グレブナー基底

グレブナー基底 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　グレブナー基底（Ｇｒｏｅｂｎｅｒ　ｂａｓｉｓ）という言葉を最近よく耳にする。グレブナー基底
そのものは、広中平祐氏（１９６４年）、Ｂ．Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ氏（１９６５年）により独立に発見さ
れたものだということなので、歴史的にはもう４０年以上が経っている。しかし、グレブナー
基底が人類の宝として脚光を浴びだしたのはそれほど古いことではないようだ。

　（知り合いのＴさんが勤める早稲田大学高等学院に、２００４年１０月、Ｂ．Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ氏が来校
　され、特別授業を行ったそうである。）

　最近の急速な計算機数学の発展から科学の様々な分野で再認識され、それがまた新
しい刺激となって、グレブナー基底は、科学界を席巻しているような感がある。

　グレブナー基底の理論は、１９世紀以来の消去法の理論を包括しており、いろいろな応
用を生み出す活力の泉にもなっているそうだ。

　当ＨＰがいつもお世話になっているＡ’ｚさんもパソコンを駆使され、グレブナー基底を活
用された計算を多数行い、我々にいろいろな事例を提供されている。このページでは、非
常に肥沃な応用の可能性を持つグレブナー基底について、当ＨＰのレベルを考えながらも
私の力の及ぶ範囲でまとめようと思う。

　ここでは、多項式環におけるイデアルを具体的に計算する手段が学べるらしい。さらに、
イデアルだけでなく、多項式環上の自由加群の部分加群にも一般化できるらしいが、私
の力が及ぶかどうか．．．？

　ところで、グレブナー基底を計算するには、ブッフベルガーの判定法というものが知ら
れていて、しかも有限回の操作で終わることから、計算機を用いた探究が始まったようだ。

　ただし、有限回の操作で終わるというグレブナー基底の計算も、人間による人力ではと
ても難しいらしい。インターネット上やＡ’ｚさんのグレブナー基底の計算例を見ると、「目
がテン！」になるほどの強烈なインパクトと激烈な徒労感を同時に味わうことができる。

　環Ｒの部分集合Ｈがイデアル（Ｉｄｅａｌ）とは、ＨがＲの部分加群であり、かつ、

　　　　　　λ∈Ｒ　に対して、　λＨ⊂Ｈ

が成り立つときをいう。

　整数全体の集合Ｚにおいて、２Ｚ＝｛２ｎ｜ｎ∈Ｚ｝はイデアルである。イデアルのイ
メージとしては、足し算という演算で閉じていて、何倍してもその中に収まるという雰囲気が
持てれば十分かな？

　偶数同士足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね！（これがイデアルのイメージ）

　イデアルというと取っつきにくい感じが否めないが、この概念は中学校数学で学ぶ連立
方程式の加減法による解法にその萌芽を見ることが出来る。

　例　連立方程式　ｘ＋２ｙ－３＝０　、ｘ－ｙ＝０　を加減法で解くとき、

　　　　　（ｘ＋２ｙ－３）＋２（ｘ－ｙ）＝３ｘ－３　　により、新しい方程式　３ｘ－３＝０　を作り

　　　　連立方程式　ｘ＋２ｙ－３＝０　、ｘ－ｙ＝０　、３ｘ－３＝０　を実は解いている！

　　このことは、　イデアルＨが多項式ｘ＋２ｙ－３　、ｘ－ｙ　を含むとき、

　　多項式（ｘ＋２ｙ－３）＋２（ｘ－ｙ）もイデアルＨに含まれるという事実に基づく。

　整数全体の集合Ｚにおいて、イデアル２Ｚは唯一の数２で生成されている。この場合、
（２）と書く流儀もあるようだ。唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。

　整数環Ｚを係数に持つ一変数の多項式環 Ｚ［ｘ］ において、多項式Ｇ（ｘ）＝２ｘ＋４が
生成するイデアルをＨと置くとき、多項式Ｆ（ｘ）＝２ｘ²＋２ｘ－４は、果たして、イデアルＨ
の要素だろうか？

　上記では難しい言葉を使っているが、高校数学風に言い換えれば、

　　　多項式Ｆ（ｘ）＝２ｘ²＋２ｘ－４は、多項式Ｇ（ｘ）＝２ｘ＋４で割り切れるか？

という単純な問題である。

　答えは明らかだろう。

　　Ｆ（ｘ）＝２ｘ²＋２ｘ－４＝（ｘ－１）（２ｘ＋４）＝（ｘ－１）Ｇ（ｘ）

なので、Ｆ（ｘ）は、Ｇ（ｘ）で割り切れる。すなわち、Ｆ（ｘ）は、イデアルＨの要素である。

　それでは、イデアルＨに属さない多項式環 Ｚ［ｘ］ の要素はあるだろうか？

これも即答できると思う。

　多項式ｘ＋２は、決して　ｆ（ｘ）・（２ｘ＋４）　（ｆ（ｘ）∈Ｚ［ｘ］ ）　の形には表し得ない。

それは、多項式２ｘ＋４の選び方が適切ではなかったからだし、また、イデアルの生成元と
しても不十分だったからだと思われる。

　どんな整数係数の多項式も最高次の係数が１の１次式で割ると余りは必ず整数

すなわち、整数係数の多項式Ｆ（ｘ）は、必ず

　　　　　Ｆ（ｘ）＝Ａ・１＋Ｂ・（ｘ＋２）　　　ただし、　Ａ∈Ｚ　、　Ｂ∈Ｚ［ｘ］

と一意に書き表すことが出来る。

　上記の式で、「Ｂ・（ｘ＋２）」という部分が、整数で考えたような、ｘ＋２という多項式で
生成されるという部分である。

　グレブナ基底は、基底という言葉を用いているが、ベクトル空間における「基底」という概
念とは異なるものである。敢えて言えば、独立性を無視して、生成元という意味合いの方
が強い。

　基底としては、いろいろな選び方がある。その選び方にも「適切な」基底というものがある
らしい。多項式環において、「グレブナー基底」が最も適切な基底なのだろう．．．多分！

　１変数の場合は特別な難しさを感じないが、２変数以上になると俄然困難さが際だってく
る。以下では、２変数の場合に限定して話を進める。

　対称式の集まりの中で、基本対称式がグレブナー基底そのものではないにしてもアイデ
ア的には相当に近いものと考えられる。

次の事実は有名だろう。数学に興味がある高校生だと既に知っているかも知れない。

　　　２変数ｘ、ｙについての任意の対称式Ｆ（ｘ，ｙ）は、

　　基本対称式ｓ＝ｘ＋ｙ，ｔ＝ｘｙの多項式 G（ｓ，ｔ）として表すことができ、

　　その表し方はただ一通りである。

　対称式とは、　Ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｙ，ｘ）　を満たすものをいう。すなわち、文字ｘ，ｙを
入れかえても式が不変という性質を持つ。

　このような例はたくさんある。

　　　ｘ＋ｙ、ｘｙ、ｘ²＋ｙ² 、ｘ³ｙ＋ｘｙ³ 、・・・　など。

　ここで、上記の証明をおさらいしておこう。

（証明）　いま、対称式Ｆ（ｘ，ｙ）の各項の指数に着目して、ｍ≧ｎ≧０のものをまとめて、

　　　　ｐ（ｍ，ｎ）＝Σｘ_ｕ^ｍｘ_ｖ^ｎ　（ｘ_ｕ、ｘ_ｖは、ｘまたはｙ）とおくと、対称式Ｆ（ｘ，ｙ）は、

　　ｐ（ｍ，ｎ）の定数倍の幾つかの和として表される。

　　（このような考え方は、ヤング図形の考え方に似ている。（→　参考：「対称式の真実」））

　　これは、例えば、　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ³＋２ｘ²ｙ＋２ｘｙ²＋ｙ³　だったら、

　　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ³ｙ⁰＋２ｘ²ｙ¹＋２ｙ²X¹＋ｙ³Ｘ⁰＝（ｘ³ｙ⁰＋ｙ³Ｘ⁰）＋２（ｘ²ｙ¹＋ｙ²X¹）

