最近、ある予備校の方とお話しをする機会があって、その中で、「２項間漸化式の裏技」
なるものをご教示いただいた。
例１ 次で定義される数列 ｛ ａｎ ｝ の一般項を求めよ。
ａ1＝１ 、 ａｎ+1＝２ａｎ＋１ （ｎ＝１，２，３，・・・）
（通常の解法） 特性解を ｘ とおくと、 ｘ＝２ｘ＋１ より、 ｘ＝−１
よって、 ａｎ+1＋１＝２（ａｎ＋１）
これより、数列 ｛ ａｎ＋１ ｝ 初項 ａ1＋１＝２、公比 ２ の等比数列であるので、
ａｎ＋１＝２・２ｎ-1＝２ｎ
したがって、求める一般項は、 ａｎ＝２ｎ−１
（裏技の解法） 数列 ｛ ｂｎ ｝ について、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋１ （ｎ＝１，２，３，・・・） が成り立
つとして、辺々引くと、 ａｎ+1−ｂｎ+1＝２（ａｎ−ｂｎ） である。
ここで、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋１ を満たす最も簡単な数列 ｛ ｂｎ ｝ として、
ｂｎ＝ｘ とすると、 ｘ＝２ｘ＋１ より、 ｘ＝−１
よって、 ａｎ+1＋１＝２（ａｎ＋１）
これより、数列 ｛ ａｎ＋１ ｝ は、初項 ａ1＋１＝２、公比 ２ の等比数列であるので、
ａｎ＋１＝２・２ｎ-1＝２ｎ
したがって、求める一般項は、 ａｎ＝２ｎ−１
（注） 平成２１年６月２５日付けで、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんより、
「特性解」という用語について、ご教示いただいた。
上記の計算で ｘ＝２ｘ＋１ を、「特性方程式」と呼ぶのは、どうも受験数学だけらし
い。私自身は、いろいろな先生方、書籍からずっとそう教えられてきたので、疑問にも
思わなかったが、「特性方程式」の本来の意味とはずれているらしいことを、Ｓ（Ｈ）さん
からいただいた情報により知った。
２階常微分方程式 ｙ”−ｙ’−２ｙ＝０ で、 Ｄｙ＝ｙ’ 、 Ｄ2ｙ＝Ｄ（Ｄｙ）＝ｙ” と考え
れば、
Ｄ2ｙ−Ｄｙ−２ｙ＝０ すなわち、 （Ｄ2−Ｄ−２）ｙ＝０
から、「特性方程式」： Ｄ2−Ｄ−２＝０ が得られる。
同様に、３項間漸化式 ａｎ+2−ａｎ+1−ａｎ＝０ において、
Ｅ（ａｎ）＝ａｎ+1 、 Ｅ2（ａｎ）＝Ｅ（Ｅ（ａｎ））＝ａｎ+2
と考えれば、 （Ｅ2−Ｅ−１）（ａｎ）＝０ より、「特性方程式」： Ｅ2−Ｅ−１＝０ が得ら
れる。
このような考え方が「特性方程式」の本来の姿だろうが、次のように解釈すれば、今
まで「特性方程式」と思っていた式も日の目を見るのではないだろうか？
すなわち、 ａｎ+2−ａｎ+1−ａｎ＝０ を、 ａｎ＝Ｅｎ が満たすものとすると、
Ｅｎ+2−Ｅｎ+1−Ｅｎ＝０ より、 Ｅ2−Ｅ−１＝０ が得られる。
同様に、 ａｎ+1＝２ａｎ＋１ を、 ａｎ＝ｘ が満たすものとすると、
ｘ＝２ｘ＋１ が得られる。
（裏技の解法）は、「特性方程式」という言葉を表に出さず、上記のような考え方「・・・を
満たす最も簡単な数列 ｛ ｂｎ ｝を求める」ことを前面に出した解法とも言える。
「特性解」という用語を用いず、「特殊解」という言い方もあるが、それは五十歩百歩
だろう。
上記の解法では、解答内に「特性解」という用語を用いたが、実際は、この部分の計
算は欄外で計算され、
ａｎ+1＝２ａｎ＋１ から ａｎ+1＋１＝２（ａｎ＋１）
と指導されるのが常だろう。
例２ 次で定義される数列 ｛ ａｎ ｝ の一般項を求めよ。
ａ1＝１ 、 ａｎ+1＝２ａｎ＋ｎ （ｎ＝１，２，３，・・・）
（通常の解法） ａｎ+2＝２ａｎ+1＋ｎ＋１ と辺々引いて、
ａｎ+2−ａｎ+1＝２（ａｎ+1−ａｎ）＋１
ｂｎ＝ａｎ+1−ａｎ とおくと、 ａ2＝２ａ1＋１＝３ なので、 ｂ1＝３−１＝２
ｂｎ+1＝２ｂｎ＋１ より、 ｂｎ+1＋１＝２（ｂｎ＋１）
よって、 ｂｎ＋１＝３・２ｎ-1 より、 ｂｎ＝３・２ｎ-1−１
