当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんから頂いた話題である。
（当ＨＰの掲示板「出会いの泉」 平成２２年５月１５日付け）
数研出版の「数学難問集１００」の入門の部の２番に次のような問題がある。
ｎ は２以上の整数とする。
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は ｎ と互いに素であることを示せ。
（２） （ｎ－１）ｎ（ｎ＋１） の正の約数の中で ｎ で割ると １ 余るものをすべて求めよ。
（出典：お茶の水女子大学入試問題）
ＦＮさんによれば、掲載されている解答（平成１９年４月発行）が全く解答になっていないと
のことである。
ＦＮさんは、これよりも難しいが、一般的な状況を表していると思われるという類題を作ら
れた。
ｎ は２以上の整数とする。
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は ｎ と互いに素であることを示せ。
（２） ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） の正の約数の中で ｎ で割ると １ 余るものをすべて求めよ。
この類題を解くことで、冒頭の問題の理解が深まるそうである。さらに、数研出版の解答
のような方法では解けないことも分かるとのことである。
ＦＮさんが、類題の解答を寄せられた。（一部多少文言等を修正させていただきました。）
（類題の解答）
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は、０ 以上の整数 ｋ を用いて、 ｎ・ｋ＋１ とおける。
このとき、 ｎ・（－ｋ）＋（ｎ・ｋ＋１）・１＝１ なので、ｎ と ｎ・ｋ＋１ の公約数は １ 以外に
あり得ない。よって、ｎ と ｎ・ｋ＋１ は互いに素である。
（２） （１）と同様にして、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）の正の約数で、ｎ で割ると １ 余る数は、０ 以上
の整数 ｋ を用いて、 ｎ・ｋ＋１ とおける。
ｋ＝０ のときの ｎ・ｋ＋１＝１ 、ｋ＝１ のときの ｎ・ｋ＋１＝ｎ＋１ は、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
の正の約数で、明らかに、ｎ で割ると １ 余る数である。
よって、以下では、ｋ は２以上の整数として考えてもよい。
ｎ・ｋ＋１ は、ｎ で割ると １ 余る正の整数なので、（１）より、ｎ と互いに素である。
したがって、ｎ・ｋ＋１ は、（ｎ＋１）（ｎ＋２）の約数となる。
このとき、 （ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（ｎ・ｋ＋１）・ｍ （ｍ は整数） とおける。
ここで、 ｎ＋１＜（ｎ・ｋ＋１） なので、 ｎ＋２＞ｍ である。
また、（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（ｎ・ｋ＋１）・ｍ の左辺は、ｎ で割ると余りが２なので、右辺の ｍ
も ｎ で割ると余りが２でなければならない。
ところが、ｎ＋２＞ｍ なので、ｍ＝２ となる。
このとき、 ｎ2＋３ｎ＋２＝２ｎ・ｋ＋２ において、
ｎ が偶数のとき、上式を満たす整数 ｋ は存在しない。
ｎ が奇数のとき、上式より、 ｋ＝（ｎ＋３）/２
