正弦と余弦 
数学Ⅰの三角比で、正弦（ｓｉｎ）や余弦（ｃｏｓ）を学ぶ。数学Ⅰでは図形の計量（正弦定理・
余弦定理）が主なテーマだ。
数学Ⅱで初めて関数としての正弦・余弦を学び、その周期的なグラフの美しさに心を打た
れる。授業では両者のグラフを別々に書くが、下図からも分かるように、それらは同形であ
る。
上図では、ｙ＝ｃｏｓｘ のグラフを起点として、 ｙ＝ｃｏｓ（ｘ－θ） （θは実数）のグラフを書か
せたものである。
ｃｏｓ（ｘ－π/２）＝ｓｉｎｘ なので、途中で、 ｙ＝ｓｉｎｘ のグラフが出現する。
正弦（ｓｉｎ）や余弦（ｃｏｓ）は定義こそ一見違うように思えるが、両者は互いに密接に関係し
ており、概念的には同種のものである。
正弦（ｓｉｎ）や余弦（ｃｏｓ）について生徒を悩ませるのは、その公式の豊富さである。これに
ついて、兵庫県立武庫荘総合高校の楠田貴至先生が「ｓｉｎクロス」という面白い覚え方を考
案されている。（→ 参考：数研通信：「平行移動を回転で」 、「『ｓｉｎクロス』で微分する」）
ｓｉｎ（ｘ＋π/２）＝ｃｏｓｘ 、 ｃｏｓ（ｘ＋π/２）＝－ｓｉｎｘ が成り立ち、さらに、
ｓｉｎ（ｘ＋π/２）＝ｃｏｓｘ より、 －ｓｉｎ（ｘ＋π/２）＝－ｃｏｓｘ
ｃｏｓ（ｘ＋π/２）＝－ｓｉｎｘ より、 －ｃｏｓ（ｘ＋π/２）＝ｓｉｎｘ
が成り立つ。
このことから、 「＋π/２」という操作により、
ｓｉｎｘ → ｃｏｓｘ 、ｃｏｓｘ → －ｓｉｎｘ 、－ｓｉｎｘ → －ｃｏｓｘ 、－ｃｏｓｘ → ｓｉｎｘ
と順次変化することが見て取れる。
これらの関係式で、「＋π/２」の平行移動を、下図のように、「π/２ の回転」と考えること
が、「ｓｉｎクロス」というものの考え方のようだ。
この方法を用いると、公式も自然と頭に浮かび上がってくるような気がする。
また、
ｓｉｎｘ → ｃｏｓｘ 、ｃｏｓｘ → －ｓｉｎｘ 、－ｓｉｎｘ → －ｃｏｓｘ 、－ｃｏｓｘ → ｓｉｎｘ
という関係は、正に微分の公式である。
したがって、上図は、三角関数の偏角公式の覚え方のみならず、微分や積分の公式の覚
え方にも使えるというわけだ！
このような新しい見方・考え方を発見された兵庫県立武庫荘総合高校の楠田貴至先生に
敬意を表したい。
（追記） 令和２年６月７日付け
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や |
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の計算結果はとても |
美しい。これに勝るとも劣らず、実は、
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や |
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の計算結果も美しい。先ほどは定積分計算をしたが、実は、計算するまでもなく、値は両者
とも、π/４ であることが言える。
実際に、ｙ＝ｓｉｎ2ｘ のグラフと ｙ＝ｃｏｓ2ｘ のグラフは、直線 ｘ＝π/４ に関して線対称で
ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＝１ から、下図を得る。
図より、両者は等しく、面積が長方形の面積の半分(π/４)であることが了解されるだろう。
（追記） 令和８年３月２９日付け
次の東北大学 後期理系（２００７）の問題は、基本的な問題だろう。
問題 ０≦ｘ＜２π の範囲で、次の方程式の解を求めよ。
（１） ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ＝１
（２） ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ＋ｓｉｎｘ＝２
（解）（１） ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ＝１＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ から、
ｓｉｎ2ｘ（１－ｓｉｎｘ）＋ｃｏｓ2ｘ（１－ｃｏｓｘ）＝０
ここで、ｓｉｎ2ｘ（１－ｓｉｎｘ）≧０ 、ｃｏｓ2ｘ（１－ｃｏｓｘ）≧０ なので、
ｓｉｎ2ｘ（１－ｓｉｎｘ）＝０ 、ｃｏｓ2ｘ（１－ｃｏｓｘ）＝０
よって、 ｓｉｎｘ＝０ または １
ｓｉｎｘ＝０ のとき、 ｃｏｓｘ＝±１ で、ｃｏｓ2ｘ（１－ｃｏｓｘ）＝０ から、ｃｏｓｘ＝－１ は不適
よって、ｃｏｓｘ＝１ を満たす ｘ の値は、ｘ＝０
ｓｉｎｘ＝１ のとき、 ｃｏｓｘ＝０ で、これを満たす ｘ の値は、ｘ＝π/２
（２） （１）と同様にして、
ｓｉｎ2ｘ（１－ｓｉｎｘ）＋ｃｏｓ2ｘ（１－ｃｏｓｘ）＝１－（ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ）≧０ から、
１－（２－ｓｉｎｘ）≧０ すなわち、 ｓｉｎｘ≧１
この式を満たす ｘ の値は、 ｘ＝π/２ （終）
（追記） 令和８年４月５日付け
次の東北大学 後期文系（２００７）の問題は、上記の問題の類題である。
問題 次の問いに答えよ。
（１） ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ≦１ を示せ。
（２） （理系（２）と同じ）
（解）（１） ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ－１＝ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ－ｓｉｎ2ｘ－ｃｏｓ2ｘ
＝ｓｉｎ2ｘ（ｓｉｎｘ－１）＋ｃｏｓ2ｘ（ｃｏｓｘ－１）
ここで、ｓｉｎ2ｘ（ｓｉｎｘ－１）≦０ 、ｃｏｓ2ｘ（ｃｏｓｘ－１）≦０ なので、
ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ－１≦０ すなわち、 ｓｉｎ3ｘ＋ｃｏｓ3ｘ≦１ （終）
以下、工事中！