様にして、 △BDF∽△BRS なので、 ∠BDF=∠BRS

   以上から、 ∠RUT=∠RST となり、4点 S、U、R、T が同一円周上にある。

  よって、6点 P、Q、R、S、T、U は、同一円周上にある。 (証終)

(コメント) スッキリした証明を目指したつもりですが、何となくフラフラしているような...。