群とは、一つの演算（＋、×など．．．）をもつ集合をいう。詳しくは次のように定義される。
集合 Ｇ に対して、写像 Ｆ ： Ｇ×Ｇ → Ｇ が次の条件を満たすとき、Ｇ は群をなす。
１．（結合法則） Ｆ（ａ，Ｆ（ｂ，ｃ））＝Ｆ（Ｆ（ａ，ｂ），ｃ）
２．（単位元の存在） ある ｅ ∈ Ｇ が存在して、全ての ａ ∈ Ｇ に対して、Ｆ（ ｅ ，ａ））＝ ａ
３．（逆元の存在） 全ての ａ ∈ Ｇ に対して、ある ａ-1 ∈ Ｇ が存在して、Ｆ（ ａ-1 ，ａ））＝ ｅ
いま、Ｆ（ａ，ｂ）＝ａ＋ｂ と書くことにする。
このとき、上記の１．２．３．は、次のように書き直せる。
１’．ａ＋（ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｂ）＋ｃ
２’．ある ｅ が存在して、全ての ａ に対して、 ｅ＋ａ＝ ａ
３’．全ての ａ に対して、ある ａ-1 が存在して、 ａ-1＋ ａ ＝ ｅ
これらから、 ｅ を ０、ａ-1 を −ａ と考えれば、我々のよく知る加法の性質そのものであ
ることに気づかされる。
したがって、整数全体 Ｚ は、加法を演算として群をなす。これを、有理整数加群という。
ところが、整数全体 Ｚ は、乗法を演算としては群をなさない。
なぜなら、単位元 １ は存在するが、逆元が存在しない場合がある（←ほとんどそう！）か
らである。
今後、群の演算を積の形で表すことにする。すなわち、 Ｆ（ａ，ｂ）＝ａｂ とする。
ここで、２．の単位元は、正しくは左単位元といわれる。
左単位元が存在すれば、右単位元も存在して、両者は一致する
実際に、ａｅ＝ｅａｅ＝（ａ-1）-1ａ-1ａａ-1ａ＝（ａ-1）-1ｅａ-1ａ＝（ａ-1）-1ａ-1ａ＝ｅａ＝ａ から明ら
かであろう。
同様に、３．の逆元は、正しくは左逆元といわれる。
左逆元が存在すれば、右逆元も存在して、両者は一致する
実際に、ａａ-1＝ｅａａ-1＝（ａ-1）-1ａ-1ａａ-1＝（ａ-1）-1ｅａ-1＝（ａ-1）-1ａ-1＝ｅ
また、 逆元の逆元は、元に返る（逆元の一意性）
実際に、ｅ＝ａａ-1 に対して、ｅ（ａ-1）-1＝ａａ-1（ａ-1）-1 より、（ａ-1）-1＝ａｅ＝ａ
例１． 有理数全体 Ｑ は、加法を演算として群をなす。
有理数全体から ０ を除いた集合 Ｑ−｛０｝は、乗法を演算として群をなす。
例２． 実数全体 Ｒ は、加法を演算として群をなす。
実数全体から ０ を除いた集合 Ｒ−｛０｝は、乗法を演算として群をなす。
例３． 自然数全体 Ｎ は、加法を演算としては群をなさない。
（→ 単位元、逆元が存在しない．．．。）
例４． ２の倍数全体 ２Ｚ は、加法を演算として群をなす。
例５． ｎ 文字 ｛ １，２，３，・・・，ｎ ｝ の置換全体を、Ｇ とする。
σ、τ∈Ｇ に対して、その積 στ を、 （στ）（ｋ）＝σ（τ（ｋ）） により定義する。
このとき、Ｇ は群をなす。
単位元は、恒等置換が、逆元は、逆置換がそれぞれ対応する。
例５ において、 σ、τ∈Ｇ に対して、 στ ≠ τσ である。
