関数の値　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　高校に入って暫くして、先生方による添削指導の中で、次のような問題に出会った。

Ｘ＝

のとき、　Ｘ5－Ｘ3＋Ｘ　の値を求めよ。

　当時、計算には自信があったので、強引に　３乗、５乗を計算して値を求めた。何日か後
に返却された添削プリントには、「解法が美しくないです！そのまま代入しては、ダメです。」
と書かれてあった。模範解答として、次のような答が印刷されていた。

　　　　　　(２Ｘ－１)² ＝ ５　から、Ｘ²－Ｘ－１ ＝ ０
　　　　　このとき、 Ｘ⁵－Ｘ³＋Ｘ ＝ (Ｘ²－Ｘ－１)(Ｘ³＋Ｘ²＋Ｘ＋２)＋４Ｘ＋２　なので、
　　　　　　　　　　　 Ｘ⁵－Ｘ³＋Ｘ ＝

　確かに、上の解答は、自分自身の解答に比べて美しい。目標に向かって、着実に突き進
んでいる感じがする。それにひきかえ自分のは、力任せに何となく出来ちゃったという感は
免れない。
　それまでは、「数学の解答は自分だけのもの、解ければＯ．Ｋ．」だと思っていたが、この
問題を契機として、「解けるだけでは駄目だ！他の人が見ても、そして自分自身にとっても
『美しい！』と思えるような解法を心がけよう」と思うようになった。しかし、計算力に頼るとい
う私の癖は、すぐに直るわけでもなく、大学時代のセミナーの先生からは、「君の解答は、
何となく出来ちゃっているんだよね！」と喝破されてしまった。汗顔のいたりである。

　このページでは、関数の値を求めるときに有効な裏技を紹介する。関数の値の計算は、
数学の種々の場面で遭遇する計算なので、必ず身につけるべき技術だろうと思う。

（例）　関数 Ｆ(Ｘ) ＝ Ｘ³＋３Ｘ²－６Ｘ＋９　の極値の和を求めよ。

　　導関数　Ｆ’(Ｘ) ＝ ３Ｘ²＋６Ｘ－６ ＝ ３(Ｘ²＋２Ｘ－２) ＝ ０　は、相異なる２つの実数解
　α 、 β （ α ＜ β ） を持ち、極大値は、Ｆ( α )、極小値は、Ｆ( β )である。
　　ここで、
　　　　　　　　　Ｘ³＋３Ｘ²－６Ｘ＋９ ＝ (Ｘ²＋２Ｘ－２)(Ｘ＋１)－６Ｘ＋１１
　なので、
　　（極値の和）＝ Ｆ( α )＋Ｆ( β ) ＝ (－６ α ＋１１)＋(－６ β ＋１１)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ －６( α ＋ β )＋２２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ３４　　　（←　α ＋ β ＝－２　）

　（注）　解の公式を用いて、 α 、 β を具体的に求め、それを、Ｆ(Ｘ) に代入しても出来ると
　　　　思うが、多分、計算は、大変なことになるでしょう！？

　　　　（参考：ホームページ「大川研究室」の中の数学の問題コーナー　問題１３）

　　　（別解）　上記の例題に対して、「裏技」とはまた一味違う裏技を用いると、次のように
　　　　　　　　も解けるということを、広島工業大学の大川研究室よりご教示頂いた。

　　　　　　三次関数のグラフは、変曲点について点対称なので、変曲点は、極大点と極小
　　　　　点の中点である。
　　　　　　　Ｆ”(Ｘ) ＝６Ｘ＋６＝０　 より、Ｘ＝－１
　　　　　よって、Ｆ(－１)＝（極値の和）/２　なので、（極値の和）＝２ Ｆ(－１)＝２×１７＝３４

　　　　　（コメント）　極値の和を求める問題に限定すれば、とても簡潔で有効な裏技だと思
　　　　　　　　　　　う。
　極値の和だと、上記のような美しい裏技が存在するが、「極値の差」としても次のような美し
裏技が知られている。（平成３１年１月２日付け）

（例）　関数 Ｆ(Ｘ) ＝ Ｘ³＋３Ｘ²－６Ｘ＋９　の極値の差を求めよ。

　　導関数　Ｆ’(Ｘ) ＝ ３Ｘ²＋６Ｘ－６ ＝ ３(Ｘ²＋２Ｘ－２) ＝ ０　は、相異なる２つの実数解
　α 、 β （ α ＜ β ） を持ち、極大値は、Ｆ( α )、極小値は、Ｆ( β )である。
　　解と係数の関係より、　α＋β＝－２　、αβ＝－２
　このとき、
　（極値の差）＝ Ｆ( α )－Ｆ( β ) ＝∫_β^α Ｆ’(Ｘ) ｄＸ＝－３(α－β)³/６＝－(α－β)³/２
　ここで、
　　　　　　(α－β)²＝(α＋β)²－４αβ＝４＋８＝１２　より、　α－β＝－２
　なので、
　　　　　　（極値の差）＝１２

（コメント）　極値の差の計算に定積分の面積の公式が使えるとは驚きです！関数に文字が
　　　　　　入っているときの処理に有効でしょう。

（例）　Ｘ ＝　のとき、 Ｘ⁴－３Ｘ³＋９Ｘ²－１０Ｘ＋１　の値を求めよ。

　　α＝　とおくと、α²＝ なので、　Ｘ ＝ １－α＋α²
　このとき、αＸ ＝ α－α²＋２ ＝ ３－Ｘ　の両辺を平方して、　α²Ｘ² ＝ (３－Ｘ)²
　よって、　左辺＝ (Ｘ－１＋α）Ｘ² ＝ （Ｘ－１)Ｘ²＋(３－Ｘ)Ｘ ＝ Ｘ³－２Ｘ²＋３Ｘ　なので、
　　　　　　　　　　Ｘ³－２Ｘ²＋３Ｘ ＝ (３－Ｘ)²　　即ち、Ｘ³－３Ｘ²＋９Ｘ－９ ＝ ０
　したがって、　与式 ＝ Ｘ(Ｘ³－３Ｘ²＋９Ｘ－９)－Ｘ＋１ ＝

　（注）　上の例からも分かるように、この裏技のポイントは、次の２点である。
　　　　（１）　Ｘ が満たすべき方程式を求めること
　　　　（２）　整式の割り算

（例）　Ｘ ＝

のとき、 ８Ｘ5＋１６Ｘ4＋４Ｘ3－４Ｘ2－Ｘ＋３　の値を求めよ。

　ここまで問題が複雑になってくると、もう代入して計算しようという気は全く起こらないだろう。
ここで、裏技の出番である。

　Ｘの逆数を求め、－１を左辺に移行して、両辺を平方する。
　　　　　　　　
　両辺を展開し、式を整理して、さらに、両辺を平方する。
　　　　　　　　
　上の式を整理して、　８Ｘ⁴＋１６Ｘ³＋４Ｘ²－４Ｘ－１ ＝ ０
　したがって、　与式 ＝ Ｘ(８Ｘ⁴＋１６Ｘ³＋４Ｘ²－４Ｘ－１)＋３ ＝ ３

　今の高校生に、このような骨のある計算をさせる場面がなくなってきている。以前に比べて
計算する力が、速さ・正確さの両面で非常に落ちてきている。計算力がないので、先の見通
しも立たず、問題解決に至らず、挫折してしまうのが、今の高校生の現状である。非常に長
い計算に、諦めずに耐えて、結果を得る喜びというものを経験することも、高校時代の大切
なテーマであると私は考える。