以上から、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）の正の約数で、ｎ で割ると １ 余る数は、
ｎ が偶数のとき、 １ と ｎ＋１ のみ
ｎ が奇数のとき、 １ と ｎ＋１ と ｎ（ｎ＋３）/２＋１ のみ
（コメント） ＦＮさん、とてもエレガントな解答ですね！感動しました。ＦＮさんに感謝します。
（追記） 平成２６年５月２４日付け
不定方程式の問題で、解に条件をつければ整数問題となる。島根大学医学部（２０１４）で
は次のような問題が出題された。何れもパターン化された問題であり、受験問題集での経験
もあるはずなので、受験生にとっては容易な問題だったと思う。
島根大学医学部（２０１４）
ａ、ｂ、ｃ、ｎ を自然数とし、ａ≦ｂ≦ｃ かつ ｎ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｂｃ を満たすとする。
（１） ａ＝ｂ＝ｃ のとき、ｎは３の倍数であることを示せ。
（２） ｎ＝３のとき、自然数の組（ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めよ。
（解）（１） 題意より、 ３ｎａ＝ａ3 なので、 ３ｎ＝ａ2 となる。このとき、ａ2 すなわち、
ａ は３の倍数となる。ａ＝３ｋ （ｋは自然数） と書けるので、 ３ｎ＝９ｋ2
すなわち、 ｎ＝３ｋ2 となり、ｎは３の倍数である。
（２） 題意より、 ３（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｂｃ≦９ｃ なので、 ａｂ≦９ から、
（ａ，ｂ）＝（１，１）、（１，２）、（１，３）、（１，４）、（１，５）、（１，６）、（１，７）、（１，８）、（１，９）、
（２，２）、（２，３）、（２，４）、（３，３）
（ａ，ｂ）＝（１，１）、（１，２）、（１，３） のとき、 等式を満たす自然数ｃは存在しない。
（ａ，ｂ）＝（１，４） のとき、 ３（ｃ＋５）＝４ｃ より、 ｃ＝１５
（ａ，ｂ）＝（１，５） のとき、 ３（ｃ＋６）＝５ｃ より、 ｃ＝９
（ａ，ｂ）＝（１，６） のとき、 ３（ｃ＋７）＝６ｃ より、 ｃ＝７
（ａ，ｂ）＝（１，７） のとき、 ３（ｃ＋８）＝７ｃ より、 ｃ＝６ （不適）
（ａ，ｂ）＝（１，８） のとき、 ３（ｃ＋９）＝８ｃ この式を満たす自然数ｃは存在しない。
（ａ，ｂ）＝（１，９） のとき、 ３（ｃ＋１０）＝９ｃ より、 ｃ＝５ （不適）
（ａ，ｂ）＝（２，２） のとき、 ３（ｃ＋４）＝４ｃ より、 ｃ＝１２
（ａ，ｂ）＝（２，３） のとき、 ３（ｃ＋５）＝６ｃ より、 ｃ＝５
（ａ，ｂ）＝（２，４） のとき、 ３（ｃ＋６）＝８ｃ この式を満たす自然数ｃは存在しない。
（ａ，ｂ）＝（３，３） のとき、 ３（ｃ＋６）＝９ｃ より、 ｃ＝３
以上から、求める解は、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，４，１５）、（１，５，９）、（１，６，７）、（２，２，１２）、（２，３，５）、（３，３，３）
（終）
（追記） 平成２６年１２月２３日付け
今日は、天皇誕生日で満８１歳を迎えられた。ＴＶからは元気なお姿を拝見することが出来
た。思えば、昭和天皇陛下が崩御されたのが、昭和６４年１月７日。翌日から元号は平成と
なった。
学習院大学文学部入試問題（平成１５年度）に次のような整数問題が出題された。
問 題 ｍを整数とする。方程式 ｍｘ2＋１６ｘ＋ｍ＋２＝０ の解のうち少なくとも１つが整数
であるようなｍをすべて求めよ。
