九点円について
当ホームページは、平成１４年５月２３日（木）より「数学博物館展示室」に出陳されている。
数学博物館に展示されていることのシンボルとして、九点円アイコン(下図）を、各ホームペ
ージのトップページに貼り付けることになっている。
このページでは、九点円について紹介したい。
△ＡＢＣにおいて、
３辺の中点、、各頂点から下ろした垂線の足、垂心と各頂点を結ぶ線分の中点
の合計９点は、同一円周上にある。この円のことを、九点円という。
九点円は、オイラー円とかフォイエルバッハ円とも呼ばれる。
九点円の中心は、外心と垂心を結ぶ線分の中点で、九点円の半径は、外接円の半径
の半分
である。
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Ｏ：外心 Ｇ：重心 Ｈ：垂心 Ｎ：九点円の中心 |
４点Ｏ，Ｇ，Ｎ，Ｈは同一直線上にある。この直線のことを、オイラー線という。線分の比は、
ＯＧ：ＧＮ：ＮＨ＝２：１：３
となる。
九点円が上記のような性質を何故もつのか？その理由は簡単である。
∠ＰＫＤ＝９０°より、点Ｋは線分ＰＤを直径とする円周上にある。他も同様。このことから、
九点円のもつ性質は、明らかとなる。
実際に、Ｏ（０）、Ａ（ α ）、Ｂ（ β ）、Ｃ（ γ ）とする。但し、複素数 α 、 β 、 γ の絶対
値は １ とする。すなわち、△ＡＢＣの外接円は単位円であるものとする。
このとき、 Ｄ（（ β ＋ γ ）/２ ） 、 Ｐ（｛ α ＋（ α ＋ β ＋ γ
）｝/２ ） なので、線分ＤＰ
の中点を Ｎ（ｎ） とすると、 ｎ＝（ α ＋ β ＋ γ ）/２ となる。
よって、線分ＤＰの中点 Ｎ は、外心Ｏと垂心Ｈを結ぶ線分の中点である。
さらに、 ＰＮ＝(1/2)｜α｜＝１/２ が成り立つので、九点円の半径は、外接円の半径
の半分である。 同様にして、（Ｅ、Ｑ、Ｌ）や（Ｆ、Ｒ、Ｍ）についても同じことがいえる。
また、Ｇ（（ α ＋ β ＋ γ ）/３ ）、Ｈ（ α ＋ β ＋ γ ） なので、
ＯＧ ： ＧＮ ： ＮＨ ＝ ２ ： １ ： ３
が成り立つ。
（コメント） 平面幾何の有名事実も、複素数を使うと、易しく思えてくるから不思議です。
九点円については、次のような定理も知られている。１８２２年にフォイエルバッハが証明
したという。
フォイエルバッハ（Ｆeuerbach）の定理
三角形の内接円は九点円に内接し、傍接円は九点円に外接する
（参考文献：石谷 茂 著 複素数とベクトル（東京図書））
寺阪英孝編 現代数学小事典によれば、フォイエルバッハの定理の証明は相当むずかし
いという。そんなわけで何となく証明の全貌を探訪したくなった。（平成２２年３月１９日付け）
（証明） 辺ＢＣ、辺ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとし、頂点Ａより辺ＢＣに下ろした垂線の足を
Ｈとする。△ＡＢＣの内心を Ｉ とし、∠Ａの２等分線ＡＩ が辺ＢＣと交わる点をＤとおく。
ＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形ＡＢＣにおいては、Ｍ＝Ｈ＝Ｄ で、内接円が辺ＢＣの中点Ｍで九
点円に内接することは明らかである。
そこで、一般性を失うことなく、辺ＡＢ＜辺ＡＣとしてよい。
△ＡＢＣにおいて、点Ｄから内接円 Ｉ に接線を引き、接点をＴ、辺ＡＣとの交点をＥとする。さ
らに、線分ＢＥと線分ＡＤの交点をＦとする。
△ＡＢＤと△ＡＥＤにおいて、
ＡＤ共通 、 ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ 、 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ
より、 △ＡＢＤ≡△ＡＥＤ なので、 ＡＢ＝ＡＥ となる。
このことから、△ＡＢＦと△ＡＥＦにおいて、
ＡＦ共通 、 ＡＢ＝ＡＥ 、 ∠ＢＡＦ＝∠ＥＡ
より、 △ＡＢＦ≡△ＡＥＦ なので、 ＡＦ⊥ＢＥ かつ、Ｆは線分ＢＥの中点となる。
このとき、内接円 Ｉ と辺ＢＣとの接点をＳとして、中点連結の定理より、ＦＭとＥＣは平行で、
２ＦＭ＝ＥＣ＝ＡＣ−ＡＥ＝ＡＣ−ＡＢ＝ＳＣ−ＳＢ＝ＳＭ＋ＭＣ−ＢＭ＋ＳＭ＝２ＳＭ より、
ＦＭ＝ＳＭ が成り立つ。
また、Ｆ、ＨはＡＢを直径とする円周上の点より、∠ＢＡＤ＝∠ＦＨＭ で、さらに、ＦＭとＥＣ
は平行であることから、 ∠ＤＦＭ＝∠ＤＡＣ より、 ∠ＦＨＭ＝∠ＤＦＭ
よって、△ＦＨＭ∽△ＤＦＭ より、 ＨＭ ： ＦＭ ＝ ＦＭ ： ＤＭ なので、 ＦＭ2＝ＨＭ・ＤＭ
すなわち、 ＳＭ2＝ＨＭ・ＤＭ が成り立つ。
ここで、直線ＭＴが内接円 Ｉ と交わる点をＵとおく。（線分ＵＭが Ｉ を通るとは限らない！）
このとき、方べきの定理より、 ＳＭ2＝ＭＴ・ＭＵ となる。