実際に、 例えば、 σ＝（１ ３）、τ＝（１ ２ ３） とすると、
στ＝（１ ２）、τσ＝（２ ３） なので、 στ≠τσ である。
このように、群において、στ ≠ τσ であるとき、非可換群といわれる。
例６． ｎ 次の正則行列全体 ＧＬｎ（Ｒ） は、乗法を演算として、非可換群をなす。
単位元は、単位行列が、逆元は、逆行列がそれぞれ対応する。
例６ において、 例えば、ｎ＝２ のとき、
から明らかに非可換である。
次の定理は、方程式の解法における群の概念の果たす役割を我々に気づかせてくれる。
定理 群 Ｇ において、ａ、ｂ∈Ｇ とする。
このとき、方程式 ａｘ＝ｂ 、ｙａ＝ｂ の解は存在して、しかも唯一つである。
（証明） 解の存在： ｘ＝ａ-1ｂ または ｙ＝ｂａ-1 とおけばよい。
解の一意性： 解が２つ存在したとする。たとえば、ａｘ1＝ｂ 、ａｘ2＝ｂ
このとき、 ａｘ1＝ａｘ2 より、ａ-1ａｘ1＝ａ-1ａｘ2 すなわち、ｘ1＝ｘ2
よって、明らか。（証終）
群 Ｇ に対して、Ｈ をその部分集合とする。Ｇと同じ演算がＨにも定義され、単位元、逆元
をＨ内に持つとき、Ｈを、Ｇの部分群という。詳しくは次のように定義される。
群 Ｇ の部分集合 Ｈ が次の条件を満たすとき、Ｈ を Ｇ の部分群という。
１．（演算が閉じていること） ａ 、ｂ ∈ Ｈ に対して、ａｂ ∈ Ｈ
２．（単位元の存在） ｅ ∈ Ｈ
３．（逆元の存在） ａ ∈ Ｈ に対して、ａ-1 ∈ Ｈ
次の定理は、ある集合が部分群かどうかの判定条件を与える。
定理 群 Ｇ に対して、Ｈ をその部分集合とする。
このとき、Ｈが部分群となるための必要十分条件は、
（１） Ｈ は空でない。
（２） ａ 、ｂ ∈ Ｈ に対して、ａｂ-1 ∈ Ｈ
が成り立つことである。
（証明） 必要であること：
（１） ｅ ∈ Ｈ より、Ｈは空でない。
（２） ｂ ∈ Ｈ より、ｂ-1 ∈ Ｈ よって、 ａｂ-1 ∈ Ｈ
十分であること： Ｈは空でないので、ｍ ∈ Ｈ が存在する。
このとき、ｍｍ-1 ∈ Ｈ すなわち、 ｅ ∈ Ｈ
さらに、ａ ∈ Ｈ に対して、ｅａ-1 ∈ Ｈ より、ａ-1 ∈ Ｈ
また、ａ 、ｂ ∈ Ｈ に対して、ａ 、ｂ-1 ∈ Ｈ なので、
ａ（ｂ-1）-1 ∈ Ｈ すなわち、 ａｂ ∈ Ｈ （証終）
次に、与えられた群がどのような構造を持つのかを調べる一つの道具として、準同型写像
なるものを定義しよう。
２つの群 Ｇ1、Ｇ2 に対して、写像 Ｆ ： Ｇ1 → Ｇ2 が、
Ｆ（ａｂ）＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ） ａ 、ｂ ∈ Ｇ1
をみたすとき、Ｆ を、準同型写像という。
（上記の定義で、正しくは、Ｇ1、Ｇ2 における演算○、＊を用いて、Ｆ（ａ○ｂ）＝Ｆ（ａ）＊Ｆ（ｂ）としなければいけない
ところだが、紛れがないので省略した。）
この準同型写像はとても素直な性質：単位元を単位元に、逆元を逆元に写す を持つ。
