正弦定理・余弦定理は、図形の計量問題ではなくてはならない最大の武器である。その
証明は、いろいろ考えられる。（ → 参考 ： 正弦定理と余弦定理）
ここでは、等積変形による証明を紹介したいと思う。以下では、鋭角三角形で考えている
が、一般の場合にも同様に示される。
左図のように、△ＡＢＣ において、各辺
を一辺とする正方形を描き、三角形の各
頂点より垂線を下ろし、各正方形を分割
する。
このとき、等積変形により、図中の面積
Ｐ、Ｑ、Ｒ は、それぞれ等しい。
この幾何学的性質を用いると、余弦定
理の証明は、三角形の面積の公式の証
明に帰される。
（証明） ＢＣ2＝Ｐ＋Ｑ
＝（Ｐ＋Ｒ）＋（Ｑ＋Ｒ）−２Ｒ
＝ＡＢ2＋ＡＣ2−２×２×（上図の赤い部分の三角形の面積）
＝ＡＢ2＋ＡＣ2−２×２×（（１/２）×ＡＢ×ＡＣ×ｓｉｎ（９０°＋Ａ））
＝ＡＢ2＋ＡＣ2−２・ＡＢ・ＡＣ・ｃｏｓＡ
（証終）
教科書的には、余弦定理を学んだ後、三角形の面積に進むので、上記の方法は、最初
の導入には使えないかもしれない。（教科書によっては、三角形の面積を余弦定理の前に
おいているところもある。） 三角比を全て学んだ後、振り返りのためにこのような話題を提
供すれば、定着率は多少向上し、学習者の興味・関心が増すかもしれない。
（コメント： 三平方の定理に似た証明で、その鮮やかさに魅入られます。）
（追記） 平成２２年１１月１８日付け
当ＨＰの読者の Ｔ．Ｉ．さんから、上記の証明をさらに分かり易くする方法をご教示いただ
いた。
上図で、証明中、Ｒを三角形の面積から導いていますが、
Ｒ＝ｃ×(ｂ×ｃｏｓＡ)＝ｂ×(ｃ×ｃｏｓＡ)
であることは、直ちにわかることなので、これを使えば、三角形の面積公式にとらわれなく
てもいけそうですね。
（コメント） Ｔ．Ｉ．さん、ありがとうございます。
ｓｉｎ（９０°＋Ａ）＝ｃｏｓＡ が気になる部分で、Ｔ．Ｉ．さんの方が初等的ですね！