どこから手をつけるべきか悩む問題なので、いくつか実験してみよう。
ｍ＝０ のとき、 １６ｘ＋２＝０ は整数解を持たないから不適。
ｍ＝１ のとき、 ｘ2＋１６ｘ＋３＝０ は整数解を持たないから不適。
ｍ＝－１ のとき、 －ｘ2＋１６ｘ＋１＝０ は整数解を持たないから不適。
ｍ＝２ のとき、 ２ｘ2＋１６ｘ＋４＝０ は整数解を持たないから不適。
ｍ＝－２ のとき、 －２ｘ2＋１６ｘ＝０ は、２ｘ（ｘ－８）＝０ と変形され、整数解 ０、８ を持
つので、適である。
ｍ＝３ のとき、 ３ｘ2＋１６ｘ＋５＝０ は、（３ｘ＋１）（ｘ＋５）＝０ と変形され、整数解 －５
を一つ持つので、適である。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
こんな風に一つ一つ確かめていけば、条件にあうｍが順次求められ、実際の試験でも部
分点はいくらかはもらえるだろう。ｍの取り得る値の範囲を制限していないから、それほど
でもないかな？
まず、ｍの取り得る値の範囲を求めて、そこから題意に適するものを選択するという考え
方でいいだろう。
上記では具体的な整数解を見て、ｍの値を求めている。問題には整数解を求めよとは一
切書いていないが、少なくとも一つ整数解を持つような整数ｍを求めるためには、実際の解
がどうなるかを調べないと、ｍの値が適かどうかは判明しない。
（解） ｍ≠０ としてよいので、方程式は２次方程式である。判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝６４－ｍ（ｍ＋２）＝－ｍ2－２ｍ＋６４
題意より、 －ｍ2－２ｍ＋６４≧０ すなわち、 ｍ2＋２ｍ－６４≦０
（ｍ＋１）2－６５≦０ より、 －√６５≦ｍ＋１≦√６５
よって、 －８≦ｍ＋１≦８ より、 －９≦ｍ≦７
ｍは０以外の整数なので、 ｍ＝±１、±２、±３、±４、±５、±６、±７、－８、－９
これらの値に対して、Ｄ/４＝－ｍ2－２ｍ＋６４が０以上の平方数になるのは、
ｍ＝－２、３、－５、６、７、－８、－９
これらの値に対して、解 ｘ＝（－８±√（Ｄ/４））/ｍ に整数が現れるのは、
ｍ＝－２、３、－５、６、７、－９ （ ← ｍ＝－８のみ不適） （終）
DD++さんからのコメントです。（平成２６年１２月２３日付け）
受験数学的正攻法は間違いなく上記の解答でしょうけれど、出題側の想定はこの手順で
はないかな、と。
m=0 のとき、明らかに不適。以下では m≠0 とする。両辺に m をかけて、
m2x2+16mx+m2+2m=0 より、 (mx+8)2 + (m+1)2 = 65
ここで、mx+8 と m+1 はともに整数で、また 65 を平方和で表す方法は 1+64 と 16+49 のみ
よって順序や正負を考慮して、
(mx+8，m+1) = (±1，±8)、 (±4，±7)、 (±7，±4)、 (±8，±1)
このうち m≠0 かつ x が整数となるのは、
(m，x) = (7，-1)、 (-9，1)、 (6，-2)、 (3，-5)、 (-5，3)、 (-2，0)
すなわち、求める m の値は、 m=-9、-5、-2、3、6、7
なぜ、これが出題者想定と思われるのかというと、判別式=0を解いたときに出てくる √65
というところに、「2次不定方程式の問題でたくさん解を持たせたい」「2通りの平方和で表せ
る数字を使えばそれが実現できる」「それを実現できるのは 4N+1 型素因数を非平方で2つ
もち、4N+3型はあっても全て平方な数」「そういう数字の最小は 5×13=65」という数学的背景
