高次導関数の計算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学�Uで関数 ｙ＝ｘ^ｎ （ｎ＝１、２、３　程度）の導関数が　ｙ’＝ｎｘ^ｎ-1　となることを学び、
数学�Vで、第２次導関数　ｙ”　や第３次導関数　ｙ”’、・・・、第ｎ次導関数　ｙ^(ｎ)　を学ぶ。
ただし、ｙ⁽⁰⁾＝ｙ　である。

　現行の学習指導要領で残念なのは、積の導関数の公式

　　　　｛Ｆ（ｘ）Ｇ（ｘ）｝’＝Ｆ’（ｘ）Ｇ（ｘ）＋Ｆ（ｘ）Ｇ’（ｘ）

が数学�Uには含まれていないという点である。もっとも、受験校では当然のように数学�Uを
補充する形で教えられていることと思うが．．．。

　この積の導関数の公式を一般化したものが、ライプニッツの定理である。

ライプニッツの定理　　関数 Ｆ（ｘ）、Ｇ（ｘ） は、ｎ回微分可能とする。

　　｛Ｆ・Ｇ｝^(ｎ)＝_ｎＣ₀Ｆ^(ｎ)・Ｇ⁽⁰⁾＋_ｎＣ₁Ｆ^(ｎ-1)・Ｇ⁽¹⁾＋・・・＋_ｎＣ_ｎＦ⁽⁰⁾・Ｇ^(ｎ)

例　関数 ｙ＝ｘ²ｅ^ｘ　の第 ｎ 次導関数を求めよ。

　Ｆ（ｘ）＝ｅ^ｘ　、Ｇ（ｘ）＝ｘ²　として、ライプニッツの定理より、

　　　ｙ^(ｎ)＝_ｎＣ₀Ｆ^(ｎ)・Ｇ⁽⁰⁾＋_ｎＣ₁Ｆ^(ｎ-1)・Ｇ⁽¹⁾＋_ｎＣ₂Ｆ^(ｎ-1)・Ｇ⁽²⁾

　　　　　＝ｅ^ｘ・ｘ²＋ｎｅ^ｘ・２ｘ＋ｎ（ｎ−１）/２・ｅ^ｘ・２

　　　　　＝｛ｘ²＋２ｎｘ＋ｎ（ｎ−１）｝ｅ^ｘ


　この問題に対して次のような解法もありかな．．．？と最近思うようになった。

（別解）　 ｙ＝ｘ²ｅ^ｘ　に対して、　ｙ’＝（ｘ²＋２ｘ）ｅ^ｘ　、ｙ”＝（ｘ²＋４ｘ＋２）ｅ^ｘ　となる。

　　　そこで、　ｙ^(ｎ)＝（ｘ²＋ａ_ｎｘ＋ｂ_ｎ）ｅ^ｘ　とおくと、　ａ₀＝０　、ｂ₀＝０　で、

　　　　ｙ^(ｎ+1)＝（２ｘ＋ａ_ｎ）ｅ^ｘ＋（ｘ²＋ａ_ｎｘ＋ｂ_ｎ）ｅ^ｘ＝｛ｘ²＋（ａ_ｎ＋２）ｘ＋ａ_ｎ＋ｂ_ｎ｝ｅ^ｘ

　　　よって、　　ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋２　、　ｂ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋ｂ_ｎ

　　　ａ₀＝０　、ｂ₀＝０　から、　ａ_ｎ＝０＋ｎ・２＝２ｎ　、　ｂ_ｎ+1−ｂ_ｎ＝２ｎ

　　　ｎ≧１　のとき、　ｂ_ｎ＝０＋｛２＋４＋・・・＋２（ｎ−１）｝＝ｎ（ｎ−１）

　　　　これは、ｎ＝０　のときも成り立つ。

　　　以上から、　ｎ≧０　に対して、　ａ_ｎ＝２ｎ　、　ｂ_ｎ＝ｎ（ｎ−１）　より、

　　　　　　　　ｙ^(ｎ)＝｛ｘ²＋２ｎｘ＋ｎ（ｎ−１）｝ｅ^ｘ　　（終）

（コメント）　漸化式を用いる解法ですが、何となく地に足がついているような安心感がありま
　　　　　　すね！