　　より、　ｐ（３，０）＝ｘ³ｙ⁰＋ｙ³Ｘ⁰　、　ｐ（２，１）＝ｘ²ｙ¹＋ｙ²X¹　となって、

　　　　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝１・ｐ（３，０）＋２・ｐ（２，１）

　　と表されることを意味する。

　　さらに、　ｍ、ｎの順に降順で、ｐ（ｍ，ｎ）に序列をつける。

　　　上記の例だと、まず、ｍの値を比較して、　３≧２　なので、　

　　ｐ（３，０）≧ｐ（２，１）　である。

　　そこで、一番大きいｐ（ｍ，ｎ）の係数をＡとして、　Ｆ（ｘ，ｙ）－Ａ・ｓ^ｍ－ｎ・ｔ^ｎ　を

　考えると、そこに含まれるｐ（ｍ’ ，ｎ’ ）は、ｐ（ｍ，ｎ）より小さいものばかりである。

　　　上記の例だと、ｐ（３，０）の係数は１なので、

　　　　　Ｆ（ｘ，ｙ）－ｓ^3－0・ｔ⁰＝Ｆ（ｘ，ｙ）－ｓ³

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ³＋２ｘ²ｙ＋２ｘｙ²＋ｙ³－（ｘ＋ｙ）³

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－ｘ²ｙ－ｘｙ²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－ｐ（２，１）

　この操作を繰り返して行くことにより、所要の結果を得ることができる。

　　　上記の例だと、

　　　　　Ｆ（ｘ，ｙ）－ｓ^3－0・ｔ⁰－（－１）ｓ^2－1・ｔ¹

　　　　＝Ｆ（ｘ，ｙ）－ｓ³＋ｓｔ

　　　　＝－ｘ²ｙ－ｘｙ²＋（ｘ＋ｙ）ｘｙ

　　　　＝０

　よって、対称式Ｆ（ｘ，ｙ）は、基本対称式ｓ、ｔの多項式として、

　　　　　　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓ³－ｓｔ　　　（証終）

　この証明で用いられた手法はガウスによるものと言われている。

　読者のために、練習問題を一つ置いておこう。

練習問題　　対称式２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴ を基本対称式で表せ。

（解）　２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴＝２ｘｙ（ｘ³＋ｙ³）＋３ｘ²ｙ²（ｘ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｘｙ｛（ｘ＋ｙ）³－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）｝＋３ｘ²ｙ²（ｘ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｘｙ（ｘ＋ｙ）³－６ｘ²ｙ²（ｘ＋ｙ）＋３ｘ²ｙ²（ｘ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｘｙ（ｘ＋ｙ）³－３ｘ²ｙ²（ｘ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２ｓ³ｔ－３ｓｔ²　　（終）

　上記の証明の手法を用いれば、次のような別解もありえるだろう。

（別解）　　２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴－２ｓ³ｔ

　　　　　＝２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴－２（ｘ＋ｙ）³ｘｙ

　　　　　＝２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴－２ｘ⁴ｙ－６ｘ³ｙ²－６ｘ²ｙ³－２ｘｙ⁴

　　　　　＝－３ｘ³ｙ²－３ｘ²ｙ³

　　　よって、　２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴－２ｓ³ｔ＋３ｓｔ²

　　　　　　　　＝－３ｘ³ｙ²－３ｘ²ｙ³＋３（ｘ＋ｙ）ｘ²ｙ²

　　　　　　　　＝０

　　　以上から、　２ｘ⁴ｙ＋３ｘ³ｙ²＋３ｘ²ｙ³＋２ｘｙ⁴＝２ｓ³ｔ－３ｓｔ²　となる。　（終）

（コメント）　証明の手法は、こうすれば必ずできるという指針みたいなもので、実戦的な計
　　　　　　算には不向きですね！

　対称式の所で、ｐ（ｍ，ｎ）に序列をつけたように、グレブナー基底という場合は各単項
式間に序列をつけて考えるようだ。

　１変数の場合は、

　　　　　　　　　１＜ｘ＜ｘ² ＜ｘ³ ＜ｘ⁴ ＜・・・

と考えるのが普通だろう。このような大小関係を、順序（ｏｒｄｅｒ）という。

　２変数の場合はどうだろうか？　たとえば、　ｘ^ｍｙ^ｎ　（０ ≦ ｍ，ｎ ≦ ２）　について、次
の２つの順序が考えられる。

（１）・・・辞書式順序（ｍ、ｎの辞書式順序で並べる！）

　　　　　　　１

＜

ｙ

＜

ｙ²

＜

ｘ

＜

ｘｙ

＜

ｘｙ²

＜

ｘ²

＜

ｘ²ｙ

＜

ｘ²ｙ²

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(2,0)

(2,1)

(2,2)

（２）・・・全次数順序（まず次数で順序付けし、同次数のときは辞書式順序で並べる！）

　　　　　　　１

＜

ｙ

＜

ｘ

＜

ｙ²

＜

ｘｙ

＜

ｘ²

＜

ｘｙ²

＜

ｘ²ｙ

＜

ｘ²ｙ²

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(0,2)

(1,1)

(2,0)

(1,2)

(2,1)

(2,2)

　※　（２）の順序は、我々が多項式の展開で降べきの順に整理する指針と同じである。

　読者のために、練習問題を置いておこう。

練習問題　　ｘ^ｍｙ^ｎｚ^ｐ　（ｍ，ｎ，ｐ ≧ ０　、ｍ＋ｎ＋ｐ＝５）　を、辞書式順序で並べよ。

（解）　項は全部で、　₃Ｈ₅＝₇Ｃ₅＝２１　個ある。

　　　ｚ⁵＜ｙｚ⁴＜ｙ²ｚ³＜ｙ³ｚ²＜ｙ⁴ｚ＜ｙ⁵＜ｘｚ⁴＜ｘｙｚ³＜ｘｙ²ｚ²＜ｘｙ³ｚ＜ｘｙ⁴＜ｘ²ｚ³
　　　　　　　　　　　　　　　　　＜ｘ²ｙｚ²＜ｘ²ｙ²ｚ＜ｘ²ｙ³＜ｘ³ｚ²＜ｘ³ｙｚ＜ｘ³ｙ²＜ｘ⁴ｚ＜ｘ⁴ｙ＜ｘ⁵

　　　（できたかな？）

　辞書式順序、全次数順序ともに、別の項を掛けても順序が逆転しないという「良い」性質
を持っている。

すなわち、数の大小比較で、正の数を掛けても割っても不等号の向きは変わらないという
性質に似ている。

　さて、　ｋを体として、２変数の多項式環ｋ［Ｘ］＝ｋ［ｘ，ｙ］を考える。この多項式環の任
意のイデアルは有限生成であることが知られている。

　０以上の自然数全体の集合を、Ｎ₀ とおく。

　ｋ［Ｘ］に含まれる係数が１の単項式の集合を、

　　　　Ｔ＝｛ｘ^ｍｙ^ｎ｜ｍ、ｎ∈Ｎ₀ ｝

とおく。　ｐ＝（ｍ，ｎ）として、　Ｘ^ｐ＝ｘ^ｍｙ^ｎ　と略記する。

　Ｔにおける全順序＜で次の条件を満たすものを項順序（term　order）という。
　　　　　　　　（全順序・・・任意のｘ、ｙについて、ｘ≧ｙ　または　ｘ≦ｙ　が成り立つ。）

（１）　任意のＸ^ｐ ∈ Ｔ　に対して、　１ ≦ Ｘ^ｐ

（２）　Ｘ^ｐ、Ｘ^ｑ、Ｘ^ｒ ∈ Ｔ　で、　Ｘ^ｐ ≦ Ｘ^ｑ　ならば、　Ｘ^ｒＸ^ｐ ≦ Ｘ^ｒＸ^ｑ

　この定義から、辞書式順序、全次数順序はともに項順序と言える。

　また、　Ｘ^ｑがＸ^ｐで割り切れることを、記号で、　Ｘ^ｐ｜Ｘ^ｑ　と表す。

　すなわち、　あるＸ^ｒ ∈ Ｔ　に対して、　Ｘ^ｑ＝Ｘ^ｐ・Ｘ^ｒ　のとき、　Ｘ^ｐ｜Ｘ^ｑ　である。

　このとき、次の事実は自明だろう。

　　　Ｘ^ｐ｜Ｘ^ｑ　のとき、任意の項順序＜について、　Ｘ^ｐ≦Ｘ^ｑ　である

　集合Ｔの要素Ｘ^ｐが極小元であるとは、

　　　Ｘ^ｑ ∈ Ｔ　で、　Ｘ^ｑ｜Ｘ^ｐ　ならば、　Ｘ^ｑ＝Ｘ^ｐ

であるときをいう。

　このとき、次の事実が知られいる。

Ｄｉｃｋｓｏｎの補題　　集合Ｔの任意の部分集合は、高々有限個の極小元しか持たない。

　このことから、単項式で生成されるイデアルは有限個の単項式で生成されることが分かる。

　グレブナー基底は、「項順序が命！」で、項順序が異なればグレブナー基底も異なるもの
となるらしい。

　さて、そろそろグレブナー基底の定義を確認しよう。

　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］の、係数が１の単項式の集合Ｔにおいて、ある項順序が入っ
ているものとする。