したがって、 ＨＭ・ＤＭ＝ＭＴ・ＭＵ が成り立つので、方べきの定理の逆より、
４点Ｈ、Ｄ、Ｔ、Ｕは同一円周上にある。
このとき、 ∠ＨＵＭ＝∠ＴＤＭ＝∠ＡＢＣ−∠ＡＣＢ
また、Ｎは直角三角形ＡＨＣの斜辺ＡＣの中点なので、ＮＨ＝ＮＣ で、∠ＮＨＣ＝∠ＡＣＢ
ここで、 ＮＭとＡＢは平行なので、∠ＮＭＣ＝∠ＡＢＣ
このとき、 ∠ＨＮＭ＝∠ＮＭＣ−∠ＮＨＭ＝∠ＡＢＣ−∠ＡＣＢ なので、
∠ＨＵＭ＝∠ＨＮＭ
したがって、円周角の定理の逆より、 ４点Ｈ、Ｍ、Ｎ、Ｕは同一円周上にあることが分かり、
さらに、Ｓは九点円の周上の点である。
そこで、点Uにおける内接円 Ｉ の接線が辺ＡＣと交わる点をＧとすると、
∠ＧＵＭ＝∠ＥＴＵ＝∠ＵＨＭ
なので、線分UGは九点円に接する。
以上から、△ＡＢＣの内接円と九点円はＳで接する。
傍接円についても同様である。（証明は読者の方にまかせよう。） （証終）
（コメント） なかなか込み入った証明ですね！最後は接弦定理の逆を用いて、その鮮やか
さに感動しました。
（参考文献： 矢野健太郎 監修 清宮俊雄 著 モノグラフ 幾何学 （科学新興社））
（追記） 平成２２年３月１２日付け
平成２２年２月２６日付けで、ＨＮ「ＦＮ」さんが、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に次のような
質問を書き込まれた。
オイラーが膨大な計算で証明している次の事実 ：
三角形の内心がオイラー線上にあれば二等辺三角形である
これを初等幾何で証明することは可能でしょうか。
（コメント） 入試選抜業務の真っ只中で、忙しさの余りレスすることもできず、ＦＮさんには
失礼しました。でも、平成２２年３月１２日付けで、自己解決されたとの報告を伺
って、安心しました。
以下では、ＦＮさんの解答を紹介したいと思う。（一部文言等修正させていただきました。）
次の定理を用いると容易に示される。
定 理 △ＡＢＣの外心をＯ、垂心をＨ、内心をＩとするとき、ＡＩは∠ＯＡＨを２等分する
外心と垂心は等角共役であるともいい、よく知られた事実らしい。
証明は易しい。
（証明） 左図において、
４点Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆは同一円周上にあ
るので、 ∠ＥＢＦ＝∠ＥＡＦ
また、ＢＦとＤＣは平行なので、
∠ＢＣＤ＝∠ＥＢＦ
さらに、 ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ
以上から、 ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＦ
ＡＩ は∠Ａの２等分線なので、ＡＩ は
∠ＯＡＨを２等分する。 （証終）
この定理を用いて、
三角形の内心がオイラー線上にあれば二等辺三角形である
という事実が次のように示される。
（証明） オイラー線が△ＡＢＣの頂点を通る場合、２等辺三角形になることは明らか。
オイラー線が△ＡＢＣの頂点を通らない場合を考える。
ＡＩ が∠ＯＡＨを２等分するので、 ＯＡ ： ＡＨ ＝ ＯＩ ： ＩＨ
ＢＩ が∠ＯＢＨを２等分するので、 ＯＢ ： ＢＨ ＝ ＯＩ ： ＩＨ
同様にして、 ＯＣ ： ＣＨ ＝ ＯＩ ： ＩＨ
従って、 ＯＡ ： ＡＨ ＝ ＯＢ ： ＢＨ ＝ ＯＣ ： ＣＨ
ところが、 ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ だから、 ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨ
これは、Ｈが外心であることを示し、Ｏ＝Ｈ となるので正三角形になる。
よって、この場合も２等辺三角形になると言える。 （証終）
（コメント） 定理が効果的に使われていますね！ＦＮさんに感謝します。
上記の証明に関連して、次の事実が知られている。
三角形の内心、外心、垂心、重心の４つのうち２つが一致するならば、その三角形
は正三角形である
ここで、等角共役についてまとめておこう。
△ＡＢＣの頂角Ａを通る直線を ｍ とし、∠Ａの２等分線に関して、ｍ と対称な直線を
ｎ と
するとき、ｍ と ｎ は互いに等角共役線であるという。
さらに、各頂点を通る直線が １点 Ｐ で交わるとき、それらの等角共役線も
１点 Ｑ で交わ
る。このとき、点 Ｐ と点 Ｑ は互いに等角共役点という。
また、次の３条件
∠ＰＡＢ＝∠ＣＡＱ 、 ∠ＰＢＣ＝∠ＡＢＱ 、 ∠ＰＣＡ＝∠ＢＣＱ
を満たすときも、点 Ｐ と点 Ｑ は互いに等角共役点という。
角度に関する条件なので、２点が等角共役点かどうかを判別する場合は、こちらの方が
有用かもしれない。
実際に、左図において、
∠ＯＡＢ＝∠ＣＡＨ
∠ＯＢＣ＝∠ＡＢＨ
∠ＯＣＡ＝∠ＢＣＨ
が成り立つので、
△ＡＢＣにおいて
外心と垂心は等角共役点
であると言える。