を利用して作ったのが見え隠れしているので……。
一見するといきなり m 倍する突飛な解答にも見えますが、判別式が（高校数学的には）二
次方程式の解の公式を作るときに平方完成した残骸に由来していること、またそのときに両
辺を 4a 倍してから解くと平方完成で分数計算にならないこと、この2つを知っていれば「4m
倍して平方完成」はさほど特殊な変形ではないような気も。実際は、今回は16が偶数なので
4倍は不要でこんな感じになります。
（コメント） ｍに何らかの制限を設けるために判別式を利用したわけですが、DD++さんの解
のように平方の和に変形することも可能なんですね。とても美しい解答に仕上がっ
ています。DD++さんに感謝します。
（追記） 令和２年８月２３日付け
問題 自然数 ａ、ｂ に対して、等式 ａ2＋ｂ2＝２３４０ を満たすものをすべて求めよ。
が与えられた場合、どのようなアプローチをすべきだろうか？
例えば、次のようにして、取り得る値の範囲を考える方もいらっしゃるだろう。
ｂ2＝２３４０－ａ2＞０ から、 ａ＝１、２、３、・・・、４８ が分かる。
このうち、自然数 ｂ が存在するのは、 ａ＝６、２４、４２、４８ の場合で、
求める解は、 （ａ，ｂ）＝（６，４８）、（２４，４２）、（４２，２４）、（４８，６） となる。
この手法は計算が大変で実用的ではない。もっと別な方法で範囲を狭めることを考えよう。
まず、気がつくのは、「２３４０は３の倍数」であることである。
ここで、次の性質が有名である。
どんな自然数もその平方数を３で割った余りは、０または１ である。
この性質から、ａ、ｂは３の倍数ということが分かるので、
ａ＝３ｍ、ｂ＝３ｎ （ｍ、ｎは自然数）
とおける。このとき、与式は、 ｍ2＋ｎ2＝２６０ と簡単になる。
さらに、「２６０は４の倍数」なので、ｍ、ｎは４で割った余りが、０または２ である。
何れにしても、ｍ、ｎは偶数なので、
ｍ＝２ｐ、ｎ＝２ｑ （ｐ、ｑは自然数）
とおける。このとき、与式は、 ｐ2＋ｑ2＝６５ とさらに簡単になる。
ｑ2＝６５－ｐ2＞０ から、 ｐ＝１、２、３、４、５、６、７、８ が分かる。
このうち、自然数 ｑ が存在するのは、 ｐ＝１、４、７、８ の場合で、
（ｐ，ｑ）＝（１，８）、（４，７）、（７，４）、（８，１） となる。
以上から、求める解は、それぞれを６倍して、
（ａ，ｂ）＝（６，４８）、（２４，４２）、（４２，２４）、（４８，６） となる。
（追記） 令和２年８月２４日付け
いきなり、「１５ｘ＋５５ｙ＋３３ｚ＝２ を満たす整数解を求めよ。」なんて問題を出されたら、
ちょっと戸惑ってしまう。でも、少しの工夫で解けるんですねネ！
（出典：東京工業大学 前期理系（２０１８）（改題））
（解） １５＝３×５、５５＝５×１１、３３＝３×１１ に注意して、
ｍｏｄ１１で、 ４ｘ≡２ より、 ｘ≡６ よって、 ｘ＝１１ｍ＋６ （ｍは整数） とおける。
ｍｏｄ３で、 ｙ≡２ より、 ｙ＝３ｎ＋２ （ｎは整数） とおける。
このとき、 １５（１１ｍ＋６）＋５５（３ｎ＋２）＋３３ｚ＝２ より、
ｚ＝－５ｍ－５ｎ－６ と書ける。
以上から、 （ｘ，ｙ，ｚ）＝（１１ｍ＋６，３ｎ＋２，－５ｍ－５ｎ－６） （ｍ、ｎは整数） （終）
＃例えば、ｍ＝０、ｎ＝－１とすると、 （ｘ，ｙ，ｚ）＝（６，－１，－１） が一つの解となる。
（別解） ｚ＝５ｎ－１ （ｎは整数） を代入して、１５ｘ＋５５ｙ＝３５－１６５ｎ より、
３ｘ＋１１ｙ＝７－３３ｎ から、 ３ｘ＋１１（ｙ＋３ｎ）＝７