　整式の割り算を実行するとき、整式同士の最高次の項が重要であった。最高次の項だけ
を見て割り算を実行していると言っても言い過ぎではないだろう。

そこで、　多項式Ｆ（Ｘ）の最高次の項を、主項（Ｌｅａｄｉｎｇ　ｔｅｒｍ）といい、記号で、Ｌｔ（Ｆ）

と表すことにする。（多くの参考文献で、この記号が使われているので、それに倣うことにした！）

　主項の係数を主係数（Ｌｅａｄｉｎｇ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）といい、記号で、Ｌｃ（Ｆ） と表す。

特に、主係数が１の多項式のことを、ｍｏｎｉｃ（モニック）であるという。

　ｍｏｎｉｃな多項式は容易に作ることが出来る。　Ｆ（Ｘ）/Ｌｃ（Ｆ）とすればよい。

そこで、　Ｌｔ（Ｆ）/Ｌｃ（Ｆ）を、Ｌｐ（Ｆ） と表すことにする。

　このとき、　Ｌｐ（Ｆ）は、係数が１の単項式となる。

定義　　Ｈを多項式環ｋ［Ｘ］のイデアルとする。　Ｈの有限部分集合Ｇが

　　　　Ｈのグレブナー基底であるとは、

　　　　　　任意のＦ（Ｘ）∈Ｈに対して、あるＧ（Ｘ）∈Ｇが存在して、

　　　　　Ｌｐ（Ｆ）がＬｐ（Ｇ）で割り切れるとき（すなわち、Ｌｐ（Ｇ）｜Ｌｐ（Ｆ））をいう。

（Ｈの要素を全て割り切るような性質の良い有限個の集まりがグレブナー基底の雰囲気なんですね！）

定　理　　ｋ［Ｘ］の任意のイデアルＨに対して、

　　　　　グレブナー基底Ｇは存在し、しかも、Ｈを生成する

　１変数の多項式環の任意のイデアルは単項イデアルなので、何となく上記の定義がいう
ところのグレブナー基底が存在するだろうことは納得できる。２変数以上の多項式環にお
いても、ｋ［Ｘ］がＮｏｅｔｈｅｒ環という性質を持つので、任意のイデアルは有限生成であり
多分上記の定義を満たす集合Ｇは存在するのかな～．．．と思う。

　「多項式環の任意のイデアルが有限生成」という事実は、Ｈｉｌｂｅｒｔの基底定理と言わ
れている。

　多項式環ｋ［Ｘ］のイデアルＨが、多項式Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）により生成され
ているとき、
　　　　　　　　　　Ｈ＝（Ｇ₁、Ｇ₂、・・・、Ｇ_ｎ）

と表す。このとき、イデアルＨの任意の要素Ｆ（Ｘ）は、

　　　　　　Ｆ（Ｘ）＝Ｆ₁（Ｘ）Ｇ₁（Ｘ）＋Ｆ₂（Ｘ）Ｇ₂（Ｘ）＋・・・＋Ｆ_ｎ（Ｘ）Ｇ_ｎ（Ｘ）

　　　　　　　　　（ただし、Ｆ₁（Ｘ）、Ｆ₂（Ｘ）、・・・、Ｆ_ｎ（Ｘ）∈ｋ［Ｘ］）

と書ける。このことを、今後、　Ｆ＝Ｆ₁Ｇ₁＋Ｆ₂Ｇ₂＋・・・＋Ｆ_ｎＧ_ｎ　と略記することにする。

　ｎ＝１のときは、　Ｆ＝Ｆ₁Ｇ₁　で、これは、　ＦがＧ₁ で割り切れることを意味する。

一般に、１変数多項式において、

　多項式Ｆ（ｘ）を多項式Ｇ（ｘ）で割った商を、Ｑ（ｘ）、余りを、Ｒ（ｘ）とすると、

　　　　Ｆ（ｘ）＝Ｇ（ｘ）・Ｑ（ｘ）＋Ｒ（ｘ）

　　（ Ｒ（ｘ）＝０　または　degree（Ｒ（ｘ））＜degree（Ｇ（ｘ）） ）

が成り立ち、Ｑ（ｘ）、Ｒ（ｘ）は一意的に存在した。

　このような話を、２変数以上の多項式の場合に拡張する。

　多項式環ｋ［Ｘ］の項順序を固定し、ｎ個の多項式をＧ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）とする。

このとき、次の事実が知られている。

定　理　　任意の多項式Ｆ（Ｘ）は、Ｆ＝Ｆ₁Ｇ₁＋Ｆ₂Ｇ₂＋・・・＋Ｆ_ｎＧ_ｎ＋Ｆ’　と書ける。

　　　　　ただし、Ｆ₁、Ｆ₂、・・・、Ｆ_ｎ、、Ｆ’ は、次の条件を満たすものとする。

　　　　　（１）　Ｆ’（Ｘ）≠０　ならば、

　　　　　　　　　　Ｆ’に現れる単項式は、Ｌｐ（Ｇ_ｋ）　（ｋ＝１、２、・・・、ｎ）で割り切れない。
　　　　　　　　　　　（ここで、たとえば、Ｆ’（Ｘ）＝２ｘ²－３ｘｙ＋４ｙ³　のとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆ’に現れる単項式は、ｘ²、ｘｙ、ｙ³ である。）

　　　　　（２）　Ｌｐ（Ｆ_ｋＧ_ｋ）≦Ｌｐ（Ｆ）　（ｋ＝１、２、・・・、ｎ）

　上式のＦ’（Ｘ）のことを、Ｆの、Ｇ₁、Ｇ₂、・・・、Ｇ_ｎに関する割り算の余り という。

例　２変数多項式環ｋ［Ｘ］＝ｋ［ｘ，ｙ］において、Ｇ₁（Ｘ）＝２ｘ² ＋ｙ、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ－ｘ

　　とする。　このとき、多項式Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２　の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余

　　りを求めてみよう。

　　　Ｆに現れる単項式は、　ｘ³ 、ｘ²ｙ、ｘ、２　の４個である。

　　ここで、項順序を辞書式順序とすると、　１＜ｙ＜ｘ＜ｘｙ＜ｘ² なので、

　　　　　　　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ²　、　Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘｙ

　　Ｆに現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものは、

　　　　　　　ｘ³ 　、　ｘ²ｙ

　　の２個ある。　辞書式順序で、ｘ²ｙ＜ｘ³　より、項ｘ³ が最大のものである。

　　このｘ³ は、Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² で割り切れる。このとき、ｘ³ /Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ　である。

　　　そこで、　Ｆ（Ｘ）－（３/２）ｘ・Ｇ₁（Ｘ）＝Ｈ₁（Ｘ）　とおく。
　　　　　　　　　　　　　（↑：分子の３はＬｐ（Ｆ）＝ｘ³ の係数、分母の２は、Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² の係数）

　　すなわち、　Ｈ₁（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２－（３/２）ｘ・（２ｘ² ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２－３ｘ³ －（３/２）ｘｙ

　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ²ｙ－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ

　　となる。　このＨ₁ をＦ（Ｘ）と思って同様の計算を続ける。

　　　Ｈ₁ に現れる単項式は、　ｘ²ｙ、ｘｙ、ｘ、２　の４個である。

　　Ｈ₁ に現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものは、

　　　　　　　ｘ²ｙ　　、　ｘｙ

　　の２個ある。　辞書式順序で、ｘｙ＜ｘ²ｙ　より、項ｘ²ｙが最大のものである。

　　このｘ²ｙは、Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² で割り切れる。このとき、ｘ²ｙ /Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｙ　である。

　　　そこで、　Ｈ₁（Ｘ）－（１/２）ｙ・Ｇ₁（Ｘ）＝Ｈ₂（Ｘ）　とおく。

　　すなわち、　Ｈ₂（Ｘ）＝ｘ²ｙ－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ－（１/２）ｙ・（２ｘ² ＋ｙ）

　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ²ｙ－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ－ｘ²ｙ－（１/２）ｙ²

