ある無理方程式の解法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、いつもお世話になっている未菜実さんから、ある無理
方程式のおもしろい解法についての書き込みがあった。

　未菜実さんも初めて見る解法とのことであるが、私自身もこれまで、そのような解法の存
在を知らなかった。

　ある特殊な場合の無理方程式に関するものだが、一つの裏技として紹介したいと思う。

問題　無理方程式　　を解け。

　通常は両辺を平方して、根号のない形の方程式に変形して解くのが一般的であるが、こ
の問題の場合は、４次方程式になってしまって、その解を求めることは一般的に困難であ
る。

　平方してできた４次方程式に対して、次のように巧妙に発想の転換を図ると、鮮やかに
解が求まる。

　無理方程式の両辺を平方して、　　ｘ＋５＝２５−１０ｘ²＋ｘ⁴

この式において、Ｐ＝５　とすると、　　ｘ＋Ｐ＝Ｐ²−２Ｐｘ²＋ｘ⁴

よって、Ｐに関して整理すると、　　Ｐ²−（２ｘ²＋１）Ｐ＋ｘ⁴−ｘ＝０

これは、Ｐに関する２次方程式で、その判別式をＤとおくと、

　　　　　　Ｄ＝（２ｘ²＋１）²−４（ｘ⁴−ｘ）＝４ｘ²＋４ｘ＋１＝（２ｘ＋１）²

である。よって、解の公式より、

　　　Ｐ＝(1/2)(２ｘ²＋１±（２ｘ＋１）)＝ｘ²＋ｘ＋１　、ｘ²−ｘ

Ｐ＝５　だったので、　ｘ²＋ｘ＋１＝５　または　ｘ²−ｘ＝５

すなわち、　ｘ²＋ｘ−４＝０　または　ｘ²−ｘ−５＝０　となる。

− ≦ ｘ ≦ 　に注意して、ｘ についての２次方程式の解を求めると、

　　　　　　　　　　、　　　

　通常の解法では得られない解と遭遇することができて、とても感動することができた。
情報を提供していただいた未菜実さんに感謝します。

　上記の解答で、Ｐに関する２次方程式の判別式が完全平方式になっているところが一番
のポイントである。「５」を移項して、「２５」とまとめてしまうと、もう解くことは困難である。
Ｐの係数で、「２ｘ²＋１」となっている点が心憎いばかりの巧妙さである。

　上記の問題を一般化して、無理方程式　　について考えてみよう。

両辺を平方して整理すると、　　　ｂ²−２ｂｘ²＋ｘ⁴−ｘ−ａ＝０

このままでは目的は達せられないから、適当な定数 ｋ を用いて、

　　　　　　　　　ｂ²−（２ｘ²＋ｋ）ｂ＋ｘ⁴−ｘ＋ｋｂ−ａ＝０

と変形しておく。このとき、判別式Ｄは、

　　　Ｄ＝（２ｘ²＋ｋ）²−４（ｘ⁴−ｘ＋ｋｂ−ａ）＝４ｋｘ²＋４ｘ＋ｋ²−４ｋｂ＋４ａ

これが完全平方式になるためには、判別式をＤ’として、

　　　Ｄ’/４＝４−４ｋ（ｋ²−４ｋｂ＋４ａ）＝−４ｋ³＋１６ｂｋ²−１６ａｋ＋４＝０

すなわち、　ｋ³−４ｂｋ²＋４ａｋ−１＝０　となるように、定数 ｋ を定めることができれば、上

記の裏技が常に活用できる。

　簡単な計算から、冒頭の問題では、ａ＝ｂ＝５　なので、この場合、ｋ＝１　となる。このよ

うな背景があって、冒頭の巧妙な式変形が編み出されたわけである。

　ただし、任意の ａ 、ｂ　に対して、３次方程式　ｋ³−４ｂｋ²＋４ａｋ−１＝０　の解を見つけ

ることは、それほど易しいことではないようだ。

　ａ ＝ ｂ　ならば、常に、ｋ＝１　が解となるが、それ以外の場合は、何か大変そうである。


（追記）　ＨＮ「ますた〜」さんから、上記の一般化に関しての話題をメールでいただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２７年７月１９日付け）

　ここの問題は個人的に物凄いお気に入りでして、一般化したりよく友達などに出してます。
二点報告があります。

　まず一点。一般化について、上記では難しいとのことですが、私は、

　　　√(ax±bP)＝a²x²/b³-+P　((a，b)≠0)　(-+はマイプラの意味)

が一般形だと発見していたので報告します。

　二点目は、別解についてです。これはある人が思い付いたようですが、有理化したあとの

式　x⁴-10x²-x+20=0　は、　(x²+x-4)(x²-x-5)=0　と因数分解が出来ます。または、

「y=√(x+5) と y=5-x² のグラフは、y=-x に関して対称より、y=-x と y=5-x² (y=√(x+5)) の

交点が一つの解→それを利用して因数分解」という方法があったようです。

　固い頭が少しほぐれた気分です。ご参考まで。


（コメント）　√(ax±bP)＝a²x²/b³-+P　の両辺を平方して、

　　ax±bP=a⁴x⁴/b⁶-+2Pa²x²/b³+P²　より、　P²-+(2a²x²/b³+b)P+a⁴x⁴/b⁶-ax=0

　判別式Ｄは、Ｄ=(2a²x²/b³+b)²-4(a⁴x⁴/b⁶-ax)=4a²x²/b²+4ax+b²=(2ax/b+b)² と完全平
方になる！

　この公式で、問題がたくさん作れそうです。ＨＮ「ますた〜」さんに感謝します。

　因みに冒頭の問題は、この公式で、「a=1、b=-1、P=5」とすれば得られます。

　また、y=√(x+5) と y=5-x² のグラフが、y=-x に関して対称ということから、

の解の一つをαとおくと、αは、5-x²=-x すなわち、x²-x-5=0　を満たすので、

x⁴-10x²-x+20=0　の因数分解の一つの明白な指針となることに感動しました。