定理 ２つの群 Ｇ1、Ｇ2 と、準同型写像 Ｆ ： Ｇ1 → Ｇ2 が与えられている。
このとき、
（１） Ｆ（ｅ1）＝ｅ2 （ｅ1、ｅ2 は、それぞれＧ1、Ｇ2 の単位元）
（２） Ｆ（ａ-1）＝Ｆ（ａ）-1
が成り立つ。
（証明） （１） Ｆ（ｅ1）＝Ｆ（ｅ1ｅ1）＝Ｆ（ｅ1）Ｆ（ｅ1） より、
Ｆ（ｅ1）-1Ｆ（ｅ1）＝Ｆ（ｅ1）-1Ｆ（ｅ1）Ｆ（ｅ1） すなわち、 ｅ2＝ｅ2Ｆ（ｅ1）＝Ｆ（ｅ1）
（２） Ｆ（ａ-1）Ｆ（ａ）＝Ｆ（ａ-1ａ）＝Ｆ（ｅ1）＝ｅ2 なので、
Ｆ（ａ-1）Ｆ（ａ）Ｆ（ａ）-1＝ｅ2Ｆ（ａ）-1 より、Ｆ（ａ-1）ｅ2＝ｅ2Ｆ（ａ）-1
よって、 Ｆ（ａ-1）＝Ｆ（ａ）-1 （証終）
２つの群 Ｇ1、Ｇ2 に対して、準同型写像 Ｆ ： Ｇ1 → Ｇ2 が、全単射であるとき、同型写像
といわれる。このとき、２つの群 Ｇ1、Ｇ2 は同型であるという。
（同型とは、群としての構造上、全く同一視されるということである。）
２つの群 Ｇ1、Ｇ2 と準同型写像 Ｆ ： Ｇ1 → Ｇ2 に対して、Ｇ2 の単位元 ｅ2 の原像の集合
を、Ｆ の核という。すなわち、
ｋｅｒ Ｆ ＝｛ ａ ∈ Ｇ1 | Ｆ（ａ） ＝ ｅ2 ｝
ｋｅｒ Ｆ は、群 Ｇ1 の部分群である。
実際に、 Ｆ（ｅ1）＝ｅ2 なので、ｅ1 ∈ ｋｅｒ Ｆ より、 ｋｅｒ Ｆ は空でない。
また、ａ 、ｂ ∈ ｋｅｒ Ｆ に対して、 Ｆ（ａ）＝ｅ2 、Ｆ（ｂ）＝ｅ2
このとき、 Ｆ（ａｂ-1）＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ）-1＝ｅ2ｅ2-1＝ｅ2 より、ａｂ-1 ∈ ｋｅｒ Ｆ
以上から、 ｋｅｒ Ｆ は、Ｇ1 の部分群である。
例７．有理整数加群 Ｚ において、写像 Ｆ ： Ｚ → Ｚ を、 Ｆ（ｘ）＝ａｘ （ａ 、ｘ ∈ Ｚ ）
により定義する。
このとき、明らかに、Ｆ は準同型写像で、
ａ＝０ ならば、 ｋｅｒ Ｆ＝Ｚ で、 ａ≠０ ならば、 ｋｅｒ Ｆ＝｛ ０ ｝ である。
例８．写像 Ｆ ： Ｒ → Ｒ＋＝｛ ｘ∈ Ｒ | ｘ＞０ ｝ を、Ｆ（ａ）＝ｅａ （ｅ は自然対数の底）によ
り定義する。
このとき、Ｆ は、加法群 Ｒ から乗法群Ｒ＋ への同型写像で、ｋｅｒ Ｆ＝｛ ０ ｝。
実際に、Ｆ（ａ＋ｂ）＝ ｅａ＋ｂ ＝ ｅａｅｂ ＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ） より、Ｆ は、準同型写像で、明らかに
全単射であるので、同型写像となる。また、ｅａ＝１となるのは、ａ＝０ のみ。
例９．写像 Ｆ ： ＧＬｎ（Ｒ） → Ｒ＊＝｛ ｘ ∈ Ｒ | ｘ≠０ ｝ を、 Ｆ（Ａ）＝ｄｅｔＡ により定義する。
このとき、Ｆ は、乗法群 ＧＬｎ（Ｒ） から乗法群Ｒ＊ への準同型写像であるが、同型写像
ではない。
実際に、Ｆ（ＡＢ）＝ ｄｅｔＡＢ ＝ ｄｅｔＡｄｅｔB ＝Ｆ（Ａ）Ｆ（Ｂ） より、Ｆ は、準同型写像。
また、Ｆ は全射である。（任意の ｘ に対して、（１，１）成分が ｘ 、他の対角成分は １ 、残り
