２次形式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　線形代数学で行列の標準化を学んだ後の応用例として「２次形式の理論」が講義や書籍
等で扱われる。手頃な演習問題だからだろう。

　ここでは、２変数の場合について、２次形式の理論をおさらいしておこう。

　２次の実対称行列
　　　　　　　　　　　　　

を用いて、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝ｔｘＡｘ　（ただし、ｔｘ＝（ ｘ 　 ｙ ） ）　

で与えられる整式 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）を、変数 ｘ 、ｙ についての２次形式という。

　このとき、２次形式 Ｆ（ ｘ ， ｙ ） は、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝ａｘ2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ2　　と書ける。すなわ

ち、整式 Ｆ（ ｘ ， ｙ ） は、２次の項ばかりからなっている。

　２次形式の理論においては、この式を、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝Ａ［ｘ］　と書き表すようだ。

　係数行列 Ａ が実対称行列であることから、直交行列 Ｐ により対角化される。

　よって、次の定理が成り立つ。

定　理　　２次形式　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝Ａ［ｘ］　に対し、適当な直交変換　ｙ＝Ｐｘ　（ｔＰ＝Ｐ-1）を
　　　　　行うことにより、

　　　　　　　Ａ［ｙ］＝（Ｐ-1ＡＰ）［ｘ］＝λｘ2＋μｙ2

　　　　　となる。ここで、λ、μ は、行列 Ａ の固有値である。

例　　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝３ｘ2−２ｘｙ＋３ｙ2　　のとき、

　　　　　　

　　に対して、　ｄｅｔ（Ａ−ｋＥ）＝ｋ2−６ｋ＋８＝（ｋ−２）（ｋ−４）＝０　より、　ｋ＝２、４　　

このとき、（Ａ−２Ｅ）（Ａ−４Ｅ）＝ ＝０ 　　（但し、Ｅは単位行列）

　　　　（Ａ−２Ｅ)(Ａ−４Ｅ)＝（Ａ−２Ｅ)(ｕ　v)　　　（ただし、ｕ、v　は、Ａ−４Ｅ　の列ベクトル）

　右辺を計算して、　（Ａ−２Ｅ)(Ａ−４Ｅ)＝（Ａ−２Ｅ)(ｕ　v)＝(（Ａ−２Ｅ)ｕ　（Ａ−２Ｅ)ｖ)＝　０

　なので、　（Ａ−２Ｅ)ｕ＝０　となり、　Ａ−４Ｅ　の列ベクトル　ｕ　が、固有値　２　に属する

　固有ベクトルになることが分かる。固有値　４　に属する固有ベクトルの求め方も同様。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→　参考：「固有ベクトルを求める」）

したがって、、ｋ＝２に属する固有ベクトル（の一つ）は、
　　　　　　 　　ｋ＝４に属する固有ベクトル（の一つ）は、

　よって、直交行列
　　　　　　　　　　　　
により、
　　　　　　（Ｐ-1ＡＰ）［ｘ］＝２ｘ2＋４ｙ2

と書ける。

　上記の例において、

　　　少なくとも一つが ０ でない実数 ｘ ， ｙ が何であっても、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０

であることが分かる。それは、ｘ2、ｙ2　の係数である固有値 ２ と ４ が正の数であることか
ら明らかだろう。

　一般に、全ての ｘ≠０　に対して、Ａ［ｘ］＞０　のとき、Ａ［ｘ］ および対称行列 Ａ は正値
であると言われる。

　同様に、全ての ｘ≠０　に対して、Ａ［ｘ］≧０　のとき、Ａ［ｘ］ および対称行列 Ａ は半正値
であると言われる。

　一般に次の事実が知られている。

定　理　　２次形式　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝Ａ［ｘ］　が正値であるための必要十分条件は、実対称行
　　　　　列 Ａ の固有値が全て正であることである。

　証明は明らかだろう。


　平成２１年６月２０日付けで、以前お世話になった「文系大学生」様より、当ＨＰの掲示板
「出会いの泉」に書き込みがあった。

　行列の２次形式の符号についての質問です。

　　２つの実対称行列 Ａ、Ｂ について、２次形式をそれぞれ、

　　　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＝Ａ［ｘ］　　、　Ｈ（ ｘ ， ｙ ）＝Ｂ［ｘ］

　とする。

　さらに、実対称行列 Ａ＋Ｂ に対して、２次形式

　　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝（Ａ＋Ｂ）［ｘ］＝Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＋Ｈ（ ｘ ， ｙ ）

を定める。

　このとき、　Ｆ（ ｘ ， ｙ ）　の符号を定めるとき、

　　　　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＞０　かつ　Ｈ（ ｘ ， ｙ ）＞０　ならば、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０

　　　　Ｇ（ ｘ ， ｙ ）＜０　かつ　Ｈ（ ｘ ， ｙ ）＜０　ならば、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＜０

としてもいいのだろうか？

一見これでいいのかなと思ったのですが、Ｇ（ ｘ ， ｙ ）　をさらに、

　　　　Ｇ1（ ｘ ， ｙ ）＝（ ０　ｂ ）［ｘ］　　、　Ｇ2（ ｘ ， ｙ ）＝（ ａ　０ ）［ｘ］

としてやると、Ｇ1（ ｘ ， ｙ ）とＧ2（ ｘ ， ｙ ）の行列の行列式が、０ となってしまう。

　ということは、Ｈ（ ｘ ， ｙ ）についても同じようにしてやると、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）が ０ になってしまう？

でも、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）から出てきたものだし．．．と混乱して、これらの関係が整理できませんで

した。

（コメント）　途中までは、「うん、そうだね！」と思い読んでいましたが、最後のところが「？」
　　　　　　でした。２次形式というと、係数行列が対称行列と相場が決まっていますが、列で
　　　　　　分解した行列では対称行列でなくなるので２次形式とは呼べないのでは．．．？
　　　　　　　ですから、固有値がどうのこうのとか、行列式がどうのこうのとかは意味をなさな
　　　　　　くなるのでは．．．？文系大学生様、私の勘違いだったら、ご容赦を．．．。