特定の順列を見つける方法　　　　　　　　　　　　　　　　

　順列の問題で、ある順列が何番目にあるかを考えることは意味ある問題である。

例１　Ａ、Ｂ、Ｃ の３個の異なったものを並べる順列の数は、３！＝６ （通り）ある。
　　実際に、それらを求めれば、

　　　　　　　　ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡ

　である。

　ここで、辞書式配列とは、　各単語をアルファベットの順番に並べたものをいい、上記の
６個の単語を、辞書式に並べて番号をつければ、下表のようになる。

　従って、上の表から、ＢＡＣ は、ＡＢＣから数えて、３番目の単語で、また、４番目の単語は、
ＢＣＡ となる。

　使われる文字の個数が少ないうちは、上記のように、全ての順列を辞書式に書き出して考
えればよいが、文字の個数がある程度大きい場合は、計算によって求めざるを得ない。

例２　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ の５個の異なったものを並べる順列を考え、それらを辞書式に並べる。
　　このとき、ＣＢＥＤＡ は何番目の単語だろうか。また、８８番目の単語は何であろうか。

（解）　Ａ**** のタイプの単語は、４！＝２４ （通り）
　　　　Ｂ**** のタイプの単語は、４！＝２４ （通り）
　　　　ＣＡ*** のタイプの単語は、３！＝６ （通り）
　　　　ＣＢＡ** のタイプの単語は、２！＝２ （通り）
　　　　ＣＢＤ** のタイプの単語は、２！＝２ （通り）
　　　　ＣＢＥ** のタイプの単語は、ＣＢＥＡＤ、 ＣＢＥＤＡ の２通り。

　　　従って、ＣＢＥＤＡ は、２４＋２４＋６＋２＋２＋２＝６０ （番目）

　　　上と同様にして、

　　　　Ａ**** のタイプの単語は、４！＝２４ （通り）
　　　　Ｂ**** のタイプの単語は、４！＝２４ （通り）
　　　　Ｃ**** のタイプの単語は、４！＝２４ （通り）
　　　　ＤＡ*** のタイプの単語は、３！＝６ （通り）
　　　　ＤＢ*** のタイプの単語は、３！＝６ （通り）
　　　　ＤＣＡ** のタイプの単語は、２！＝２ （通り）
　　　　ＤＣＢ** のタイプの単語は、２！＝２ （通り）

　　　このとき、２４＋２４＋２４＋６＋６＋２＋２＝８８ なので、８８番目の単語は、

　　　ＤＣＢ** のタイプの単語の最後のもの、すなわち、ＤＣＢＥＡ である。

　このような求め方は、教科書・参考書・問題集に通常あるもので、私自身も、この解法以外
に知らなかった。

　ところが、最近、このような問題に対して、非常に面白い解法が存在することを知った。

　文字の個数が３個の場合について、説明しよう。

　まず、１番目、２番目、・・・、６番目という数を、０！を含む、２（＝３−１）以下の数の階乗の
倍数に分解する。ただし、０！（＝１）の係数は、常に １ になるようにする。

　　　１＝０・２！＋０・１！＋１・０！
　　　２＝０・２！＋１・１！＋１・０！
　　　３＝１・２！＋０・１！＋１・０！
　　　４＝１・２！＋１・１！＋１・０！
　　　５＝２・２！＋０・１！＋１・０！
　　　６＝２・２！＋１・１！＋１・０！

次に、各係数に１をプラス（０！の係数はそのまま）して、単語を確定するための序数を作る。

たとえば、５＝２・２！＋０・１！＋１・０！から、５番目の単語を求める序数

　　　　　　　３（＝２＋１）、１（＝０＋１）、１

が得られる。次のようにして、５番目の単語が求められる。

（←　３番目の文字 Ｃ を使用）
（←　上で、Ｃ が使われたので、使える文字は、Ａ、Ｂ）



　したがって、求める単語は、 ＣＡＢ となる。

この解法を用いれば、５個の文字の場合についても、次のように解くことができる。

　まず、　８８＝３・４！＋２・３！＋１・２！＋１・１！＋１・０！　なので、８８番目の単語を求

める序数は、４、３、２、２、１ である。

　　左の表から、求める単語は、

　　　　　　ＤＣＢＥＡ

　　で、これは、先の結果と一致する。


　上記の解法は、例２における計算の仕組みを整理したもので、美しい解法として、幾ばくか
の魅力を感じるものである。

　読者のために、練習問題を残しておこう。

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ の８個の異なったものを並べる順列を考え、それらを辞書式に並
べる。このとき、１２３４５番目の単語は何であろうか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）ＣＥＡＨＤＦＢＧ


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんに解いていただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１４日付け）

（解）　７！＝５０４０　、６！＝７２０　、　５！＝１２０　、４！＝２４　、３！＝６　、２！＝１

　　　なので、　１２３４５−７！×２＝２２６５
　　　　　　　　　　２２６５−６！×３＝１０５
　　　　　　　　　　　１０５−５！×０＝１０５
　　　　　　　　　　　１０５−４！×４＝９
　　　　　　　　　　　　　９−３！×１＝３
　　　　　　　　　　　　　３−２！×１＝１
　　　　　　　　　　　　　１−１！×０＝１
　　　　　　　　　　　　　１−０！×１＝０
　　よって、

　１２３４５＝２・７！＋３・６！＋０・５！＋４・４！＋１・３！＋１・２！＋０・１！＋１・０！　なの

で、１２３４５番目の単語を求める序数は、３、４、１、５、２、２、１、１ である。

　　左の表から、求める単語は、

　　　　　　ＣＥＡＨＤＦＢＧ

　　となる。








　上記の計算で、１２３４５を展開するときに、７！、６！、・・・　を順次計算して求めたが、
攻略法さんは次のようにして求められました。

階乗進数の各桁の値の求め方

　ｎ進法ならｎで割っていくが、階乗なので、１、２、３、４、５、・・・　となる。

　０を１番とするので、　12345-1=12344　で、

　　　12344÷1=12344 … 0
　　　12344÷2=6172　… 0
　　　　6172÷3=2057　… 1
　　　　2057÷4=514　 … 1
　　　　　514÷5=102　 … 4
　　　　　102÷6=17　　… 0
　　　　　　17÷7=2　　 … 3

　　　∴　{2 3 0 4 1 1 0 0}　より、

　　　12345 - 1 = 2*7! + 3*6! + 0*5! + 4*4! + 1*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0!

　　すなわち、　12345 = 2*7! + 3*6! + 0*5! + 4*4! + 1*3! + 1*2! + 0*1! + 1*0!

　　よって、０！以外の係数に各々１を加えて、１２３４５番目の単語を求める序数は、

　　　　　{3 4 1 5 2 2 1 1}

　となる。

（コメント）　解答をお寄せいただいた攻略法さんに感謝します。


（参考文献：Ｊ．Ａ．Ｈ．ハンター、Ｊ．Ｓ．マダチー 著　田中　勇　訳
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学レクリエーション　（白揚社））