の成分が ０ の行列を Ａ とすれば、Ｆ（Ａ）＝ ｘ ）
しかるに、Ｆ は単射ではない。（上記のような行列で、（１，１）成分が ２ である行列 Ａ と
（２，２）成分が ２ である行列 Ｂに対して、Ｆ（Ａ）＝Ｆ（Ｂ） だから）
ここで、ｋｅｒ Ｆ＝｛ Ａ ∈ ＧＬｎ（Ｒ） | ｄｅｔＡ ＝ １ ｝＝ＳＬｎ（Ｒ）は、特殊線形群といわれる。
さて、整数の集まり（ Ｚ ）の中で、仲間同士分類して扱うことは多い。例えば、３ で割って
１余る数とか、割り切れる数とか．．．。 それらの仲間同士には共通の性質があって、他の
グループのものとは相容れない。これは、整数の集まり（ Ｚ ）を、あたかも、｛ ０ ， １ ， ２ ｝
と認識するのに似ている。このような話を、群に導入しよう。
集合 Ａ に対して、積集合 Ａ×Ａ の部分集合 Ｒ を、Ａ における関係という。
（ａ，ｂ） ∈ Ｒ のとき、 ａＲｂ または、ａ 〜 ｂ と書く。
例１０．整数の集まり（ Ｚ ）の中で、 Ｒ ＝｛ （ａ，ｂ） | ａ−ｂ≡０ （ｍｏｄ ３） ｝ とおくと、Ｒは
Ｚ における関係で、たとえば、３ 〜 ６、３ 〜 ９、５ 〜 １１、．．．。
集合 Ａ における関係 〜 が、次の条件を満たすとき、〜 は、Ａ における同値関係である
という。
１．（反射律） ａ 〜 ａ
２．（対称律） ａ 〜 ｂ ならば、 ｂ 〜 ａ
３．（推移律） ａ 〜 ｂ 、 ｂ 〜 ｃ ならば、 ａ 〜 ｃ
例１０．であげた関係は、明らかに同値関係である。
いま、群 Ｇ と、Ｇ における同値関係 〜 が与えられている。〜 が、Ｇ の演算に対して、次
の条件を満たすとき、〜 は、許容的な同値関係であるという。
１．（演算が閉じている） ａ 〜 ｂ 、 ｘ 〜 ｙ ならば、 ａｘ 〜 ｂｙ
２．（逆元も同値） ａ 〜 ｂ ならば、 ａ-1 〜 ｂ-1
この許容的な同値関係 〜 による代表元の集まりに、自然に、群の構造が入ることが次
のようにして分かる。
Ｃ(ａ) を、ａ 〜 ｘ となる ｘ ∈ G の集まりとする。Ｃ(ａ) を、〜 による ａ の同値類という。
Ｇ の元は、何れかの同値類に属し、Ｇ は、いくつかの同値類に類別される。異なる同値類
は、決して交わらない。 同値類の集まりを、Ｇ/〜 で表し、Ｇ の 〜 による商集合という。
いま、標準的な写像 Ｆ ： Ｇ → Ｇ/〜 を、 Ｆ（ａ）＝Ｃ(ａ) により定義する。
定理 Ｇ/〜 に自然な群構造が入り、標準的な写像 Ｆ は準同型写像になる。
（証明） 演算の定義： Ｃ(ａ)、Ｃ(ｂ) ∈ G/〜 に対して、Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)＝Ｃ(ａｂ) と定義する。
実際に、〜 は許容的な同値関係なので、ａ 〜 ｘ 、 ｂ 〜 ｙ ならば、 ａｂ 〜 ｘｙ が成り
立つことから、明らかであろう。
結合法則： Ｃ(ａ)、Ｃ(ｂ)、Ｃ(ｃ) ∈ G/〜 に対して、