　　　　　　　　　　　　　　＝－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ－（１/２）ｙ²

　　　Ｈ₂ に現れる単項式は、　ｘｙ、ｘ、ｙ²、２　の４個である。

　　Ｈ₂ に現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものは、ｘｙ

　　のみで、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘｙで割り切れる。このとき、ｘｙ /Ｌｐ（Ｇ₂）＝１　である。

　　　そこで、　Ｈ₂（Ｘ）－ (（－３/２）/１）１・Ｇ₂（Ｘ）＝Ｈ₃（Ｘ）　とおく。

　　すなわち、　Ｈ₃（Ｘ）＝－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ－（１/２）ｙ²－（－３/２）（ｘｙ－ｘ）

　　　　　　　　　　　　　　＝－ｘ＋２－（３/２）ｘｙ－（１/２）ｙ²＋（３/２）ｘｙ－（３/２）ｘ

　　　　　　　　　　　　　　＝－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ²＋２

　　　Ｈ₃ に現れる単項式は、　ｘ、ｙ²、２　の３個である。

　　Ｈ₃ に現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものはない。

　以上の計算から、

　　Ｆ（Ｘ）－（３/２）ｘ・Ｇ₁（Ｘ）－（１/２）ｙ・Ｇ₁（Ｘ）－ (（－３/２）/１）１・Ｇ₂（Ｘ）

　＝－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ²＋２

すなわち、

　　Ｆ（Ｘ）＝｛（３ｘ＋ｙ）/２｝・Ｇ₁（Ｘ）－（３/２）・Ｇ₂（Ｘ）－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ²＋２

と書き下すことができる。

　よって、Ｆ（Ｘ）の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余りは、　－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ²＋２

（コメント）　割り算のアルゴリズムに従って割り算を実行しましたが、計算は単純といえども
　　　　　　結構大変ですね。このような計算をパソコンにやらせるというのは確かに正解か
　　　　　　もしれません。

　また、次のようにして割り算の余りを求めてもいいだろう。

　２変数多項式環ｋ［Ｘ］＝ｋ［ｘ，ｙ］において、Ｇ₁（Ｘ）＝２ｘ² ＋ｙ、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ－ｘ

より、　ｙ＝Ｇ₁－２ｘ²　なので、　Ｇ₂ ＝ｘ（Ｇ₁－２ｘ²）－ｘ＝ｘＧ₁－２ｘ³ －ｘ

　よって、　ｘ³ ＝（１/２）ｘＧ₁－（１/２）Ｇ₂－（１/２）ｘ

このとき、多項式　Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²（Ｇ₁－２ｘ²）－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　　　＝３ｘ³＋ｘ²Ｇ₁－２ｘ⁴－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　　　＝３｛（１/２）ｘＧ₁－（１/２）Ｇ₂－（１/２）ｘ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｘ²Ｇ₁－２ｘ｛（１/２）ｘＧ₁－（１/２）Ｇ₂－（１/２）ｘ｝－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　　　＝（３/２）ｘＧ₁－（３/２）Ｇ₂－（３/２）ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｘ²Ｇ₁－ｘ²Ｇ₁＋ｘＧ₂＋ｘ²－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　　　＝（３/２）ｘＧ₁＋｛ｘ－（３/２）｝Ｇ₂＋ｘ²－（５/２）ｘ＋２

　　ここで、さらに、　ｘ² ＝（１/２）Ｇ₁－（１/２）ｙ　なので、

　　　Ｆ（Ｘ）＝（３/２）ｘＧ₁＋｛ｘ－（３/２）｝Ｇ₂＋｛（１/２）Ｇ₁－（１/２）ｙ｝－（５/２）ｘ＋２

　　　　　　　＝｛（３ｘ＋１）/２｝Ｇ₁＋｛ｘ－（３/２）｝Ｇ₂－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ＋２

　よって、Ｆ（Ｘ）の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余りは、　－（５/２）ｘ－（１/２）ｙ＋２

（コメント）　ここで気づくことは、上記の余りが異なっているということである。１変数の場合
　　　　　　余りは一意的に定まったが、２変数以上では、余りは一意に定まらないようだ。

　　　　　　　高校２年の「数学Ⅱ」で、整式同士の割り算を学ぶ。２変数の場合の余りは必
　　　　　　ず、「０」の場合しか現れなかった。その理由は、余りが一意に定まらないからだ
　　　　　　ったのだ！

　しかしながら、割り算の方法によって、余りがその都度違っては数学にならない。どんな
風に割っても必ず余りが一意に定まるようなＧ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）が望まれる。

　実は、そのような良い性質を持つＧ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）がグレブナー基底とい
うわけらしい。

　２変数多項式環ｋ［Ｘ］＝ｋ［ｘ，ｙ］において、Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ² 、Ｇ₂（Ｘ）＝ｙがグレブナー
基底になることが知られている。

　このとき、多項式Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２　の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余りを求め
てみよう。

　　　Ｆに現れる単項式は、　ｘ³ 、ｘ²ｙ、ｘ、２　の４個である。

　　ここで、項順序を辞書式順序とすると、　１＜ｙ＜ｘ＜ｘｙ＜ｘ² なので、

　　　　　　　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ²　、　Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｙ

　　Ｆに現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものは、

　　　　　　　ｘ³ 　、　ｘ²ｙ

　　の２個ある。　辞書式順序で、ｘ²ｙ＜ｘ³　より、項ｘ³ が最大のものである。

　　このｘ³ は、Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² で割り切れる。このとき、ｘ³ /Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ　である。

　　　そこで、　Ｆ（Ｘ）－３ｘ・Ｇ₁（Ｘ）＝Ｈ₁（Ｘ）　とおく。

　　すなわち、　Ｈ₁（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２－３ｘ・ｘ² ＝ｘ²ｙ－ｘ＋２

　　　Ｈ₁ に現れる単項式は、　ｘ²ｙ、ｘ、２　の３個である。

　　Ｈ₁ に現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものは、ｘ²ｙ

　　このｘ²ｙは、Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² で割り切れる。このとき、ｘ²ｙ /Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｙ　である。

　　　そこで、　Ｈ₁（Ｘ）－ｙ・Ｇ₁（Ｘ）＝Ｈ₂（Ｘ）　とおく。

　　すなわち、　Ｈ₂（Ｘ）＝ｘ²ｙ－ｘ＋２－ｙ・ｘ² ＝－ｘ＋２

　　　Ｈ₂ に現れる単項式は、　ｘ、２　の２個である。

　　Ｈ₂ に現れる単項式の中で、Ｌｐ（Ｇ₁）、Ｌｐ（Ｇ₂）の何れかで割り切れるものはない。

　以上の計算から、　Ｆ（Ｘ）－３ｘ・Ｇ₁（Ｘ）－ｙ・Ｇ₁（Ｘ）＝－ｘ＋２

すなわち、　Ｆ（Ｘ）＝３ｘ・Ｇ₁（Ｘ） 1＋ｙ・Ｇ₁（Ｘ）－ｘ＋２

　よって、Ｆ（Ｘ）の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余りは、　－ｘ＋２

　ところで、Ｇ₁、Ｇ₂ の式の形を見て、次のように計算して割り算の余りを求める方が普通
だろう。

　２変数多項式環ｋ［Ｘ］＝ｋ［ｘ，ｙ］において、Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ² 、Ｇ₂（Ｘ）＝ｙ　より、

　　　　　　　　　　Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　＝３ｘ・ｘ²＋ｘ²・ｙ－ｘ＋２

　　　　　　　　　　　　　＝３ｘ・Ｇ₁（Ｘ）＋ｘ²・Ｇ₂（Ｘ）－ｘ＋２

　よって、Ｆ（Ｘ）の　Ｇ₁、Ｇ₂ に関する割り算の余りは、　－ｘ＋２

　このように、グレブナー基底の下では割り算の余りが一意的に定まることが推察される。

　それでは、多項式環ｋ［Ｘ］において、どのようにしてグレブナー基底を見いだせばよい
のだろうか。

　グレブナー基底の計算には、ブッフベルガー（Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ）アルゴリズムを用いる。

　このことを述べるには、またいくつかの言葉を準備しなければならない。

簡　約（ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ）　　Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２　と　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²　の上記の計算

