高校生にとって、「絶対値」はとても難しいらしい。「−３の絶対値は３」という段階では何
ということもないが、
ｘ ≧ ０ のとき、 ｜ｘ｜＝ ｘ
ｘ ＜ ０ のとき、 ｜ｘ｜＝ −ｘ
ということを学ぶ段階では、教える側は生徒の非常な抵抗を感じざるを得ない。
たとえば、
と普通に計算できても、根号の中が文字になると、平気で、
という誤りを犯す場合が多い。正しくは、 
であるが、これを警鐘する意味も込めて、
（ルートの中は、怖い事情）と、いつも教えることにしている。
絶対値は、数直線の原点からの距離を表すという定義以上に、数学のいろいろなところ
で活躍する。
は一つの例であるが、私的には、−｜ｘ｜≦ ｘ ≦｜ｘ｜
という不等式が一番気に入っている。
今回紹介する裏技は、
の両辺を２乗した形 ｜ｘ｜2＝ｘ2 を利用するものである。
問題 方程式 ｘ2−４ｘ ＝ ３｜ｘ−２｜ を解け。
通常、この問題は教科書・問題集などでは、多分次のように解かれている。
（解） ｘ ≧ ２ のとき、 ｜ｘ−２｜＝ ｘ−２ なので、 ｘ2−４ｘ ＝ ３（ ｘ−２ ）
よって、ｘ2−７ｘ＋６ ＝ ０ より、 ( ｘ−１ )( ｘ−６ )＝０ なので、 ｘ ＝ １、６
ここで、 ｘ ≧ ２ なので、 解は、 ｘ ＝ ６
ｘ ＜ ２ のとき、 ｜ｘ−２｜＝ −ｘ＋２ なので、 ｘ2−４ｘ ＝ ３（ −ｘ＋２ ）
よって、ｘ2−ｘ−６ ＝ ０ より、 ( ｘ−３ )( ｘ＋２ )＝０ なので、 ｘ ＝ ３、−２
ここで、 ｘ ＜ ２ なので、 解は、 ｘ ＝ −２
以上から、求める解は、 ｘ ＝ ６、−２
絶対値がよく分かっている方だったら、すんなり納得できる解答であるが、不確かな理解
しかない場合は上記の解答は多分読めないだろう。
上記の解答では、おそらく「場合分け」をしている部分が生徒にとって一番の難解な部分
だと考えられる。
これを回避する策として、次のような解法があることを最近知る機会があった。
（裏技の解） ｘ2−４ｘ ＝ ３｜ｘ−２｜ より、 （ ｘ−２ ）2−４ ＝ ３｜ｘ−２｜
ここで、
（ ｘ−２ ）2 ＝ ｜ｘ−２｜2
なので、
｜ｘ−２｜2−４ ＝ ３｜ｘ−２｜
すなわち、
｜ｘ−２｜2−３｜ｘ−２｜−４ ＝ ０
となる。
｜ｘ−２｜＝ Ｘ とおくと、 Ｘ ≧ ０ で、 Ｘ2−３Ｘ−４ ＝ ０
よって、
( Ｘ−４ )( Ｘ＋１ )＝０ より、 Ｘ ＝ ４、−１
ここで、 Ｘ ≧ ０ なので、解は、 Ｘ ＝ ４ のみ
したがって、 ｜ｘ−２｜＝ ４ より、 ｘ−２＝ ±４ なので、 ｘ ＝ ６、−２
（コメント） この裏技はいつも使えるとは限らないが、このような考え方もあるのかと感心さ
せられた。