ａ（ｂｃ） ∈ Ｃ(ａ)（Ｃ(ｂ)Ｃ(ｃ)） 、 （ａｂ）ｃ ∈ （Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)）Ｃ(ｃ) 、ａ（ｂｃ）＝（ａｂ）ｃ より、
Ｃ(ａ)（Ｃ(ｂ)Ｃ(ｃ)）＝ （Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)）Ｃ(ｃ)
単位元の存在： Ｅ＝Ｃ(ｅ) （ ｅ は、Ｇ の単位元 ）とすると、ＥＣ(ａ)＝Ｃ(ｅ)Ｃ(ａ)＝Ｃ(ｅａ)＝Ｃ(ａ)
逆元の存在： Ｃ(ａ) ∈ G/〜 に対して、Ｃ(ａ)-1＝Ｃ(ａ-1) により定義する。
実際に、〜 は許容的な同値関係なので、ａ 〜 ｂ ならば、 ａ-1 〜 ｂ-1
よって、Ｃ(ａ)-1は、ａ のとり方によらない。
以上から、Ｇ/〜 は群をなす。
また、Ｆ（ａｂ）＝Ｃ(ａｂ)＝Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)＝Ｆ（ａ）Ｆ（ｂ） なので、準同型写像である。
しかも、明らかに、Ｆ は、全射である。（証終）
上の証明中にでてきた Ｅ＝Ｃ(ｅ) （ ｅ は、Ｇ の単位元 ）について、次の定理が成り立つ。
定理 群Ｇの許容的な同値関係を、〜 とし、Ｇ の単位元 ｅ を含む同値類を、Ｅ とする。
このとき、次の（１）（２）が成り立つ。
（１） ａ 、ｂ ∈ Ｅ に対して、ａｂ-1 ∈ Ｅ
（２） ａ ∈ Ｅ 、ｂ ∈ Ｇ に対して、ｂａｂ-1 ∈ Ｅ
逆に、（１）（２）を満たす Ｇ の（空でない）部分集合 Ｅ に対して、Ｅ を単位類とする許容
的な同値関係 〜 が定義される。
（証明） 〜 は許容的な同値関係なので、 ａ 、ｂ ∈ Ｅ より、 ａ 〜 ｅ 、 ｂ 〜 ｅ
すなわち、 ａ 〜 ｅ 、 ｂ-1 〜 ｅ -1＝ｅ より ａｂ-1 〜 ｅ よって、ａｂ-1 ∈ Ｅ
また、ａ ∈ Ｅ 、 ｂ ∈ Ｇ より、 ａ 〜 ｅ で、 ｂａ 〜 ｂｅ＝ｂ
さらに、 ｂａ 〜 ｂ より、 ｂａｂ-1 〜 ｂｂ-1＝ｅ よって、 ｂａｂ-1 ∈ Ｅ
逆に、Ｅ を、（１）（２）を満たす Ｇ の部分集合とする。Ｇ における関係 〜 を、
｛ （ａ，ｂ） | ａｂ-1 ∈ Ｅ ｝ により、定義する。
ここで、ａ ∈ Ｅ に対して、ｅ＝ａａ-1 ∈ Ｅ なので、Ｅ は、ｅ を含む。
同値関係であること： ａ ∈ Ｇ に対して、ａａ-1＝ｅ ∈ Ｅ なので、 ａ 〜 ａ
ａ 〜 ｂ とすると、 ａｂ-1 ∈ Ｅ なので、ｅ（ａｂ-1）-1＝ｂａ-1 ∈ Ｅ よって、 ｂ 〜 ａ
ａ 〜 ｂ、ｂ 〜 ｃ とすると、ａｂ-1 ∈ Ｅ、ｂｃ-1 ∈ Ｅ
よって、ａｃ-1 ＝ａｂ-1ｂｃ-1∈ Ｅ なので、 ａ 〜 ｃ
許容的であること： ａ 〜 ｂ、ｘ 〜 ｙ ならば、ａｂ-1 ∈ Ｅ、ｘｙ-1 ∈ Ｅ
よって、ａｘ（ｂｙ）-1 ＝ ａｘｙ-1ｂ-1＝ ａｘｙ-1ａ-1ａｂ-1 ∈ Ｅ なので、ａｘ 〜 ｂｙ
ａ 〜 ｂ ならば、ａｂ-1 ∈ Ｅ で、ｂａ-1 ∈ Ｅ