　　　　　　　　　Ｈ₁（Ｘ）＝Ｆ（Ｘ）－３ｘ・Ｇ₁（Ｘ）

　　　　　　　　　　　　　＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２－３ｘ・ｘ²

　　　　　　　　　　　　　＝ｘ²ｙ－ｘ＋２

　　　　　において、Ｆ（Ｘ）の項３ｘ³ が、Ｇ₁（Ｘ）を用いて消去されている。

　　　このような計算を、簡約という。

　　一般に、　多項式Ｆ（Ｘ）、Ｇ（Ｘ）∈ ｋ［Ｘ］に対して、Ｆ（Ｘ）のある項ａＸ^ｐが、Ｇ（Ｘ）の最

高次の項Ｌｔ（Ｇ）で割り切れるとき、

　　　　　　　Ｈ（Ｘ）＝Ｆ（Ｘ）－｛ａＸ^ｐ/（Ｌｔ（Ｇ））｝・Ｇ（Ｘ）

を求めることを、Ｆ（Ｘ）のＧ（Ｘ）による簡約という。

例　上記のＨ₁（Ｘ）はさらに簡約ができて、　Ｈ₂（Ｘ）＝－ｘ＋２となる。

（コメント）　簡約って、余りを求める手順と似ていますね！

　この簡約という操作は、Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）の場合に次のように拡張される。

（１）　多項式Ｆ（Ｘ）∈ ｋ［Ｘ］に対して、Ｌｔ（Ｆ）が、あるＬｔ（Ｇ_ｋ）で割り切れるとき、
　　　Ｆ（Ｘ）はＧ_ｋ（Ｘ）により簡約され、得られる多項式を改めて多項式Ｆ（Ｘ）と言い換え
　　　る。

（２）　多項式Ｆ（Ｘ）∈ ｋ［Ｘ］に対して、Ｌｔ（Ｆ）が、全てのＬｔ（Ｇ_ｋ）で割り切れないときは、
　　　Ｌｔ（Ｆ）の次に大きい項について、（１）（２）を考える。

（３）　多項式Ｆ（Ｘ）∈ ｋ［Ｘ］の全ての項が、全てのＬｔ（Ｇ_ｋ）で割り切れなくなるまで、（１）
　　（２）を繰り返す。

　Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）のどの要素でも多項式Ｆ（Ｘ）が簡約できないとき、

　　　　　Ｆは、Ｇ₁、Ｇ₂、・・・、Ｇ_ｎに関して正規形である

という。正規形になるまで簡約を繰り返すことを、正規化という。

（コメント）　このことから正に、正規化とは「割り算」のことで、正規形が「余り」なんですね！

　イデアルＨのグレブナー基底Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）｝が次の条件：

　　　Ｇの任意の真部分集合はグレブナー基底にならない

を満たすとき、極小なグレブナー基底と言われる。

　さらに、極小なグレブナー基底Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）｝が次の条件：

　　（１）　任意のｋに対して、　Ｌｃ（Ｇ_ｋ）＝１

　　（２）　任意のｋに対して、Ｇ_ｋに現れる全ての項は、Ｌｐ（Ｇ_ｈ）（ｈ≠ｋ）で割り切れない

を満たすとき、被約なグレブナー基底と言われる。

　このとき、次の事実が知られている。

定　理　　ｋ［Ｘ］の任意のイデアルＨに対して、

　　　　　被約なグレブナー基底Ｇは存在し、しかも、ただ一つである

（コメント）　グレブナー基底は必ず存在するんだし、それに対して簡約を施せば、被約な
　　　　　　グレブナー基底が得られるだろうことは推察される。

　ブッフベルガー（Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ）アルゴリズムは、多項式環のイデアルＨの生成系

　　　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）｝

が既に分かっている場合に、グレブナー基底を探し求めるアルゴリズムである。

　また、いくつか言葉を準備しよう。

例　２つの多項式Ｆ（Ｘ）＝ｘ²ｙ　と　Ｇ（Ｘ）＝ｘｙ³　の最小公倍数は、ｘ²ｙ³ である。

　上記の例からも分かるように、２つの多項式　Ｆ（Ｘ）＝ｘ^ｍｙ^ｎ　と　Ｇ（Ｘ）＝ｘ^ｓｙ^ｔ　に対し

て、その最小公倍数は、　ａ＝ｍａｘ（ｍ，ｓ）　、ｂ＝ｍａｘ（ｎ，ｔ）　により、ｘ^ａｙ^ｂで求められる。

　２つの多項式Ｆ（Ｘ）と　Ｇ（Ｘ）の最小公倍数を、　Ｌ（Ｆ，Ｇ）　と表すことにする。

　いま、２つの多項式Ｆ（Ｘ）、Ｇ（Ｘ）∈ ｋ［Ｘ］に対して、 Ｌ＝Ｌ（Ｌｐ（Ｆ），Ｌｐ（Ｇ）） とし、

　　　　　　

とおく。このＳ（Ｆ，Ｇ）を、Ｆ（Ｘ）、Ｇ（Ｘ）の Ｓ多項式という。

例　Ｆ（Ｘ）＝３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２　、Ｇ（Ｘ）＝２ｘ² ＋ｘｙ－ｘ＋ｙに対して、

　　　　Ｌｔ（Ｆ）＝３ｘ³　、　Ｌｐ（Ｆ）＝ｘ³　、Ｌｔ（Ｇ）＝２ｘ²　、　Ｌｐ（Ｇ）＝ｘ²

　なので、　Ｌ＝Ｌ（ｘ³ ，ｘ² ）＝ｘ³　より、Ｆ（Ｘ）、Ｇ（Ｘ）のＳ多項式は、

　　Ｓ（Ｆ，Ｇ）＝｛ｘ³/（３ｘ³）｝（３ｘ³＋ｘ²ｙ－ｘ＋２）－｛ｘ³/（２ｘ²）｝（２ｘ² ＋ｘｙ－ｘ＋ｙ）

　　　　　　　　＝ｘ³＋（1/3）ｘ²ｙ－（1/3）ｘ＋（2/3）－｛ｘ³ ＋（1/2）ｘ²ｙ－（1/2）ｘ²＋（1/2）ｘｙ｝

　　　　　　　　＝－（1/6）ｘ²ｙ＋（1/2）ｘ²－（1/2）ｘｙ－（1/3）ｘ＋（2/3）

（コメント）　Ｓ多項式とは、２つの多項式Ｆ（Ｘ）と　Ｇ（Ｘ）の最高次の項を打ち消すように
　　　　　　して得られる多項式のようだ。

　上記で、Ｌｐ（Ｆ）とＬｐ（Ｇ）の最小公倍数Ｌが、Ｌｐ（Ｆ）・Ｌｐ（Ｇ）のとき、すなわち、

Ｌｐ（Ｆ）とＬｐ（Ｇ）が互いに素であるとき、　Ｌｃ（Ｆ）＝ｆ　、　Ｌｃ（Ｇ）＝ｇ　とすると、

　　　　　　　Ｓ（Ｆ，Ｇ）＝（Ｌｐ（Ｇ）/ｆ）Ｆ（Ｘ）－（Ｌｐ（Ｆ）/ｇ）Ｇ（Ｘ）

となる。　このことから、　Ｓ（Ｆ，Ｇ）のＦ、Ｇに関する割り算の余りは、０と言える。

　さて、ようやくブッフベルガー（Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ）アルゴリズムを述べる準備が出来たようだ。

定理（Ｂｕｃｈｂｅｒｇｅｒ判定法）

　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、・・・、Ｇ_ｎ（Ｘ）｝とし、Ｇが生成
するイデアルをＨとする。

　このとき、以下の操作を行う。

　　（１）　Ｓ（Ｇ_ｋ，Ｇ_ｈ）をＧで簡約し、その結果をＲとする。

　　　　　Ｒ ≠ ０のとき、　Ｇの要素に、Ｒを追加する。

　　（２）　すべてのＳ多項式において、Ｒ＝０　になるまで、（１）を繰り返す。

　この操作により得られる最終のＧが、イデアルＨのグレブナー基底となる。

例１　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ²－ｙ

　　により生成されているものとする。

　　このとき、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝ｘ・Ｇ₁（Ｘ）－Ｇ₂（Ｘ）＝ｙ　はＧで簡約できないので、

　　　　　Ｒ＝ｙ　とおく。

　Ｒ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒを追加する。すなわち、　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｒ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）＝ｙ・Ｇ₁（Ｘ）－ｘ・Ｒ＝ｘｙ－ｘｙ＝０

　　　　　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）＝ｙ・Ｇ₂（Ｘ）－（ｘ²－ｙ）・Ｒ＝ｘ²ｙ－ｙ²－ｘ²ｙ＋ｙ²＝０