階差数列の公式を用いて、
ｎ≧２ のとき、 ａｎ＝１＋（３・２ｎ-1−ｎ−２）＝３・２ｎ-1−ｎ−１
この式は、ｎ＝１ のときも成り立つので、
ｎ≧１ のとき、 ａｎ＝１＋（３・２ｎ-1−ｎ−２）＝３・２ｎ-1−ｎ−１
（裏技の解法） 数列 ｛ ｂｎ ｝ について、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋ｎ （ｎ＝１，２，３，・・・） が成り立
つとして、辺々引くと、 ａｎ+1−ｂｎ+1＝２（ａｎ−ｂｎ） である。
ここで、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋ｎ を満たす最も簡単な数列 ｛ ｂｎ ｝ として、
ｂｎ＝ｘ・ｎ＋ｙ とすると、 ｘ・（ｎ＋１）＋ｙ＝２｛ｘ・ｎ＋ｙ｝＋ｎ より、
ｘ・ｎ＋ｘ＋ｙ＝２ｘ・ｎ＋２ｙ＋ｎ すなわち、 （ｘ＋１）・ｎ−ｘ＋ｙ＝０
ｎ の恒等式とみて、 ｘ＝−１ 、 ｙ＝−１
よって、 ｂｎ＝−ｎ−１
このとき、 ａｎ+1＋（ｎ＋１）＋１＝２｛ａｎ＋ｎ＋１）
これより、数列 ｛ ａｎ＋ｎ＋１ ｝ は、初項 ａ1＋１＋１＝３、公比 ２ の等比数列で
あるので、
ａｎ＋ｎ＋１＝３・２ｎ-1 より、求める一般項は、 ａｎ＝３・２ｎ-1−ｎ−１
この手法を用いると次のような問題も簡単に解けそうだ。
例３ 次で定義される数列 ｛ ａｎ ｝ の一般項を求めよ。
ａ1＝１ 、 ａｎ+1＝２ａｎ＋ｎ2 （ｎ＝１，２，３，・・・）
（裏技の解法） 数列 ｛ ｂｎ ｝ について、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋ｎ2 （ｎ＝１，２，３，・・・） が成り立
つとして、辺々引くと、 ａｎ+1−ｂｎ+1＝２（ａｎ−ｂｎ） である。
ここで、 ｂｎ+1＝２ｂｎ＋ｎ2 を満たす最も簡単な数列 ｛ ｂｎ ｝ として、
ｂｎ＝ｘ・ｎ2＋ｙ・ｎ＋ｚ とすると、
ｘ・（ｎ＋１）2＋ｙ・（ｎ＋１）＋ｚ＝２｛ｘ・ｎ2＋ｙ・ｎ＋ｚ｝＋ｎ2 より、
（ｘ＋１）・ｎ2＋（ｙ−２ｘ）・ｎ＋ｚ−ｘ−ｙ＝０
ｎ の恒等式とみて、 ｘ＝−１ 、 ｙ＝−２ 、 ｚ＝−３
よって、 ｂｎ＝−ｎ2−２ｎ−３
このとき、 ａｎ+1＋（ｎ＋１）2＋２（ｎ＋１）＋３＝２｛ａｎ＋ｎ2＋２ｎ＋３）
これより、数列 ｛ ａｎ＋ｎ2＋２ｎ＋３ ｝ は、初項 ａ1＋１＋２＋３＝７、公比 ２ の
等比数列であるので、 ａｎ＋ｎ2＋２ｎ＋３＝７・２ｎ-1 より、
求める一般項は、 ａｎ＝７・２ｎ-1−ｎ2−２ｎ−３ となる。
（コメント） 特性解や階差数列を利用した解法が、「・・・を満たす最も簡単な数列 ｛ ｂｎ ｝ 」
を考えることにより、統一的に解かれることに感動しました！
特に、例３は、階差数列の公式を２回も用いる大変な計算ですが、これだと簡
単かな？
この裏技はよく知られているようで、ＨＮ「tetsuya」さんも、次のように教えているとのことで
ある。（平成２１年６月２４日付け）
ａ1＝１ 、 ａｎ+1＝２ａｎ＋ｎ （ｎ＝１，２，３，・・・）
において、 ｂｎ＝ａｎ＋α・ｎ＋β が等比数列の漸化式 ｂｎ+1＝２ｂｎ を満たすように、
α ， β を決定しよう。
あとは、上記の計算と同様である。
ａｎ+1＋α・（ｎ＋１）＋β＝２｛ａｎ＋α・ｎ＋β｝ より、
２ａｎ＋ｎ＋α・ｎ＋α＋β＝２ａｎ＋２α・ｎ＋２β
すなわち、 （α−１）・ｎ−α＋β＝０
ｎ の恒等式とみて、 α＝１ 、 β＝１
よって、 ａｎ+1＋（ｎ＋１）＋１＝２｛ａｎ＋ｎ＋１｝
このとき、数列 ｛ ａｎ＋ｎ＋１ ｝ は、初項 ａ1＋１＋１＝３、公比 ２ の等比数列で
あるので、
ａｎ＋ｎ＋１＝３・２ｎ-1 より、求める一般項は、 ａｎ＝３・２ｎ-1−ｎ−１
（コメント） この手法は、与えられた漸化式を等比型に導く自然な解法なのかもしれないで
すね！tetsuya さんに感謝します。