よって、 ａ-1（ｂ-1）-1＝ａ-1ｂ＝ｂ-1ｂａ-1ｂ ∈ Ｅ なので、ａ-1 〜 ｂ-1 （証終）
上記の定理において、条件（１）は、Ｅ が部分群であることを示している。
いま、群 Ｇ の部分群 Ｅ が、条件（２）を満たすとき、正規部分群であるという。
このことから、上記の定理を別な言葉で言い換えれば、
許容的な同値関係において、単位類 Ｅ は、正規部分群となり、
逆に、正規部分群 Ｅ は、群 Ｇ において、許容的な同値関係を定義する
そこで、〜 を、Ｅ で定まる同値関係とするとき、群 Ｇ/〜 を、Ｇ/Ｅ と書くことにする。
ただし、 ａ 〜 ｂ ⇔ ａｂ-1 ∈ Ｅ である。
群 Ｇ において、単位類 Ｅ の素性は、上記の定理から分かったが、それでは、他の類
はどういう性格をしているのだろうか？ この質問に答えるのが次の定理である。
定理 群Ｇの正規部分群を Ｅ とする。
ａ ∈ Ｇ に対して、ａ を含む類は、 ａＥ＝｛ ａｘ | ｘ ∈ Ｅ ｝ と書ける。
（証明） ａ 〜 ｂ ⇔ ｂ ∈ ａＥ であることを示せばよい。
ａ 〜 ｂ とすると、ａｂ-1 ∈ Ｅ である。そこで、ｘ＝ａｂ-1 とおくと、ｘ ∈ Ｅ で、
ｂ＝ｘ-1ａ＝ａａ-1ｘ-1ａ、 ａ-1ｘ-1ａ ∈ Ｅ より、ｂ ∈ ａＥ
逆に、ｂ ∈ ａＥ とすると、ある ｘ ∈ Ｅ に対して、ｂ＝ａｘ と書ける。
このとき、ｂ-1ａ＝ｘ-1 ∈ Ｅ であるので、ａｂ-1＝ａｂ-1ａａ-1 ∈ Ｅ より、ａ 〜 ｂ
上記では、特に意識しなかったが、群 Ｇ の部分群 Ｈ を用いて、同値関係を、
（１） ａ 〜 ｂ ⇔ ａｂ-1 ∈ Ｈ
（２） ａ 〜 ｂ ⇔ ａ-1ｂ ∈ Ｈ
と定義した場合、
（１）においては、Ｈａ （ａ ∈ Ｇ）という類別を与える。これらは、右剰余類といわれ、その
商集合は、Ｈ＼Ｇ と書かれる。
（２）においては、ａＨ （ａ ∈ Ｇ）という類別を与える。これらは、左剰余類といわれ、その
商集合は、Ｇ／Ｈ と書かれる。
この２つの類別は一般には異なるが、Ｈ が正規部分群のときのみ、両者は一致し、Ｇ/Ｈ
は群となる。
このような類別に関して、次の定理は基本的である。
定理 Ｈ＼Ｇ の各類の元の個数は、Ｈ の元の個数に等しい
（証明） Ａ を、Ｈ による一つの右剰余類とする。 ａ ∈ Ａ を任意に一つ固定する。
写像 Ｆ：Ｈ → Ａ を、Ｆ（ｈ）＝ｈａ で定義する。このとき、Ｆ は、全単射である。
実際に、Ｆ が全射であること ： 任意の ｂ ∈ Ａ に対して、ａ 〜 ｂ なので、
ａｂ-1 ∈ Ｈ より、ある ｈ ∈ Ｈ が存在して、ａｂ-1＝ｈ すなわち、ｂ＝ｈ-1ａ より、
Ｆ（ｈ-1）＝ｈ-1ａ＝ｂ よって、Ｆ は全射である。
Ｆ が単射であること ： Ｆ（ｈ1）＝Ｆ（ｈ2） とすると、ｈ1ａ＝ｈ2ａ
ｈ1ａａ-1＝ｈ2ａａ-1 より、ｈ1＝ｈ2 よって、Ｆ は単射である。
以上から、Ｆ は全単射となり、Ａの元の個数とＨの元の個数は等しい。 （証終）
一般に、集合 Ｓ の元の個数を、｜Ｓ｜という記号で示し、Ｓ の位数という、
