自然数の １ から １００ までの和を求めるという問題は、珠算をやった方なら即座に 答え
は、５０５０ と答えるだろうし、特に珠算を習っていなくても、等差数列の和の公式を習って
いる方だったら、やはり、即答できるだろう。もしかしたら、よくある問題ということで、答えを
暗記している方がいられるかもしれない。
この和は、通常、次のような解き方がなされる。求める和を Ｓ として、
Ｓ＝１＋２＋３＋４＋・・・・・・＋９７＋９８＋９９＋１００
ここで、加える順番を逆にしても和は変わらないから、
Ｓ＝１００＋９９＋９８＋９７＋・・・・・・＋ ４＋ ３＋ ２＋ １
Ｓ＝ １ ＋ ２＋ ３＋ ４＋・・・・・・＋９７＋９８＋９９＋１００
二つの式を辺々加えると、
２Ｓ＝１０１＋１０１＋・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・＋１０１＋１０１
＝１０１×１００ （ １０１ がちょうど１００個あるから！）
したがって、
Ｓ＝１０１×１００/２＝５０５０
このような計算方法は、ガウスが小学生時代に行った計算と言い伝えられている。
最近、このような手法を用いる問題に接することができた。
問 題 ８個の数字 １、２、３、４、５、６、７、８ から異なる３個の数字を選び、それらを並
べて３桁の整数を作る。このとき出来る３桁の整数の総和を求めよ。
このような問題は古くから大学入試問題として出題され、入試対策の問題集には必ずとい
っていいくらい載っている問題である。したがって、上記の問題は、ある意味で、陳腐な問題
かもしれない。
おそらく、世の多くの人は、次のように解くであろう。
百の位、十の位、一の位のうちの１つの位で、１つの数字を固定すれば、他の２つの位の
並べ方は、7Ｐ2＝４２ 通りある。
したがって、３桁の整数全体の中で、たとえば、一の位が、１、２、３、４、５、６、７、８ であ
るものは、それぞれ４２通り存在する。
よって、３桁の整数全部を加えるとき、一の位のみの総和は、
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）×４２＝３６×４２＝１５１２
同様にして、３桁の整数全部を加えるとき、十の位のみの総和は、
（１０＋２０＋３０＋４０＋５０＋６０＋７０＋８０）×４２＝３６０×４２＝１５１２０
３桁の整数全部を加えるとき、百の位のみの総和は、
（１００＋２００＋３００＋４００＋５００＋６００＋７００＋８００）×４２＝３６００×４２
＝１５１２００
したがって、求める総和は、 １５１２＋１５１２０＋１５１２００＝１６７８３２
このような解法に対して、次のような新鮮な裏技が存在する。
（別解） 求める和を Ｓ とすると、
Ｓ＝１２３＋１２４＋１２５＋・・・・・・・・・・＋８７５＋８７６
加える順序を逆にして、
Ｓ＝８７６＋８７５＋・・・・・・・・・・・・・・・・＋１２４＋１２３
二つの式を辺々加えると、
２Ｓ＝９９９＋９９９＋・・・・・・・・・・・・・・・・＋９９９＋９９９
＝９９９×8Ｐ3
＝９９９×３３６
よって、 Ｓ＝９９９×３３６/２＝（１０００−１）×１６８＝１６８０００−１６８＝１６７８３２ （終）
（注意） 上記の計算で、厳密には、
３桁の整数 XYZ に対して、３桁の整数 (９−Ｘ)(９−Ｙ)(９−Ｚ)を対応させる方法
が一対一の対応であることを意識する必要があるであろう。