四面体で、全ての面が合同な鋭角三角形であるとき、等面四面体と言われる。等面四面
体の問題は難関大学で頻出であり、受験生にとっては必ず経験しておいた方がよい分野
である。対処の仕方を知っているかどうかで大きな差がつく問題だからである。
等面四面体は、直方体の８つの頂点のうち、互いに隣り合わない４つの頂点を結んででき
る四面体で、各面が合同な鋭角三角形であると特徴付けられる。
この「等面四面体は直方体に埋め込まれる」という性質を用いた、次の早稲田大学教
育学部（２０１４）の問題が標準的な問題と言える。
問題 四面体ABCDは４つの面のどれも３辺の長さが ７、８、９ の三角形である。この四
面体ABCDの体積を求めよ。
（解） 題意より、四面体ABCDは直方体AQDR-SCPBに埋め込み可能である。
このとき、 ａ2＋ｂ2＝８１、ｂ2＋ｃ2＝６４、ｃ2＋ａ2＝４９ が成り立つことから、
２（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）＝１９４ より、 ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝９７
よって、 ａ2＝１６ 、ｂ2＝３３ 、ｃ2＝４８ より、 ａ＝４ 、ｂ＝√３３ 、ｃ＝４
このとき、直方体の体積は、 ４×√３３×４
＝４８
三角錐Ｒ-ABD、三角錐Ｓ-ABC、三角錐Ｑ-AＣD、三角錐Ｐ-BＣDの体積は、
何れも、 ４×√３３×４
/６＝８ なので、求める四面体ABCDの体積は、 ４８
−８×４＝１６ （終）読者のために練習問題を残しておこう。
練習問題 四面体ABCDは４つの面のどれも３辺の長さが ５、７、８ の三角形である。この
四面体ABCDに内接する球の半径 ｒ 、外接する球の半径Ｒを求めよ。
（解） 直方体の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ とおくと、
ａ2＋ｂ2＝４９、ｂ2＋ｃ2＝６４、ｃ2＋ａ2＝２５ が成り立つことから、
２（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）＝１３８ より、 ａ2＋ｂ2＋ｃ2＝６９
よって、 ａ2＝５ 、ｂ2＝４４ 、ｃ2＝２０ より、 ａ＝
、ｂ＝２ 、ｃ＝２このとき、 四面体ABCDの体積Ｖは、 Ｖ＝
×２×２＝２０３辺の長さが ５、７、８ の三角形の面積Ｓは、ヘロンの公式より、 Ｓ＝１０
よって、求める ｒ の値は、 （ｒ・Ｓ/３）×４＝Ｖ より、 ｒ＝（√３３）/２
また、外接する球の半径Ｒは、 Ｒ＝（√（ａ2＋ｂ2＋ｃ2））/２＝（√６９）/２ である。 （終）
冒頭の「等面四面体は直方体に埋め込まれる」という性質を問う問題が京都大学で出
題されている。
問題 △ABCは鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが△ABCと合同な四面体が存在
することを示せ。
（解） △ABCの３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ とする。このとき、
ｘ2＋ｙ2＝ａ2 、ｙ2＋ｚ2＝ｂ2 、ｚ2＋ｘ2＝ｃ2
を満たす正の数 ｘ、ｙ、ｚ が存在すれば、所要の四面体が埋め込まれる直方体が得られる。
２（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2）＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2 から、 ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/２
よって、 ｘ2＝（ａ2＋ｂ2＋ｃ2）/２−ｂ2＝（ａ2−ｂ2＋ｃ2）/２
△ＡＢＣは鋭角三角形なので、 ａ2−ｂ2＋ｃ2＞０ より、上の方程式を満たす正の数 ｘ
は存在する。
同様にして、正の数 ｙ、ｚ も存在するので、所要の四面体が存在することが分かる。 （終）
等面四面体では、重心、外心、内心が一致するという性質を持つ。この性質を持つ平面図
形では正三角形が有名である。
２０１４年度入試では、東京医科歯科大学でも等面四面体の問題が出題されている。
問題 ０＜θ＜π/２ を満たす実数θに対し、xyz空間内の４点 A(cosθ，cosθ，sinθ)、
B(-cosθ，-cosθ，sinθ)、C(cosθ，-cosθ，-sinθ)、D(-cosθ，cosθ，-sinθ) を
頂点とする四面体の体積をV(θ)とする。このとき、以下の各問いに答えよ。
(1) V(π/６)を求めよ。
(2) ０＜θ＜π/２ におけるV(θ)の最大値を求めよ。
条件から、辺の長さを求めてみると、
ＡＢ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｃｏｓ2θ＝８ｃｏｓ2θ 、ＡＣ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｓｉｎ2θ＝４ 、
ＡＤ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｓｉｎ2θ＝４ 、ＢＣ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｓｉｎ2θ＝４ 、
ＣＤ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｃｏｓ2θ＝８ｃｏｓ2θ 、ＤＡ2＝４ｃｏｓ2θ＋４ｓｉｎ2θ＝４
となり、四面体ABCDは、三角形の辺の長さが ２、２、２√２ｃｏｓθ の等面四面体である。
このとき、 ｘ2＋ｙ2＝４ 、ｙ2＋ｚ2＝４ 、ｚ2＋ｘ2＝８ｃｏｓ2θ から、
ｘ2＝４ｃｏｓ2θ 、 ｙ2＝４（１−ｃｏｓ2θ）＝４ｓｉｎ2θ 、ｚ2＝４ｃｏｓ2θ より、
ｘ＝２ｃｏｓθ 、ｙ＝２ｓｉｎθ 、ｚ＝２ｃｏｓθ となり、これらを３辺とする直方体が存在する。