２次方程式 ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０ の解の公式は、新学習指導要領により、数学Ⅰでの履修
内容となった。各教科書会社の教科書においては、横並びに同じような証明（文字の分数
が洪水のように押し寄せる、例の証明です！）が掲載されている。文字を含む分数式の計
算が不慣れな高校１年生にとっては、辛い計算となっている。
最近、その解の公式の証明で、鮮やかな方法があることを知った。次のようにやるらしい。
ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ＝０ より、 ａＸ2＋ｂＸ＝－ｃ だから、 ４ａ2Ｘ2＋４ａｂＸ＝－４ａｃ
よって、 ４ａ2Ｘ2＋４ａｂＸ＋ｂ2＝ｂ2－４ａｃ より、（２ａＸ＋ｂ）2＝ｂ2－４ａｃ
したがって、
であるので、求める解の公式は、
となる。
ちょっとした工夫だが、途中計算に、文字の分数が一切出ないところが素晴らしいと思う。
多分、この裏技をみて一番感動するのは、教科書の証明で苦労をした人々だろう。
（参考文献：野崎昭弘・何森 仁・伊藤潤一・小沢健一 著
数と計算の意味がわかる （ベレ出版））
（追記） 平成２１年１１月２５日付け
最近、上記の鮮やかな解法が、実は、シュリーダラ(Sridhara １０～１１世紀頃)によるも
のであることを知った。シュリーダラは、２次方程式 ａＸ2＋ｂＸ＝ｃ の解を次のように述べ
ている。
方程式の両辺に未知数の平方の係数の４倍に等しい量を掛け、両辺に未知数
の係数の平方に等しい量を加え、次に平方根をとれ
これは正しく上記で述べた式変形である。
（追記） 令和５年４月１７日付け
解の公式は、シモン・ステヴィン（1548～1620）が１５９４年に発見したと言われるが、現在
我々が知っている形式での解の公式は、１６３７年にルネ・デカルトによるものである。
２０１９年、ポーシェン・ローにより、解の公式に代わる新解法が発見された。
以下で、いくつかの例について、その新解法を体験してみた。
例 ｘ2－４ｘ＋３＝０ を解け。
因数分解して、 （ｘ－１）（ｘ－３）＝０ から、ｘ＝１、３ であるが、これを、次のように解く
らしい。
ｘ2－４ｘ＋３＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝ｘ2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ から、 ａ＋ｂ＝４ 、ａｂ＝３
４÷２＝２ を求めて、ａ＝２＋ｕ 、ｂ＝２－ｕ （ｕ＞０） とおくと、 （２＋ｕ）（２－ｕ）＝３
よって、 ４－ｕ2＝３ から、 ｕ2＝１ より、 ｕ＝１
よって、解は、 ａ＝２＋ｕ＝３ 、ｂ＝２－ｕ＝１ となる。
例 ｘ2＋６ｘ＋３＝０ を解け。
ｘ2＋６ｘ＋３＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝ｘ2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ から、 ａ＋ｂ＝－６ 、ａｂ＝３
－６÷２＝－３ を求めて、ａ＝－３＋ｕ 、ｂ＝－３－ｕ （ｕ＞０） とおくと、
（－３＋ｕ）（－３－ｕ）＝３ より、 ９－ｕ2＝３ から、 ｕ2＝６ より、 ｕ＝
よって、解は、 ａ＝－３＋ｕ＝－３＋
、ｂ＝－３－ｕ＝－３＋ となる。（コメント） 当然ながら、この結果は、解の公式を用いて解いた場合と一致する。
例 ２ｘ2＋６ｘ＋３＝０ を解け。
ｘ2＋３ｘ＋（３/２）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝ｘ2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ から、 ａ＋ｂ＝－３ 、ａｂ＝３/２
－３÷２＝－３/２ を求めて、ａ＝－３/２＋ｕ 、ｂ＝－３/２－ｕ （ｕ＞０） とおくと、
（－３/２＋ｕ）（－３/２－ｕ）＝３/２ より、 ９/４－ｕ2＝３/２ から、 ｕ2＝３/４ より、
ｕ＝
/２よって、解は、ａ＝－３/２＋ｕ＝－３/２＋
/２ 、ｂ＝－３/２－ｕ＝－３/２－/２ となる。すなわち、解 ｘ は、 ｘ＝（－３±
）/２ となる。（コメント） 私としては、これまで通り、「解の公式」を用いる方が自然で楽かな．．．？
上記の解法の（原理）を考えてみた。
２次方程式 ｘ2＋ｍｘ＋ｎ＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝ｘ2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ において、
ａ＋ｂ＝－ｍ 、ａｂ＝ｎ を満たす ａ、ｂ を ｍ、ｎ で表すことを考える。
－ｍ÷２＝－ｍ/２ を考え、 ａ＝－ｍ/２＋ｕ 、ｂ＝－ｍ/２－ｕ （ｕ＞０） とおく。
このとき、 ａｂ＝ｍ2/４－ｕ2＝ｎ から、 ｕ2＝ｍ2/４－ｎ＝（ｍ2－４ｎ）/４
よって、 ｕ＝｛√（ｍ2－４ｎ）｝/２ から、
ａ＝－ｍ/２＋｛√（ｍ2－４ｎ）｝/２ 、ｂ＝－ｍ/２－｛√（ｍ2－４ｎ）｝/２
すなわち、解は、 （－ｍ±√（ｍ2－４ｎ）/２ となり、解の公式が得られる。
上記の手順では、「－ｍ÷２＝－ｍ/２ を考え」ることがキーポイントだろう。これは、２次
式の平方完成に通じるもので、計算様式は異なるものの、基本的な計算は、平方完成によ
る２次方程式の解法そのものといっても過言ではないだろう。
したがって、新解法かどうかは若干疑問である。
以下、工事中！