　以上から、　Ｇ＝｛ｘ、ｘ²－ｙ、ｙ｝　がグレブナー基底となる。

　　ここで、　ｘ²－ｙは、｛ｘ、ｙ｝により簡約されるので、｛ｘ、ｙ｝が極小で被約なグレブ

　ナー基底となる。

（コメント）　当初、Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｘｙ　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ³ でグレブナー基底を計算しようと試みた
　　　　　　が、どんどん追加される多項式が発生して、手計算では収拾がつかなくなりそう
　　　　　　な気配があったので、上記のほとんど自明な計算に落ち着いてしまった。

　一見自明でなく、手計算で求まるグレブナー基底として次の問題は如何だろうか？

例２　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ－３　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ＋ｙ²－１

　　により生成されているものとする。

　　このとき、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝ｙ・Ｇ₁（Ｘ）－ｘ・Ｇ₂（Ｘ）＝－ｘｙ²＋ｘ＋ｙ²－３ｙ　を

　Ｇで簡約すると、　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＋ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ　となり、もうＧで簡約で

　きない。そこで、Ｒ＝ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ　とおく。

　Ｒ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒを追加する。すなわち、　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｒ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）＝－Ｇ₁（Ｘ）＋ｘ・Ｒ＝ｘｙ³＋ｘｙ²－４ｘｙ－ｙ＋３　をＧで

　簡約する。　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）－ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ²－４ｘｙ－ｙ⁴＋ｙ²－ｙ＋３

　　　さらに、　Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）－ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）－ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＝－４ｘｙ－ｙ⁴－ｙ³＋ｙ²＋３

　　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）－ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）－ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＋４・Ｇ₂（Ｘ）＝－ｙ⁴－ｙ³＋５ｙ²－１　で、もうＧ

　　で簡約できないので、　Ｒ’ ＝－ｙ⁴－ｙ³＋５ｙ²－１　とおくと、Ｒ’ ≠ ０なので、　Ｇの要

　素に、Ｒ’ を追加する。すなわち、

　　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｒ、Ｒ’ ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）＝Ｇ₂（Ｘ）－ｙ・Ｒ＝Ｒ’ は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ’）＝ｙ⁴ が互いに素であるので、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ’）

　は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）＝ｙ³Ｇ₁（Ｘ）＋ｘ・Ｒ’ ＝－ｘｙ³＋５ｘｙ²－ｘ＋ｙ⁵－ｙ³　を

　Ｇで簡約する。　Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）＋ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）＝５ｘｙ²－ｘ＋ｙ⁵＋ｙ⁴－ｙ³－ｙ²

　　　さらに、　Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）＋ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）－５ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＝－ｘ＋ｙ⁵＋ｙ⁴－６ｙ³－ｙ²＋５ｙ

　　　　Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）＋ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）－５ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＋Ｒ＝ｙ⁵＋ｙ⁴－５ｙ³＋ｙ

　　　　Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）＋ｙ²・Ｇ₂（Ｘ）－５ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＋Ｒ＋ｙ・Ｒ’ ＝０　となり、

　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｒ）＝ｘとＬｐ（Ｒ’）＝ｙ⁴ が互いに素であるので、　Ｓ多項式Ｓ（Ｒ，Ｒ’）は、

　Ｇで簡約されて、０になる。

　以上から、全てのＳ多項式が、Ｇにより簡約されて、０になるので、

　　　Ｇ＝｛ｘ²＋ｙ－３、ｘｙ＋ｙ²－１、ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ、－ｙ⁴－ｙ³＋５ｙ²－１｝

が求めるグレブナー基底となる。

　ここで、

　　　Ｇ₁（Ｘ）－（ｘ－ｙ³ －ｙ² ＋４ｙ）・Ｒ＝ｙ⁶＋２ｙ⁵－７ｙ⁴－８ｙ³＋１６ｙ²＋ｙ－３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（－ｙ² －ｙ＋３）・Ｒ’　より、

　　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝（ｘ－ｙ³ －ｙ² ＋４ｙ）・Ｒ＋（－ｙ² －ｙ＋３）・Ｒ’

　また、　Ｇ₂（Ｘ）－ｙ・Ｒ＝－ｙ⁴－ｙ³＋５ｙ²－１＝Ｒ’　より、　Ｇ₂（Ｘ）＝ｙ・Ｒ＋Ｒ’

　したがって、イデアルＨの極小で被約なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ、ｙ⁴＋ｙ³－５ｙ²＋１｝

であると言える。

（コメント）　かなりシンドイ計算でしたね。手順は決まっているので、コンピュータにやらせ
　　　　　　たいという気持ちが十分に伝わってくる問題でした。

　多項式の中に定数ｋを含む場合も同様にグレブナー基底を求めることはできる。

例３　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ²－１　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ＋ｙ－ｋ

　　により生成されているものとする。

　　このとき、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝Ｇ₁（Ｘ）－ｘ・Ｇ₂（Ｘ）＝－ｘｙ＋ｋｘ＋ｙ²－１　を

　Ｇで簡約する。　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＋ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＝ｋｘ＋２ｙ²－ｋｙ－１　で、さらに、

　　　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＋ｙ・Ｇ₂（Ｘ）－ｋ・Ｇ₂（Ｘ）＝２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１

　となり、もうＧで簡約できない。そこで、Ｒ＝２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１　とおく。

　Ｒ ≠ ０なので、Ｇの要素に、Ｒを追加する。すなわち、　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｒ｝

　　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ）＝ｙ² および、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙ² が互い

に素であるので、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）、Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）はともにＧで簡約されて、０になる。

　以上から、全てのＳ多項式が、Ｇにより簡約されて、０になるので、

　　　Ｇ＝｛ｘ²＋ｙ²－１、ｘ＋ｙ－ｋ、２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１｝

が求めるグレブナー基底となる。

　ここで、

　　　Ｇ₁（Ｘ）－（ｘ－ｙ）・Ｇ₂（Ｘ）＝Ｒ　より、　Ｇ₁（Ｘ）＝（ｘ－ｙ）・Ｇ₂（Ｘ）＋Ｒ

　したがって、イデアルＨの極小なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ－ｋ、２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１｝

であると言える。

グレブナー基底の応用

例１　財布の中に３７円入っている。硬貨の数を最小にしたい。それは、どのような場
　　合か？

　この問いかけに対しては、１円玉が２個、５円玉が１個、１０円玉が３個の計６個が最小で
あることは明らかだろう。

　この問いを、敢えて「グレブナー基底」を用いて、解いてみることにする。

　１円玉がａ個、５円玉がｂ個、１０円玉がｃ個あるとすると、上記の問題は、

　　　　ａ＋５ｂ＋１０ｃ＝３７　、　ａ、ｂ、ｃは０以上の整数

という拘束条件のもとで、　「 ａ＋ｂ＋ｃの最小値を求めよ 」ということである。

　１円玉を文字ｘ、５円玉を文字ｙ、１０円玉を文字ｚで表し、例えば、１円玉が７個、５円
玉が２個、１０円玉が２個財布に入っている状態を多項式ｘ⁷ｙ²ｚ² で表すことにする。

　このとき、グレブナー基底Ｇは、　Ｇ＝｛ｘ⁵－ｙ，ｙ²－ｚ｝　となることが知られている。

いま、多項式ｘ⁷ｙ²ｚ² をＧで割ることを考える。

　　　　　　ｘ⁷ｙ²ｚ²＝（ｘ⁵－ｙ）ｘ²ｙ²ｚ²＋ｘ²ｙ³ｚ²

　　　　　　ｘ²ｙ³ｚ²＝（ｙ²－ｚ）ｘ²ｙｚ²＋ｘ²ｙｚ³

　上記の計算から、 ｘ²ｙｚ³ が、ｘ⁷ｙ²ｚ² のＧによる余りとなる。

　ｘ²ｙｚ³ を翻訳すると、「１円玉が２個、５円玉が１個、１０円玉が３個」の場合となる。

（コメント）　面白い計算例ですね！

例２　連立１次方程式　ｘ＋ｙ－ｚ＝０　、ｘ－ｙ＋３ｚ＝２　の解で、原点に最も近い解を
　　求めよ。

　　　高校生風に解けば次のような解が得られるだろう。

　　連立方程式より、　ｙ＝１－２ｘ　、　ｚ＝１－ｘ　なので、

　　　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝ｘ²＋（１－２ｘ）²＋（１－ｘ）²

　　　　　　　　　　＝６ｘ²－６ｘ＋２

　　　　　　　　　　＝６（ｘ－１/２）²＋１/２

　　よって、　点（１/２，０，１/２）が最も原点に近い点である。

　この例についても、３つの多項式ｘ＋ｙ－ｚ　、　ｘ－ｙ＋３ｚ－２　、　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｋ² が生
成するイデアルのグレブナー基底を求めることにより解決できるらしい。（Ａ’ｚさんより示唆）

