「数学Ⅱ」で学ぶ図形と方程式の項目の中に「領域」の計算がある。これは、ある意味で
「お絵描きの時間」で、難解な数式とその計算が怒濤のように押し寄せる中で一種のオア
シス的存在になっている。
そうは言ってみたものの、「領域」は、算数以来「数と式分野」「図形分野」と別個に学ん
できたものが融合する一つのターニングポイント的意味合いも併せ持つ。
正方形とか三角形、円、・・・ などが、ここでは数式として語られ、この学習以降、生徒
達の図形に対する取り扱いが飛躍的に進歩する。
単に「お絵描きの時間」で終わってはいけない重要な側面があるのである。また、領域
の概念は、命題の真理集合の表現にも活用され、数学の論理に深く関わってくる重要な
分野と言える。
この大事な「領域」の学習で、「１点代入法」という方法があるが、この方法は、教科書
で触れられることはない。しかし、おそらく多くの受験校では、当然指導されているはずの
方法だろう。
「１点代入法」で検索ソフトに問いかけてみても、ヒット件数は、０ である。方法は、よく知
られているが、あまり認知されていない私だけの命名かもしれない．．．。
１点代入法
平面において、閉じられた曲線（放物線、双曲線も含む） Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝０ が与えら
れているとする。
ある１点 （ ｘ0 ， ｙ0 ） で、 Ｆ（ ｘ0， ｙ0 ）＜０ を満たすとき、
（ ｘ0， ｙ0 ） と連続で、かつ、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＝０ と交わらない曲線で結ばれる点
（ ｘ ， ｙ ） は、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＜０ を満たす。
（略証） もし、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０ と仮定すると、Ｆ（ ｘ ， ｙ ）が連続であることにより、
Ｆ（ ｘ1 ， ｙ1 ）＝０ となる点 （ ｘ1 ， ｙ1 ） が存在する。すなわち、点 （ ｘ1 ， ｙ1 ） が
曲線上の点であることから、仮定に矛盾する。よって、 Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＜０ （証終）
例 不等式 ｙ ＞ ｘ＋１ が表す領域は、直線 ｙ ＝ ｘ＋１ の上側である。
この問題に、１点代入法を適用してみよう。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ） ＝ ｙ－ｘ－１ とおく。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０ となる点を見つければよい。
試しに、 Ｆ（ ０ ， ２ ） ＝ ２－０－１ ＝ １ ＞０
よって、点（ ０ ， ２ ）を含む領域が求める領域であ
る。（左図）
例 不等式 ｘ ＜ １ が表す領域は、直線 ｘ ＝ １ の左側である。
この問題に、１点代入法を適用してみよう。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ） ＝ ｘ－１ とおく。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＜０ となる点を見つければよい。
試しに、 Ｆ（ ０ ， ２ ） ＝ ０－１ ＝ －１ ＜０
よって、点（ ０ ， ２ ）を含む領域が求める領域であ
る。（左図）
例 不等式 ｘ2＋ｙ2 ＞ １ が表す領域は、円 ｘ2＋ｙ2 ＝ １ の外部である。
この問題に、１点代入法を適用してみよう。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ） ＝ ｘ2＋ｙ2－１ とおく。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０ となる点を見つければよい。
試しに、 Ｆ（ ０ ， ２ ） ＝ ０＋４－１ ＝ ３ ＞０
よって、点（ ０ ， ２ ）を含む領域が求める領域であ
る。（左図）
このように、
境界線 ｙ ＝ Ｆ（ｘ） の 上側 、 下側
境界線 ｘ ＝ ａ の 右側 、 左側
境界線 ｘ2＋ｙ2 ＝ ｒ2 の 内部 、 外部
という領域の計算が、単なる多項式の符号の計算に統一される。
また、１点代入法を用いると、平面上の点の位置関係の把握にも有効である。
例 平面上において、直線 ｘ＋２ｙ－４＝０ に関して、２点 Ａ（ －２ ， ２ ）、Ｂ（ ３ ， －２ ）
は同じ側にある点であることを示せ。
（解） Ｆ（ ｘ ， ｙ ） ＝ ｘ＋２ｙ－４ とおくと、
Ｆ（ －２ ， ２ ） ＝ －２＋４－４ ＝ －２ ＜ ０
Ｆ（ ３ ， －２ ） ＝ ３－４－４ ＝ －５ ＜ ０
なので、
２点Ａ（ －２ ， ２ ）、Ｂ（ ３ ， －２ ）は、直線に関して同じ側にある点である。 （終）
図示すると、下図のようである。
この考え方は、次のような問題に応用される。
例 直線 ｘ＋２ｙ－４＝０ 上を動く点 Ｐ がある。平面上において、２点 Ａ（ －２ ， ２ ）、
Ｂ（ ３ ， －２ ） とする。このとき、 ＡＰ＋ＢＰ が最小となる点 Ｐ の座標を求めよ。
（解） ２点Ａ（ －２ ， ２ ）、Ｂ（ ３ ， －２ ）は、直線に関して同じ側にある点にあるので、
直線に関する点 Ｂ の対称点 Ｃ を求めると、直線 ＡＣ と直線 ｘ＋２ｙ－４＝０ の
交点 Ｄ が求める点となる。
直線 ＢＣ の方程式は ｙ＝２ｘ－８ なので、点 Ｈ の座標は、（ ４ ， ０ ）となる。
線分ＢＣの中点がＨとなるので、点 Ｃ の座標は、（ ５ ， ２ ）となる。
したがって、求める点 Ｄ の座標は、（ ０ ， ２ ）となる。 （終）
１点代入法は、領域が複雑であればあるほど、その効果は絶大である。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＞０ となる点（ ｘ ， ｙ ）の集合は、正領域
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）＜０ となる点（ ｘ ， ｙ ）の集合は、負領域
と言われる。
Ｆ（ ｘ ， ｙ ）が連続である限り、境界線を越えるごとに正領域と負領域は交互に出現する。
したがって、どこか一部分の領域の符号が分かれば、後は芋づる式にすべての領域の符
号が分かる。
例 次の領域を、不等式を用いて表せ。
この問題を教科書的な解答で考えると、おそらく多くの方は収拾がつかない解答に苛立
ちを覚えるに違いない。
こういうタイプの問題こそ、１点代入法の独壇場だろう。
（解） 境界線は、次の４種類である。
ｘ＝０ 、 ｙ＝０ 、 ｘ2＋ｙ2＝４ 、 ｙ＝ｘ2
そこで、多項式 Ｆ（ ｘ ， ｙ ） ＝ ｘｙ（ｘ2＋ｙ2－４）（ｙ－ｘ2） において、
領域内の点（ －１ ， －１ ）における符号を調べる。
Ｆ（ －１ ， －１ ） ＝ （－１）（－１）（１＋１－４）（－１－１） ＝ ４ ＞ ０
なので、求める不等式は、 ｘｙ（ｘ2＋ｙ2－４）（ｙ－ｘ2）＞０ となる。 （終）
以下、工事中