このとき、上記の定理により、次の等式が成り立つ。
｜Ｇ｜＝｜Ｈ＼Ｇ｜｜Ｈ｜
このことから、
部分群の位数は、群の位数の約数である
ことが分かる。この簡単な事実は、実は非常に強い威力を持つ。
また、Ｈａ に、ａ-1Ｈ を対応させることにより、
｜Ｈ＼Ｇ｜＝｜Ｇ／Ｈ｜
であることも分かる。
さて、群という抽象的なものを、もう少し具体的な形として表せないものだろうか？
例１１．実数全体 Ｒ は、加法を演算として群をなす。いま、実数 ａ ∈ Ｒ に対して、
座標平面上の直線の方程式 Ｆａ（ｘ）＝ｘ＋ａ を対応させる。
すなわち、実数全体 Ｒ の各元が、傾き １の直線として表される。
例１２．実数全体から ０ を除いた集合 Ｒ−｛０｝は、乗法を演算として群をなす。
いま、実数 ｍ ∈ Ｒ−｛０｝ に対して、座標平面上の直線の方程式 Ｆｍ（ｘ）＝ｍｘ を対
応させる。
即ち、実数全体 Ｒ−｛０｝ の各元が、原点を通る直線（ｘ軸、ｙ軸は除く）として表される。
このような考え方を一般化して、群の置換表現というものが考えられる。
群 Ｇ と、集合 Ｓ に対して、写像 Ｆ：Ｇ×Ｓ → Ｓ （ Ｆ（ｘ，ｓ）＝ｘｓ ） が、次の条件
１．任意の ｘ、ｙ ∈ Ｇ と任意の ｓ ∈ Ｓ に対して、 （ｘｙ）ｓ＝ｘ（ｙｓ）
２．任意の ｓ ∈ Ｓ に対して、 ｅｓ＝ｓ （ｅ は、Ｇ の単位元）
を満たすとき、Ｇ の Ｓ への左作用 または 左置換表現 （Ｓ，Ｆ；Ｇ）という。
集合 Ｓ から集合 Ｓ への写像を、変換というが、上記で定義したことは、群 Ｇ が、変換
全体の集合の中に表現されるということを意味している。（参考：例１１．例１２．）
群を、うまい集合にうまく作用させることによって、群の振る舞いを観察し様々な情報を得
ることは、群を調べる上で大切な手法である。
集合 Ｓ において、 ｓ1、ｓ2 ∈ Ｓ に対して、ｓ1 〜 ｓ2 であることを、
ある ｘ ∈ Ｇ に対して、 ｘｓ1＝ｓ2
と定義する。 「〜」は、明らかに同値関係である。
この同値関係「〜」により、商集合 〜＼Ｓ（これを、Ｇ＼Ｓ と書くことにする。）が定まる。
商集合 Ｇ＼Ｓ が、ただ一つの元からなるとき、ＧはＳに推移的に作用するという。
いま、（Ｓ，Ｆ；Ｇ） を、Ｇの推移的左置換表現とする。
ｓ0 ∈ Ｓ を固定し、Ｈ＝｛ ｘ ∈ Ｇ | ｘｓ0＝ｓ0 ｝ （ｓ0 に対する固定部分群）とおく。
Ｈ が、部分群であることは明らかである。
実際に、 ｅｓ0＝ｓ0 （ｅ は、Ｇ の単位元） が成り立つので、ｅ ∈ Ｈ で、Ｈは空でない。
また、ｘ、ｙ ∈ Ｈ に対して、ｘｓ0＝ｓ0 、ｙｓ0＝ｓ0 このとき、ｓ0＝ｙ-1ｓ0 より、
ｘ(ｙ-1ｓ0)＝(ｘｙ-1)ｓ0＝ｓ0 が成り立つので、ｘｙ-1 ∈ Ｈ
群 Ｇ において、関係「〜」を、
ａ 〜 ｂ ⇔ ａ-1ｂ ∈ Ｈ
により定める。このとき、自然な射影 ｐ ： Ｇ → Ｇ/Ｈ が定義される。
このとき、写像 Ｆｓ0 ： Ｇ → Ｓ を、Ｆｓ0（ｘ）＝ｘｓ0 により定義すると、