例３　連立方程式の同値変形

　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ－３　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ＋ｙ²－１

　により生成されているとき、上記の計算から、極小で被約なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ、ｙ⁴＋ｙ³－５ｙ²＋１｝

　であった。

　　連立方程式　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ－３＝０　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘｙ＋ｙ²－１＝０　において、

　　　　ｘ² ＝３－ｙ　から、　（ｘｙ）² ＝（１－ｙ²）² ＝１－２ｙ²＋ｙ⁴

　よって、　（３－ｙ）ｙ² ＝１－２ｙ²＋ｙ⁴ から、　ｙ⁴＋ｙ³－５ｙ²＋１＝０　が得られる。

　　また、　ｙ・Ｇ₁（Ｘ）－ｘ・Ｇ₂（Ｘ）＋ｙ・Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ　なので、

　　　　　　ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ＝０

　が得られる。　以上から、連立方程式　ｘ²＋ｙ－３＝０　、ｘｙ＋ｙ²－１＝０　を考えるこ

　とは、連立方程式ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ＝０　、ｙ⁴＋ｙ³－５ｙ²＋１＝０　を考えることに同値

　である。

（コメント）　方程式ｙ⁴＋ｙ³－５ｙ²＋１＝０　は、１変数ｙのみなので非常に解きやすい。
　　　　　　しかも、ｙの値が求まれば、ｘ＋ｙ³＋ｙ²－４ｙ＝０から、ｘの値も直ちに求まる。
　　　　　　グレブナー基底って、解きやすい連立方程式に変換する効果もあるのですね！

例４　連立一次方程式の解法

　連立方程式　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ－ｙ－３＝０　、Ｇ₂（Ｘ）＝２ｘ＋３ｙ－１＝０　を解くことを考え

る。２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ－ｙ－３　、Ｇ₂（Ｘ）＝２ｘ＋３ｙ－１

により生成されているとする。

　このとき、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝２・Ｇ₁（Ｘ）－Ｇ₂（Ｘ）＝－５ｙ－５　は、もうＧで簡約

できない。そこで、Ｒ＝－５ｙ－５　とおくと、Ｒ ≠ ０なので、Ｇの要素に、Ｒを追加する。

　すなわち、　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｒ｝　となる。

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙが互いに素であるので、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）は、

Ｇで簡約されて、０になる。

　同様に、　Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙが互いに素であるので、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）は、

Ｇで簡約されて、０になる。

　ここで、

　　　－５・Ｇ₁（ｘ）＋Ｒ＝－５ｘ＋１０　より、　Ｇ₁（ｘ）＝（１/５）Ｒ＋ｘ－２

　　　５・Ｇ₂（ｘ）＋３Ｒ＝１０ｘ－２０　より、　Ｇ₂（ｘ）＝（－３/５）Ｒ＋２（ｘ－２）

より、　イデアルＨのグレブナー基底は、　Ｇ＝｛ｘ－２　、－５ｙ－５｝　で、極小で被約な

グレブナー基底は、
　　　　　　　　　　　　　　Ｇ＝｛ｘ－２　、ｙ＋１｝

となる。

　したがって、連立方程式の解は、ｘ－２＝０　、ｙ＋１＝０　より、ｘ＝２　、ｙ＝－１　となる。

（コメント）　普通に解いた方が絶対速いと思う方が大多数だろう。私もそう思う。ただ、上記
　　　　　　の解法はすんなり計算機にやらせることが可能だそうで、それがグレブナー基底
　　　　　　の「よさ」と言われている。

例５　２曲線の交わり

　２変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）｝

　　　　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ²－１　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ＋ｙ－ｋ

により生成されているとき、上記の計算から、極小なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ－ｋ、２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１｝

であった。

　２曲線　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ²－１＝０　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ＋ｙ－ｋ＝０　の交わりについては、

グラフ描画ソフトを用いれば瞬時に視覚化できるし、代数計算でも高校２年で学ぶ「数学

Ⅱ」の範囲で求めれば容易だろう。

　　　原点と直線ｘ＋ｙ－ｋ＝０　の距離の

　　公式を用いて

　　　　　

　　　よって、２曲線が交わるための条件は、

　　　　　　－ ≦ ｋ ≦

　　　となる。

　グレブナー基底を用いれば、２次方程式２ｙ²－２ｋｙ＋ｋ²－１＝０　から判別式により、

　　　Ｄ/４＝ｋ²－２（ｋ²－１）＝２－ｋ² ≧ ０　から、　－ ≦ ｋ ≦ 　とでも求める

のだろうか？

（コメント）　この計算も何となくグレブナー基底を用いた方が計算機の計算にのるような、
　　　　　　そんな．．．気配！

例６　式の値の計算

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝３　、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝９　、ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝２４　のとき、ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴　の
　値を求めよ。

　これは、次のように計算するのが普通だろう。

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ）²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）　より、　９＝９＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）

　　　　よって、　ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝０

　また、　（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）｝＝ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－３ｘｙｚ　より、

　　　３×９＝２４－３ｘｙｚ　なので、　ｘｙｚ＝－１

　以上から、ｘ、ｙ、ｚは、３次方程式ｔ³－３ｔ²＋１＝０　の解である。

　　すなわち、　ｘ³＝３ｘ²－１　、ｙ³＝３ｙ²－１　、ｚ³＝３ｚ²－１

　このとき、　ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴＝ｘ（３ｘ²－１）＋ｙ（３ｙ²－１）＋ｚ（３ｚ²－１）

　　　　　　　　　　　　　　　＝３（ｘ³＋ｙ³＋ｚ³）－（ｘ＋ｙ＋ｚ）

　　　　　　　　　　　　　　　＝３×２４－３

　　　　　　　　　　　　　　　＝６９

　この問題を、グレブナー基底を用いて計算してみよう。

　３変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）｝

　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ－３　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－９　、Ｇ₃（Ｘ）＝ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－２４

により生成されているものとする。

　このとき、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝－ｘ・Ｇ₁（Ｘ）＋Ｇ₂（Ｘ）＝－ｘ（ｙ＋ｚ－３）＋ｙ²＋ｚ²－９

をＧで簡約する。

　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＋（ｙ＋ｚ－３）・Ｇ₁（Ｘ）＝２ｙ²＋２ｙｚ－６ｙ＋２ｚ²－６ｚ　となり、もうＧで簡約

できない。そこで、Ｒ＝２ｙ²＋２ｙｚ－６ｙ＋２ｚ²－６ｚ　とおく。

　Ｒ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒを追加する。すなわち、

　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙ² 　および、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ）＝ｙ² 、

Ｌｐ（Ｇ₃）＝ｘ³ とＬｐ（Ｒ）＝ｙ² が互いに素であるので、

　　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）　、Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）　、Ｓ（Ｇ₃，Ｒ）

は何れも、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）＝－ｘ²・Ｇ₁（Ｘ）＋Ｇ₃（Ｘ）＝－ｘ²（ｙ＋ｚ－３）＋ｙ³＋ｚ³－２４

をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）＋（ｙ＋ｚ－３）・Ｇ₂（Ｘ）－｛（２ｙ－ｚ＋３）/２｝・Ｒ＝３ｚ³－９ｚ²＋３

　上式はもうＧで簡約できない。そこで、Ｒ’ ＝３ｚ³－９ｚ²＋３　とおく。

　Ｒ’ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒ’ を追加する。すなわち、

　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ、Ｒ’ ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘとＬｐ（Ｒ’）＝ｚ³ 　および、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ’）＝ｚ³ 、

Ｌｐ（Ｇ₃）＝ｘ³ とＬｐ（Ｒ’）＝ｚ³ 、Ｌｐ（Ｒ）＝ｙ² とＬｐ（Ｒ’）＝ｚ³ が互いに素であるので、

　　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ’）　、Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）　、Ｓ（Ｇ₃，Ｒ’）　、Ｓ（Ｒ，Ｒ’）

は何れも、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｇ₃）＝－ｘ・Ｇ₂（Ｘ）＋Ｇ₃（Ｘ）＝－ｘ（ｙ²＋ｚ²－９）＋ｙ³＋ｚ³－２４

をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｇ₂，Ｇ₃）＋（ｙ²＋ｚ²－９）・Ｇ₁（Ｘ）－｛（２ｙ－ｚ＋３）/２｝・Ｒ＝３ｚ³－９ｚ²＋３＝Ｒ’