３×（－５）＋１１×２＝７ なので、 ３（ｘ＋５）＋１１（ｙ＋３ｎ－２）＝０
よって、 ｘ＝－１１ｍ－５ 、ｙ＝３ｍ－３ｎ＋２ （ｍ、ｎは整数） と書ける。
以上から、 （ｘ，ｙ，ｚ）＝（－１１ｍ－５，３ｍ－３ｎ＋２，５ｎ－１） （ｍ、ｎは整数） （終）
＃ ｍ＝－Ｍ－１、ｍ－ｎ＝Ｎ とおくと、
－１１ｍ－５＝１１Ｍ＋６，３ｍ－３ｎ＋２＝３Ｎ＋２，
５ｎ－１＝５（－Ｍ－１－Ｎ）－１＝－５Ｍ－５Ｎ－６
で先の結果と一致する。
（コメント） 別解のように解答する人は皆無でしょうね．．．。
（追記） 令和５年２月１日付け
今年度の大学受験も始まっていますね！どんな問題に出会えるか、とても楽しみです。
その前に、過去問から興味を引いた問題でウォーミングアップしておきましょう。
ちょっと気になった東北大学前期理系（２０１８）の問題です。
第３問 整数 ａ、ｂ は、等式 ３ａ－２ｂ＝１ ・・・ ① を満たしているとする。
(1) ａ、ｂはともに正となることを示せ。
(2) ｂ＞１ならば、ａは偶数であることを示せ。
(3) ①を満たす整数の組 (ａ，ｂ) をすべてあげよ。
（解）（１） ３ａ＝２ｂ＋１＞１ より、 ａ＞０ である。
ａは整数なので、ａ≧１ である。このとき、２ｂ＝３ａ－１≧２＞１ なので、 ｂ＞０ である。
（２） ｂ＞１のとき、ｂは整数なので、 ｂ≧２ である。
このとき、 ２ｂ＝３ａ－１＝（３－１）（３ａ-1＋３ａ-2＋・・・＋１）＝２（３ａ-1＋３ａ-2＋・・・＋１）
より、 ２ｂ-1＝３ａ-1＋３ａ-2＋・・・＋１ となる。
ｂ≧２ なので、 左辺＝２ｂ-1 は偶数より、 右辺＝３ａ-1＋３ａ-2＋・・・＋１ は偶数
ここで、ａ個の項 ３ａ-1、３ａ-2、・・・、１ は全て奇数なので、その和が偶数ということから、
ａは偶数でなければならない。
（３） ｂ＝１ のとき、 ３ａ＝３ から、 ａ＝１
ｂ＞１ のとき、（２）より、 ａは偶数 なので、 ａ＝２ｋ （ｋは自然数） とおける。
このとき、 ２ｂ＝３2ｋ－１＝（３ｋ－１）（３ｋ＋１）
ここで、 ３ｋ－１＝２ｍ 、３ｋ＋１＝２ｎ （１≦ｍ＜ｎ） とおける。
よって、 ２ｎ－２ｍ＝２ より、 ２ｍ（２ｎ-ｍ－１）＝２
ここで、ｎ－ｍ≧２ とすると、 ２ｎ-ｍ－１は奇数 となるので、不適
よって、 ｎ－ｍ＝１ で、 ２ｍ＝２ から、 ｍ＝１ 、ｎ＝２
このとき、 ３ｋ－１＝２ 、３ｋ＋１＝４ から、 ｋ＝１ で、 ２ｂ＝８ すなわち、 ｂ＝３
よって、 ３ａ＝９ より、 ａ＝２
以上から、 (ａ，ｂ)＝(１，１) 、(２，３) （終）
（コメント） こんな整数問題に受験で遭遇したら、途方に暮れてしまう方が多分多いんだろう
と思う。（３）などは、相当な腕力を要する問題でした。
（追記） 令和５年５月１２日付け
問題 ある２桁の整数に、その整数の各位の和と積を足したら、ちょうど ５０ になったと
いう。この整数を求めよ。
（解） ２桁の整数を １０ａ＋ｂ とおくと、題意より、 （１０ａ＋ｂ）＋（ａ＋ｂ）＋ａｂ＝５０
すなわち、 ａｂ＋１１ａ＋２ｂ＝５０ より、 （ａ＋２）（ｂ＋１１）＝７２
この式を満たす ａ、ｂ は、 ａ＝２ 、ｂ＝７ または ａ＝４ 、ｂ＝１ である。
よって、求める整数は、２７ または ４１ （終）
DD++ さんからのコメントです。（令和５年５月１３日付け）
41 の他に 27 も解ではないでしょうか？
27 + (2+7) + (2*7) = 27 + 9 + 14 = 50
（コメント） DD++ さん、誤りをご指摘いただきありがとうございます。（解）は修正しました。
以下、工事中！