無理関数の最小値の計算に、ベクトルにおける三角不等式が活躍することを最近知るこ
とができた。ただ、残念なのは、高等学校でベクトルの三角不等式をじっくり学ぶことは少
なく、多分、受験問題集を紐解いて、その種の話題に直面する機会がある生徒のみである
ことである。本当はもっと多くの人に、三角不等式の偉大な効能を経験するのみということ
である。
問 題 無理関数 Ｆ（ｘ）＝√（ｘ2＋２）＋√（ｘ2−２ｘ＋２） （０≦ｘ≦１）の最小値およ
びそのときのｘの値を求めよ。
おそらく多くの受験生は、問題を見た途端に、微分の問題ととらえ、次のような計算を行う
ことだろう。
（解） Ｆ’（ｘ）＝ｘ/√（ｘ2＋２）＋（ｘ−１）/√（ｘ2−２ｘ＋２）
＝｛ｘ√（ｘ2−２ｘ＋２）＋（ｘ−１）√（ｘ2＋２）｝/√（ｘ2＋２）√（ｘ2−２ｘ＋２）
そこで、Ｆ’（ｘ）＝０ とおくと、 ｘ√（ｘ2−２ｘ＋２）＋（ｘ−１）√（ｘ2＋２）＝０
ｘ√（ｘ2−２ｘ＋２）＝−（ｘ−１）√（ｘ2＋２） の両辺を２乗して、
ｘ2（ｘ2−２ｘ＋２）＝（ｘ−１）2（ｘ2＋２） より、ｘ4−２ｘ3＋２ｘ2＝ｘ4−２ｘ3＋３ｘ2−４ｘ＋２
すなわち、 ｘ2−４ｘ＋２＝０ となり、０≦ｘ≦１ に注意して、 ｘ＝２−
この前後で、 Ｆ’（ｘ）の符号が負から正に変わるので、極小かつ最小である。
最小値は、 Ｆ（２−
）＝√（８−４）＋√（４−２）＝２√（２−
）＋√（２−）＝（２＋）√（２−）このとき、 Ｆ2（２−
）＝２（２＋）＝４＋２ より、 最小値は、 √（４＋２）上記の計算で分かるように、計算がとても煩雑である。これをベクトルを用いて、スッキリ
鮮やかに解かれるのをみると、感動すら覚えてくる。
（裏技） Ｆ（ｘ）＝√（ｘ2＋２）＋√（ｘ2−２ｘ＋２）
＝√（ｘ2＋２）＋√｛（ｘ−１）2＋１｝＝√（ｘ2＋２）＋√｛（１−ｘ）2＋１｝
ここで、ベクトル ａ＝（ｘ，
）、ｂ＝（１−ｘ，１） とおくと、三角方程式より、Ｆ（ｘ）＝｜ａ｜＋｜ｂ｜≧｜ａ＋ｂ｜
ａ＋ｂ＝（１，
＋１） より、 ｜ａ＋ｂ｜＝√（４＋２）よって、 等号が成立するとき、Ｆ（ｘ）の値は、最小となる。
ところで、等号成立は、ベクトルａとｂが同じ向きに平行であるとき、すなわち、
ａ＝ｋｂ が成り立つときである。
したがって、 ｘ＝ｋ（１−ｘ） 、
＝ｋ より、 ｘ＝（１−ｘ） なので、（
＋１）ｘ＝ より、 ｘ＝/（＋１）＝２− （終）（コメント） 微分による方法では、ただ闇雲に計算した感がありますが、ベクトルを用いると、
最小になる場面が明瞭に伝わってきますね！
（参考文献： 岡本雅史 著 ベクトルの三角不等式の活用 （数研通信 Ｎｏ．７６））
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年６月１３日付け）
６月１３日の朝、上記に遭遇。私は、裏技を持ち合わせていないので模倣し、無理関数の
最小値の問題、例えば、
Ｇ（ｘ）＝√（ｘ2＋２５）＋√（ｘ2−２０ｘ＋１０９）
で挫折してしまいました。挫折しない人はベクトルを用いてあのように解いて下さい。
（コメント） ベクトルを用いて解いてみました。
Ｇ（ｘ）＝√（ｘ2＋２５）＋√（ｘ2−２０ｘ＋１０９）
＝√（ｘ2＋２５）＋√｛（ｘ−１０）2＋９｝＝√（ｘ2＋２５）＋√｛（１０−ｘ）2＋９｝
ここで、ベクトル ａ＝（ｘ，５）、ｂ＝（１０−ｘ，３） とおくと、三角方程式より、
Ｆ（ｘ）＝｜ａ｜＋｜ｂ｜≧｜ａ＋ｂ｜
ａ＋ｂ＝（１０，８） より、 ｜ａ＋ｂ｜＝２√４１
よって、 等号が成立するとき、Ｆ（ｘ）の値は、最小となる。
ところで、等号成立は、ベクトルａとｂが同じ向きに平行であるとき、すなわち、
ａ＝ｋｂ が成り立つときである。
したがって、 ｘ＝ｋ（１０−ｘ）、５＝３ｋ より、ｘ＝２５/４ （終）
Ｇ（ｘ）＝√｛9+（ｘ-10）2｝+√（25+ｘ2） を視た途端、高木貞治 著 「解析概論」 68p-69p
の事例：A=(0，5)、B=(10，3)、c1=c2=1 の場合で、何処で最小となるかは明らか。
（→ 「第２４話 スネルの法則と最速降下線と計算地獄と」）
高校生のように微分して最小となる処 (ｘ0，0) を求めれば、いとも簡単に裏技を使わずと
もゲット叶うでしょう。
min{sqrt(9+(-10+x)2)+sqrt(25+x2)} = 2sqrt(41) at ｘ = 25/4 だと。
これ以外にも、この問題を解く「正攻法」は数多在ります。