２次の正方行列を Ｆ 、Ｇ とする。すなわち、
この２つの行列に対して、
ＦＧ＝ＧＦ
が成り立つとき、可換であると言われる。
Ｆ、Ｇ の少なくとも一方が単位行列の実数倍であるならば、常に可換である。
このようなトリビアルな場合はつまらない。もっと一般の行列で、一見して可換かどうか分
からない場合に、可換と瞬時に判断できる方法があれば、それを裏技と呼んでも差し支え
なかろう。
より、
ａｋ＋ｂｍ＝ａｋ＋ｃｌ すなわち、 ｂｍ＝ｃｌ
ａｌ＋ｂｎ＝ｂｋ＋ｄｌ すなわち、 （ａ−ｄ）ｌ＝ｂ（ｋ−ｎ）
ｃｋ＋ｄｍ＝ａｍ＋ｃｎ すなわち、 （ａ−ｄ）ｍ＝ｃ（ｋ−ｎ）
ｃｌ＋ｄｎ＝ｂｍ＋ｄｎ すなわち、 ｂｍ＝ｃｌ
したがって、 ａ−ｄ ： ｂ ＝ ｋ−ｎ ： ｌ
ａ−ｄ ： ｃ ＝ ｋ−ｎ ： ｍ
ｂ ： ｃ ＝ ｌ ： ｍ
より、
ａ−ｄ ： ｂ ： ｃ ＝ ｋ−ｎ ： ｌ ： ｍ
これが、２つの２次の正方行列 Ｆ 、Ｇ が可換であるための必要十分条件である。
このことを知っていれば、可換な行列を瞬時に量産することができる。
例 ２次の正方行列 Ｆ 、Ｇ として、
とすると、明らかに、ＦＧ＝ＧＦ が成り立ち、Ｆ 、Ｇ は可換である。
（Ｆ、Ｇ の作り方）
・ Ｆの各成分は任意。
・ Ｇの（１，２）成分、（２，１）成分は、Ｆの（１，２）成分、（２，１）成分の２倍
・ Ｆの（１，１）成分−（２，２）成分＝−３の２倍は−６なので、
Ｇの（１，１）成分−（２，２）成分＝−６となるように、Ｇの（１，１）成分、（２，２）成分を適
当に選ぶ。上記では、（１，１）成分＝−２、（２，２）成分＝４
（コメント） 作問するうえで、可換か可換でないかが瞬時に判断できるので、何かと重宝する
裏技になりそうですね！