写像 Ｌｓ0 ： Ｇ/Ｈ → Ｓ が誘導され、全単射となる。
実際に、任意の ｓ ∈ Ｓ に対して、ＧはＳに推移的に作用するから、ある ｘ ∈ Ｇ が存在し
て、 ｘｓ0＝ｓ すなわち、 Ｆｓ0（ｘ）＝ｓ と書ける。
よって、ｘ を含む類を考えることにより、Ｌｓ0 は全射となる。
また、Ｌｓ0 が単射を示すには、Ｆｓ0（ｘ）＝Ｆｓ0（ｙ） であることと、 ｘ 〜 ｙ であること
が同値であることを示せばよい。
Ｆｓ0（ｘ）＝Ｆｓ0（ｙ） より、ｘｓ0＝ｙｓ0 なので、ｘ-1ｙｓ0＝ｓ0
よって、ｘ-1ｙ ∈ Ｈ で、ｘ 〜 ｙ である。逆も同様である。
写像 Ｆ ： Ｇ×Ｇ/Ｈ → Ｇ/Ｈ を、Ｆ（ｘ，Ａ）＝ｘＡ で定義する。
この写像 Ｆ は、Ｗｅｌｌ−Ｄｅｆｉｎｅｄ である。
実際に、任意の ａ1、ａ2 ∈ Ａ に対して、(ｘａ1)-1ｘａ2＝ａ1-1ｘ-1ｘａ2＝ａ1-1ａ2 ∈ Ｈ より、
ｘａ1 〜 ｘａ2 となる。一方、ｘａ 〜 ｂ とすると、(ｘａ)-1ｂ ∈ Ｈ より、(ｘａ)-1ｂ＝ｈ
よって、ｂ＝ｘａｈ ∈ ｘＡ である。したがって、写像 Ｆ は、類別の代表元の取り方によらず、
その像は一つの類別に対応する。
また、（ｘｙ）Ａ＝ｘ（ｙＡ）、ｅＡ＝Ａ は明らかに成り立つ。
さらに、任意の ｘＡ、ｙＡ ∈ Ｇ/Ｈ に対して、ある ｙｘ-1 ∈ Ｇ が存在して、ｙｘ-1(ｘＡ)＝ｙＡ
が成り立つので、Ｇは、Ｇ/Ｈに推移的に作用する。
ここで、大切な定理を一つ述べておこう。
定理 ２つの群 Ｇ1、Ｇ2 と、準同型写像 Ｆ ： Ｇ1 → Ｇ2 が与えられている。
このとき、ｋｅｒ Ｆ は、群 Ｇ1 の正規部分群である。
（証明） ｋｅｒ Ｆ が、群 Ｇ1 の部分群であることは既に示した。
ｘ ∈ ｋｅｒ Ｆ 、ｇ ∈ Ｇ に対して、
Ｆ(ｇｘｇ-1)＝Ｆ(ｇ)Ｆ(ｘ)Ｆ(ｇ-1)＝Ｆ(ｇ)Ｆ(ｇ-1)＝Ｆ(ｇｇ-1)＝Ｆ(ｅ1)＝ｅ2
よって、ｇｘｇ-1 ∈ ｋｅｒ Ｆ となり、ｋｅｒ Ｆ は正規部分群である。 （証終）
この定理を用いると、正規部分群であることが簡単に示される。
例１３．Ｇ を、ｎ 文字の対称群（ｎ 文字の置換全体）、Ｎ を、ｎ 文字の交代群（偶置換の全
体）とする。このとき、Ｎ は、Ｇ の正規部分群である。
実際に、写像 Ｆ ： Ｇ → ｛ −１，１ ｝ を、 Ｆ（ｘ）＝ｓｇｎ（ｘ） で定義すると、Ｆ は準同型写
像である。このとき、Ｎ＝ｋｅｒ Ｆ から明らか。
例１４．ＧＬｎ（Ｒ） を、ｎ 次の一般線形群（正則行列全体）、ＳＬｎ（Ｒ） を、ｎ 次の特殊線形
群（行列式の値が１の行列全体）とする。このとき、ＳＬｎ（Ｒ） は、ＧＬｎ（Ｒ） の正規部分
群である。
実際に、写像 Ｆ ： ＧＬｎ（Ｒ） → Ｒ＊＝｛ ｘ ∈ Ｒ | ｘ≠０ ｝ を、 Ｆ（Ａ）＝ｄｅｔＡ により定義
すると、Ｆ は準同型写像である。このとき、Ｎ＝ｋｅｒ Ｆ から明らか。
次に、剰余定理といわれる定理を紹介する。
定理 群 Ｇ の２つの部分群を、Ｎ、Ｈ とする。 Ｎ が正規部分群のとき、