となり、Ｇで簡約されて、０になる。

　以上から、全てのＳ多項式が、Ｇにより簡約されて、０になるので、

　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ＋ｚ－３、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－９、ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－２４、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ｙ²＋２ｙｚ－６ｙ＋２ｚ²－６ｚ、３ｚ³－９ｚ²＋３｝

が求めるグレブナー基底となる。

　ここで、

　　　Ｇ₂（Ｘ）－（ｘ－ｙ－ｚ＋３）・Ｇ₁（Ｘ）＝Ｒ　より、

　　　　　　Ｇ₂（Ｘ）＝（ｘ－ｙ－ｚ＋３）・Ｇ₁（Ｘ）＋Ｒ

　　　Ｇ₃（Ｘ）－ｘ・Ｇ₂（Ｘ）＋（ｙ²＋ｚ²－９）・Ｇ₁（Ｘ）－｛（２ｙ－ｚ＋３）/２｝・Ｒ＝Ｒ’　より、

　　　　　　Ｇ₃（Ｘ）＝ｘ・Ｇ₂（Ｘ）－（ｙ²＋ｚ²－９）・Ｇ₁（Ｘ）＋｛（２ｙ－ｚ＋３）/２｝・Ｒ＋Ｒ’

　したがって、イデアルＨの極小で被約なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ＋ｚ－３、ｙ²＋ｙｚ－３ｙ＋ｚ²－３ｚ、ｚ³－３ｚ²＋１｝

であると言える。

　さて、いよいよ問題の解法に移ろう。（←準備がエライ大変でしたね！）

　ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴　の、Ｇ₁、Ｒ、Ｒ’ に関する割り算の余りを求める。

　ｘ⁴＋ｙ⁴＋ｚ⁴ ＝｛ｘ³－（ｙ＋ｚ－３）ｘ²＋（ｙ＋ｚ－３）²ｘ－（ｙ＋ｚ－３）³ ｝・Ｇ₁（Ｘ）

　　　　　　　　　　　＋｛２ｙ²＋（２ｚ－３）ｙ＋２ｚ²－１８ｚ＋３６｝・Ｒ

　　　　　　　　　　　＋１２・Ｒ’

　　　　　　　　　　　＋６９

　したがって、求める値は、６９　である。（←前の結果と一致して一安心！）

例７　共通根を持たない場合のグレブナー基底

　　連立方程式　ｘ＋ｙ＝０　、ｘ²－１＝０　、ｙ²－２ｘ＝０　の解はないことを示せ。

　これは、次のように計算すれば容易だろう。

　　ｘ²－１＝０　より、　ｘ＝１、－１　で、ｘ＋ｙ＝０　から、

　　　　　　（ｘ，ｙ）＝（１，－１）　、　（－１，１）

　　そこで、　（ｘ，ｙ）＝（１，－１）　のとき、

　　　　　　ｙ²－２ｘ＝（－１）²－２・１＝１－２＝－１≠０

　　　　　　　　（ｘ，ｙ）＝（－１，１）　のとき、

　　　　　　ｙ²－２ｘ＝１²－２（－１）＝１＋２＝３≠０

　　以上から、連立方程式には共通の解がないことが分かる。

　グラフ描画ソフトを用いれば、一瞬で了解されるだろう。

　　　左図において、どの２つの曲線も、

　　最大２点でしか交わっていない。

　この問題を、グレブナー基底を用いて計算したらどうなるのだろうか？

　共通解がないのだから、未知数ｘ、ｙを含む多項式では記述され得ないであろう。

ということは、グレブナー基底は、｛１｝　かな？

　恐いもの見たさに、少し興味があるので計算してみよう。

　３変数の多項式環ｋ［Ｘ］において、イデアルＨが、次のＧ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）｝

　　Ｇ₁（Ｘ）＝ｘ＋ｙ　、Ｇ₂（Ｘ）＝ｘ²－１　、Ｇ₃（Ｘ）＝ｙ²－２ｘ

により生成されているものとする。

　このとき、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＝－ｘ・Ｇ₁（Ｘ）＋Ｇ₂（Ｘ）＝－ｘｙ－１

をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）＋ｙ・Ｇ₁（Ｘ）＝ｙ²－１　となり、もうＧで簡約できない。そこで、

　　Ｒ＝ｙ²－１　とおく。　Ｒ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒを追加する。すなわち、

　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₂）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙ² 　および、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ）＝ｙ² 、

Ｌｐ（Ｇ₃）＝ｘとＬｐ（Ｒ）＝ｙ² が互いに素であるので、

　　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ）　、Ｓ（Ｇ₂，Ｒ）　、Ｓ（Ｇ₃，Ｒ）

は何れも、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）＝２Ｇ₁（Ｘ）＋Ｇ₃（Ｘ）＝ｙ²＋２ｙ　をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）－Ｒ＝２ｙ＋１

　上式はもうＧで簡約できない。そこで、Ｒ’ ＝２ｙ＋１　とおく。

　Ｒ’ ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒ’ を追加する。すなわち、

　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ、Ｒ’ ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｇ₃）は、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、　Ｌｐ（Ｇ₁）＝ｘとＬｐ（Ｒ’）＝ｙ　および、Ｌｐ（Ｇ₂）＝ｘ² とＬｐ（Ｒ’）＝ｙ、

Ｌｐ（Ｇ₃）＝ｘとＬｐ（Ｒ’）＝ｙが互いに素であるので、

　　　Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₁，Ｒ’）　、Ｓ（Ｇ₂，Ｒ’）　、Ｓ（Ｇ₃，Ｒ’）

は何れも、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、Ｓ多項式Ｓ（Ｇ₂，Ｇ₃）＝２Ｇ₂（Ｘ）＋ｘ・Ｇ₃（Ｘ）＝ｘｙ²－２　をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｇ₂，Ｇ₃）－ｘ・Ｇ₃（Ｘ）＝２ｘ²－２＝２Ｇ₂

となり、Ｇで簡約されて、０になる。

　また、Ｓ多項式Ｓ（Ｒ，Ｒ’）＝－２Ｒ＋ｙ・Ｒ’＝ｙ＋２　をＧで簡約する。

　　　Ｓ（Ｒ，Ｒ’）－（１/２）Ｒ’＝３/２　となり、もうＧで簡約できない。そこで、

　　Ｒ” ＝１　とおく。　Ｒ” ≠ ０なので、　Ｇの要素に、Ｒ” を追加する。すなわち、

　　　　　Ｇ＝｛Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ、Ｒ’、Ｒ” ｝

　これにより、　Ｓ多項式Ｓ（Ｒ，Ｒ’）は、Ｇで簡約されて、０になる。　

　以上から、全てのＳ多項式が、Ｇにより簡約されて、０になるので、

　　　Ｇ＝｛ｘ＋ｙ、ｘ²－１、ｙ²－２ｘ、ｙ²－１、２ｙ＋１、１｝

が求めるグレブナー基底となる。

　ここで、　Ｇ₁（Ｘ）、Ｇ₂（Ｘ）、Ｇ₃（Ｘ）、Ｒ、Ｒ’は全てＲ” の倍数であるので、イデアルＨの

極小で被約なグレブナー基底は、

　　　　　Ｇ＝｛１｝

であると言える。　（グレブナー基底の概念からすれば当然の帰結かな？）

（コメント）　いや～、手計算でグレブナー基底を求めるのは本当に大変ですね。何でも、最
　　　　　　近の数式処理ソフトには標準でグレブナー基底を求める機能がついているそうで、
　　　　　　それを用いれば、上記の計算は大幅に短縮されますね。

　　　　　　　もしかしたら、ほんの数行で計算が終了してしまう．．．予感。

　　　　　　　でも、手計算でグレブナー基底を求めて、その応用を考えましたが、計算機を用
　　　　　　いては分からないであろう計算の機微というものが十分に味わえたように思いま
　　　　　　す。グレブナー基底のさらなる応用を模索することを、これからの研究課題として、
　　　　　　とりあえずこのページを終結させたいと思います。

　　　　　　　ここまで、計算に付き合っていただいた方に感謝いたします。

（参考文献：日比孝之　著　　グレブナー基底の現在　（数学書房）
　　　　　　　丸山正樹　著　　グレブナー基底とその応用　（共立出版）
　　　　　　　　野呂正行・横山和弘　著　グレブナー基底の計算基礎編　（東京大学出版会）
　　　　　　　　三村征男他　著　　代数学と幾何学　（裳華房）
　　　　　　　　柴岡泰光　著　　線形空間　（裳華房））